. Misalkan dipilih
maka matriks basisnya adalah .
Dengan menggunakan matriks basis di atas didapatkan
2.5 Solusi 2.5 merupakan solusi basis,
karena memenuhi kendala pada PL 2.4 dan kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari 2.5, yaitu
, bebas linear. Solusi 2.5 juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-
nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
PL 2.1 dapat dinyatakan dalam bentuk dan
sebagai berikut 2.6
dengan c
B
vektor koefisien variabel basis pada
fungsi objektif dan c
N
vektor koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif. Jika
persamaan 2.3 disubstitusikan ke dalam fungsi objektif PL 2.6 maka akan didapat
Winston 2004 2.3 Pemrograman
Integer Integer Programming
pemrograman integer PI atau Integer programming IP adalah suatu model
pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat integer.
Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure
integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut
mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1
IP.
Garfinkel Nemhauser 1972
2.4 Relaksasi Pemrograman Linear
Konsep relaksasi pemrograman linear atau relaksasi-PL diberikan dalam definisi berikut
ini.
Definisi 8 Relaksasi Pemrograman Linear
Pemrograman linear relaksasi atau sering disebut relaksasi-PL merupakan suatu
pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integer
atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.
Untuk masalah maksimisasi, nilai optimal fungsi objektif relaksasi-PL lebih besar atau
sama dengan nilai optimal fungsi objektif IP, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai
optimal fungsi objektif relaksasi-PL lebih kecil atau sama dengan nilai optimal fungsi
objektif IP.
Winston 1995
2.5 Graf
Konsep graf yang digunakan dalam karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini.
Definisi 9 Graf
Suatu graf G adalah pasangan terurut V, E dengan V himpunan takkosong dan
berhingga yang anggota-anggotanya disebut simpul nodevertex dan E merupakan
himpunan berhingga garis yang menghubungkan simpul-simpul anggota V
yang disebut dengan sisi edge. Sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j
dinyatakan dengan {i, j}.
Foulds 1992 Graf seperti disebutkan pada definisi di
atas disebut juga graf tak berarah. Ilustrasi graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1
berikut:
Gambar 1 Graf G = V, E Pada Gambar 1 di atas diperlihatkan bahwa
dan
Definisi 10 Graf Berarah
Dalam suatu graf, jika sisi yang menghubungkan simpul-simpulnya berarah
2 1
1 4
1 2
1 0 ,
11 1
1 5
− ⎛
⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = −
= ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝
⎠ ⎝ ⎠
A b
3 4
5 1
2
dan ,
x x
x x
x =
=
T T
B N
x x
1 1
1 ⎛
⎞ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ B
, 4 11 5
.
−
= =
=
T T
1 N
B
x x
B b
B
B
x
N
x
min terhadap
, z
= +
+ =
≥
T T
B B
N N
B N
c x c x
Bx Nx
b x
. z
− −
− −
= −
+ =
+ −
T 1
1 T
B N
N N
T 1
T T
1 B
N B
N
c B b B Nx c x
c B b c
c B N x
{1, 2, 3, 4,5} V
=
{{1, 2},{1, 3},{1, 4},{2, 3},{3, 4},{3, 5}}. E
=
2 1
3 4
5
G:
maka graf tersebut dinamakan graf berarah directed graphdigraph. Sisi yang
menghubungkan simpul i dengan simpul j berarah dinyatakan dengan {i, j}.
Foulds 1992 Ilustrasi graf berarah dapat dilihat pada
gambar berikut
Gambar 2 Graf Pada Gambar 2 diperlihatkan bahwa
dan
Definisi 11 Walk
Suatu walk pada graf G = V, E adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan
bentuk:
atau ditulis dengan ringkas : atau
Walk tersebut menghubungkan simpul
dengan simpul Foulds 1992
Definisi 12 Path
Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda.
Foulds 1992 Ilustrasi walk dan path diberikan sebagai
berikut. Pada graf G yang terdapat dalam Gambar 1, salah satu contoh walk adalah
, sedangkan adalah
salah satu contoh path.
Definisi 13 Walk Berarah
Walk berarah pada suatu graf berarah adalah suatu barisan terurut
simpul dan sisi pada yang berbentuk
dengan setiap sisi berarah a
i
menghubungkan simpul-simpul v
i-1
dan v
i
secara berurutan. Foulds 1992
Definisi 14 Path Berarah
Path berarah pada graf berarah G’ adalah suatu walk berarah yang semua simpulnya
berbeda. Foulds 1992
Ilustrasi walk dan path berarah diberikan sebagai berikut. Pada graf berarah
yang terdapat dalam Gambar 2, contoh walk
berarah adalah , dan contoh
path berarah adalah .
Definisi 15 Graf Berbobot
Suatu graf G = V, E atau graf berarah dikatakan berbobot jika terdapat
fungsi atau
dengan himpunan bilangan real yang
memberikan bobot pada setiap elemen E atau A.
Foulds 1992 Ilustrasi graf berbobot diberikan dalam
Gambar 3.
Gambar 3 Graf berbobot Misalkan diberikan
untuk graf berbobot
pada Gambar 3, maka = 3 atau dapat pula ditulis
2.6 Masalah Path Terpendek
