maka graf tersebut dinamakan graf berarah directed graphdigraph. Sisi yang
menghubungkan simpul i dengan simpul j berarah dinyatakan dengan {i, j}.
Foulds 1992 Ilustrasi graf berarah dapat dilihat pada
gambar berikut
Gambar 2 Graf Pada Gambar 2 diperlihatkan bahwa
dan
Definisi 11 Walk
Suatu walk pada graf G = V, E adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan
bentuk:
atau ditulis dengan ringkas : atau
Walk tersebut menghubungkan simpul
dengan simpul Foulds 1992
Definisi 12 Path
Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda.
Foulds 1992 Ilustrasi walk dan path diberikan sebagai
berikut. Pada graf G yang terdapat dalam Gambar 1, salah satu contoh walk adalah
, sedangkan adalah
salah satu contoh path.
Definisi 13 Walk Berarah
Walk berarah pada suatu graf berarah adalah suatu barisan terurut
simpul dan sisi pada yang berbentuk
dengan setiap sisi berarah a
i
menghubungkan simpul-simpul v
i-1
dan v
i
secara berurutan. Foulds 1992
Definisi 14 Path Berarah
Path berarah pada graf berarah G’ adalah suatu walk berarah yang semua simpulnya
berbeda. Foulds 1992
Ilustrasi walk dan path berarah diberikan sebagai berikut. Pada graf berarah
yang terdapat dalam Gambar 2, contoh walk
berarah adalah , dan contoh
path berarah adalah .
Definisi 15 Graf Berbobot
Suatu graf G = V, E atau graf berarah dikatakan berbobot jika terdapat
fungsi atau
dengan himpunan bilangan real yang
memberikan bobot pada setiap elemen E atau A.
Foulds 1992 Ilustrasi graf berbobot diberikan dalam
Gambar 3.
Gambar 3 Graf berbobot Misalkan diberikan
untuk graf berbobot
pada Gambar 3, maka = 3 atau dapat pula ditulis
2.6 Masalah Path Terpendek
Masalah penentuan rute perjalanan dengan biaya minimum merupakan aplikasi dari
masalah penentuan path terpendek dalam suatu graf berbobot. Didefinisikan panjang
untuk sembarang path berarah dalam suatu network sebagai jumlah biaya semua sisi
berarah dalam path tersebut. Dalam masalah ini akan dicari suatu path terpendek, yakni
path berarah dari suatu simpul asal ke simpul tujuan dengan panjang terkecil.
Dalam bab ini, juga dijelaskan tentang traveling salesman problem TSP yang
merupakan dasar dari vehicle routing problem VRP, kemudian akan diperlihatkan
, . G
V A =
{1, 2, 3, 4,5} V
=
{1, 2, 1, 3, 1, 4, 2,1, 3, 2, 3, 5, 4, 3}. A
=
{ } {
} { }
1 1
2 2
2 3
1
, ,
, ,
, ,...,
, ,
,
n n
n
v v v
v v v
v v
v
−
1 2
, ,...,
n
v v v
1 2
, ,..., .
n
v v v
1
v .
n
v
1, 2,3, 4,3,5 1,2,3,5
, G
V A =
G ,
, ,...,
, ,
1 1
n n
v a
v a
v G
1,3, 2,1, 4,3,5 2,1, 4,3,5
, G
V A =
: w E
→ ℜ : A
→ ℜ l
ℜ
, . G
V A =
: A → ℜ
l ,
G V A
= 4,3
l
4 ,3 2 ,1
1,3 3,5
3, 2 1, 4
3; 1; 0; 2;
2. =
= =
= = −
= l
l l
l l
l
1 2
‐2 3
2 1
3 4
5
:
G
:
G
2 1
3 4
5
penggunaan pemrograman linear integer PLI untuk mencari solusi dari kasus VRP.
2.7 Traveling Salesman Problem TSP
Dalam TSP, seorang salesman harus mengunjungi seluruh kota yang ada dan
diharuskan kembali ke kota awal pada akhir perjalanannya. Tujuan dari TSP adalah
menetukan rute perjalanan yang fisibel sedemikian sehingga jarak tempuh yang
melalui rute tersebut minimum.
Definisi 16 m-TSP
m-TSP adalah salah satu variasi dari TSP. Dalam
m-TSP terdapat m salesman
mengunjungi seluruh kota tetapi setiap kota hanya dapat dikunjungi oleh tepat satu
salesman saja. Setiap salesman berangkat dari suatu depot dan pada akhir perjalanannya juga
harus kembali ke depot tersebut. Tujuan dari m-TSP adalah meminimumkan total jarak dari
setiap rute.
Masalah m-TSP dikenal juga sebagai vehicle routing problem VRP. Dalam
masalah tersebut, sebuah kota diasosiasikan sebagai konsumen dan tiap kendaraan
memiliki kapasitas tertentu. Total jumlah permintaan dalam suatu rute tidak boleh
melebihi kapasitas dari kendaraan yang beroperasi.
Larsen 1999 Contoh solusi dari TSP dapat dilihat pada
Gambar 4.
Konsumen
Rute Depot
Gambar 4 Contoh rute dalam traveling salesman
problem TSP.
Vehicle Routing Problem VRP
VRP merupakan masalah pendistribusian setiap kendaraan yang terletak di depot untuk
memenuhi permintaan para pelanggan yang tersebar di banyak tempat. Masalah utama
dari VRP adalah membuat rute yang fisibel dengan biaya yang rendah untuk setiap
kendaraan dengan ketentuan bahwa setiap kendaraan memulai dan mengakhiri
perjalanan dari depot.
Misalkan V’ adalah himpunan pelanggan yang harus dilayani. Fungsi objektif dari
sebuah VRP adalah mencari sebanyak m buah rute kendaraan dengan total biaya yang
minimum sehingga setiap pelanggan di V’ dikunjungi oleh tepat satu kendaraan. Sebuah
rute R
i
dikatakan fisibel jika setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh sebuah
kendaraan. Gambar berikut mencoba menjelaskan
input dari sebuah VRP dan solusi yang mungkin terjadi.
+ +
+
Pelanggan
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
Gambar 5 Input dari sebuah VRP. Depot
Rute kendaraan
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
Gambar 6 Solusi yang mungkin dari VRP pada Gambar 5 dengan tiga kendaraan.
Tujuan dari VRP adalah menentukan sejumlah rute untuk melakukan pengiriman
pada setiap konsumen, dengan mengikuti beberapa ketentuan antara lain :
1. setiap rute berawal dan berakhir di depot, 2. setiap konsumen dikunjungi tepat satu
kali oleh tepat satu kendaraan, 3. jumlah permintaan tiap rute tidak
melebihi kapasitas kendaraan, 4. meminimumkan biaya perjalanan,
Cordeau et al. 2002
Definisi 17 Capacitated Vehicle Routing Problem
Capacitated Vehicle Routing Problem CVRP merupakan salah satu variasi dari
masalah VRP dengan penambahan kendala kapasitas kendaraan. Setiap kendaraan yang
melayani konsumen disyaratkan memiliki batasan kapasitas sehingga banyaknya
konsumen yang dilayani oleh setiap kendaraan dalam satu rute bergantung pada
kapasitas kendaraan. CVRP bertujuan meminimumkan waktu tempuh rute
perjalanan kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan
dengan depot ke sejumlah konsumen dan memenuhi batasan kapasitas.
2.8 Metode Branch-and-Bound
