Pada Gambar 9, solusi Subproblem 3 dan Subproblem 7 adalah kandidat solusi terbaik
karena semua variabelnya bernilai integer. Namun, karena nilai z untuk Subproblem 3
lebih besar dari Subproblem 7 maka solusi dari Subproblem 3 merupakan solusi optimum
untuk masalah IP pada Contoh 3. Tanda pada Subproblem 3 dan Subproblem 7
menyatakan kandidat solusi untuk masalah IP tersebut.
III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3.1 Deskripsi Masalah Rute Bus Karyawan
Masalah rute bus karyawan adalah masalah penentuan rute bus untuk menjemput
karyawan dari pos-pos yang sudah ditentukan menuju perusahaan dan mengantarkan
karyawan dari perusahaan ke pos-pos, kemudian bus tersebut kembali ke tempat
asalnya, yaitu perusahaan depot, dengan biaya yang minimum sehingga kendala
kapasitas atau kendala waktu tempuh terpenuhi.
Untuk meminimumkan biaya operasional bus, hal yang harus dipertimbangkan adalah
biaya perjalanan setiap bus dan biaya tetap untuk mengirimkan bus.
3.2 Model Masalah Rute Bus Karyawan
Dalam model ini, rute untuk menjemput karyawan dari pos-pos menuju perusahaan
dan rute untuk mengantarkan karyawan dari perusahaan ke pos-pos, diasumsikan sama
karena pos-pos penjemputan dan pengantaran karyawan adalah sama.
Masalah penentuan rute bus karyawan sangat berhubungan dengan VRP dan graf.
Secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu digraf G = V, A dengan V =
{0, 1, ... , n} adalah himpunan simpul yang menunjukkan pos-pos antar-jemput karyawan
dan A={i, j | i, j
V, i ≠ j} yaitu himpunan
sisi berarah yang menyatakan jalan penghubung antarpos. Pos 0 menunjukkan
∈ Gambar 9 Seluruh pencabangan pada metode branch-and-bound untuk
menyelesaikan IP 2.7. Subproblem 1
Batas atas = 23.75
1
3.75, x
=
2
1.25, x
= 23.75
z =
Subproblem 2
1
4, x
=
2
0.83, x
= 23.33
z =
Subproblem 3 Batas bawah = 23
Solusi Optimal
1 2
3, 2, x
x =
= 23
z =
Subproblem 7 Batas bawah = 20
Kandidat Solusi
1 2
4, 0, 20
x x
z =
= =
Subproblem 5
2
0, x
=
1
4.5, x
= 22.5
z =
Subproblem 6 takfisibel
Subproblem 4 takfisibel
t = 1
t = 7
t = 4
t = 6 t = 2
t = 5 t = 3
x
1
≥ 4 x
1
≤ 3
x
2
≥ 1 x
2
≤ 0
x
1
≤ 4 x
1
≥ 5 Subproblem 2
1
4, x
=
2
0.83, x
= 23.33
z =
Subproblem 5
1
4.5, x
=
2
0, x
= 22.5
z =
depot, yaitu tempat menyimpan bus yang digunakan untuk mengangkut karyawan dan
merupakan tempat dimulainya suatu rute bus. Intermediate node simpul penghubung
menunjukkan pos ke-i yang dilewati oleh setiap bus untuk menjemput dan
mengantarkan karyawan. Misalkan banyaknya bus yang tersedia di depot adalah k dengan
kapasitas setiap bus diasumsikan sama, yaitu Q, dan jarak tempuh maksimum setiap bus
adalah T. Permasalahannya ialah menentukan rute yang fisibel yang mungkin dapat dilalui
sehingga biaya dari setiap bus yang melalui rute tersebut adalah minimum.
Toth dan Vigo 2002 memformulasikan VRP dalam bentuk ILP dengan tujuan
meminimalkan total biaya atau total jarak tempuh dari rute perjalanan.
Untuk mendefinisikan masalah rute bus karyawan, dimisalkan:
Q = kapasitas bus T = jarak tempuh maksimum dari setiap bus
V = himpunan pos yang dilalui oleh bus I = himpunan intermediate node simpul
penghubung k = banyaknya bus yang tersedia
f = biaya tetap untuk setiap pengiriman satu bus per hari
q
i
= banyaknya karyawan yang harus
dijemput di pos i u
i
= banyaknya karyawan di bus tepat setelah pos i
d
ij
= jarak tempuh dari pos i ke pos j v
i
= total panjang perjalanan bus dari depot sampai pada pos i
c
ij
= biaya dari pos i ke pos j α = biaya yang dikeluarkan tiap-tiap bus per
kilometer Variabel keputusan :
Fungsi objektif dari permasalahan ini adalah meminimumkan biaya yang dikeluarkan oleh
pengelola bus karyawan. Setiap bus yang dijadwalkan berangkat dari depot ke pos-pos
yang sudah ditentukan, akan dikenakan biaya sesuai dengan jauhnya perjalanan bus
ditambah dengan biaya tetap untuk semua bus yang dikirim sehingga dimodelkan sebagai
berikut: min z =
dengan c
ij
= αd
ij
dan V’ = V U {0 }. Dalam
model ini, yang dipakai hanya rute penjemputan saja karena diasumsikan bahwa
rute penjemputan karyawan sama dengan rute pengantaran karyawan.
Kendala-kendala : 1. Setiap rute perjalanan bus berawal dari
depot dengan pembatasan bahwa paling banyak k bus yang meninggalkan pos 0
menuju pos i
2. Setiap rute perjalanan bus berakhir di depot dengan pembatasan bahwa paling
banyak k bus yang meninggalkan pos i menuju depot
3. Setiap pos hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu bus
4. Kendala kapasitas u
i
− u
j
+ Qx
ij
≤ Q − q
j
3.1 i
≠ j I u
i
≥ q
i
, 3.2
u
i
− q
i
x
0i
+ Qx
0i
≤ Q 3.3
Variabel x
ij
dan x
ji
hanya akan terdefinisi jika q
i
+ q
j
≤ Q. Jika x
ij
= 0 maka kendala u
i
– u
j
+ Qx
ij
≤ Q − q
j
akan menunjukkan bahwa u
i
+ q
j
≤ Q + u
j
. Jika x
ij
= 1 maka kendala tersebut menunjukkan bahwa u
j
≥ u
i
+ q
j
. Formulasi 3.1 dan 3.2 memastikan
bahwa tidak terdapat subrute pada setiap rute yang terbentuk, karena kapasitas bus
sangat mempengaruhi rute yang ada. Formulasi 3.3 menunjukkan kapasitas
bus yang dimulai dari depot ke pos pertama dalam rute perjalanannya.
Formulasi kendala 4 pada intinya menekankan pada batasan subrute yaitu
mengeliminasi subrute supaya tidak terdapat subrute pada rute-rute yang
terbentuk yang dikaitkan dengan batasan kapasitas bus. Perjalanan yang memuat
suatu subrute merupakan solusi yang tidak fisibel. Variabel keputusan hanya
akan terdefinisi jika banyaknya karyawan yang dijemput pada pos i dan pos j tidak
melebihi kapasitas bus. Ilustrasi :
Misalkan diberikan pos 1, 2, 3, 4, dan 5 yang akan dilalui oleh satu bus karyawan,
1 ; jika bus berangkat dari pos ke pos 0 ; jika selainnya
ij
i j
x ⎧
= ⎨ ⎩
.
ij ij
i V j V
c x f k
∈ ∈
+
∑ ∑
0i i I
x k
∈
≤
∑
i i I
x k
∈
≤
∑
,
1
ij j I j i
x
∈ ≠
=
∑
i I
∀ ∈
,
1
ij i I i
j
x
∈ ≠
=
∑
j I
∀ ∈
∀ ∈
i I
∀ ∈ i
I ∀ ∈
dan perjalanan bus yang diberikan seperti gambar berikut:
1 3 4
2 5
Gambar 10 Perjalanan bus yang berupa subrute.
Gambar 10 merupakan subrute yang terdiri atas 1-2-1 dan 1-3-4-5-1, dan
diasumsikan bahwa pos 1 adalah depot. Pada Gambar 10, nilai x
13
= x
34
= x
45
= x
51
= x
12
= x
21
= 1. Misalkan diambil subrute 1-2-1 dengan q
1
= 0, q
2
= 15, q
3
= 10, q
4
= 21, q
5
= 8, dengan Q = 40. q
3
+ q
4
+ q
5
= 10 + 21 + 8 = 39. Sedangkan q
2
= 15, sehingga q
3
+ q
4
+ q
5
+ q
2
= 10 + 21 + 8 +15 = 54 40 kapasitas bus.
Akibatnya dari pos 5, bus harus kembali lagi ke depot untuk menurunkan
karyawan terlebih dahulu baru menjemput karyawan lagi. Rute bus
seperti ini tidak diinginkan, sehingga harus dieliminasi.
Representasi pertaksamaan kendala 4 terhadap sisi berarah dalam subcycle ini
adalah : u
1
− u
2
+ Qx
12
≤ Q − q
2
1 dan
u
2
− u
1
+ Qx
21
≤ Q − q
1
2 sehingga dari 1 dan 2 didapat :
Qx
12
+ x
21
≤ 2Q − q
2
− q
1
3 Hasil 3 bertentangan dengan
x
12
= x
21
= 1 yaitu, Q1 + 1
≤ 2Q − q
2
– q
1
2Q ≤ 2Q − q
2
– q
1
80 ≤ 80 – 15 – 0
80 ≤ 65
Berdasarkan hasil di atas perjalanan yang memuat suatu subrute merupakan
solusi yang tidak fisibel. Ilustrasi :
Misalkan diberikan pos 1, 2, 3, 4, dan 5 yang akan dilalui oleh satu bus karyawan,
dan perjalanan bus yang diberikan seperti gambar berikut:
1 3
2
4 5
Gambar 11 Perjalanan bus yang berupa rute.
Dari Gambar 11 diasumsikan bahwa pos 1 merupakan pos pertama dari
perjalanan bus pada akhirnya semua pos akan dikunjungi. Misalkan u
i
= banyaknya karyawan di bus tepat setelah
pos i dan q
i
= banyaknya karyawan yang harus dijemput di pos i.
Sebagai gambaran, akan dipertimbangkan rute yang diperoleh dari
Gambar 11, yaitu 1-3-4-5-2-1, kemudian dipilih q
1
= 0, q
2
= 15, q
3
= 10, q
4
= 21, q
5
= 8, dengan Q = 40 sehingga x
13
= x
34
= x
45
= x
52
= x
21
= 1. Dengan pemilihan tersebut akan
dibuktikan pertidaksamaan 4 terpenuhi. Pertama, pemilihan tersebut sesuai
untuk sebuah sisi berarah dengan x
ij
= 1. Sebagai contoh, pembatasan untuk x
34
adalah u
3
– u
4
+ 40 x
34
≤ 40 – q
4
dengan u
3
= 10 dan u
4
= 31 sehingga 10
− 31 + 40 x
34
≤ 40 – 21 10
− 31 + 40 1
≤ 40 − 21 19
≤ 19 Kedua, pemilihan rute di atas juga
memenuhi kendala x
ij
= 0. Sebagai contoh untuk untuk x
34
adalah u
3
– u
4
+ 40 x
34
≤ 40 – q
4
dengan u
3
= 10 dan u
4
= 31 sehingga
10 – 31 + 40 x
34
≤ 40 – 21 10 – 31 + 40 0
≤ 40 − 21 31
≤ 71 5. Kendala Jarak
v
i
− v
j
+ T − d
i0
− d
0j
+ d
ij
x
ij
+ T − d
i0
− d
0j
− d
ji
x
ji
≤ T − d
io
− d
oj
i ≠ j I
v
i
− d
0i
x
0i
≥ 0, i
I v
i
− d
0i
x
0i
+ T x
0i
≤ T, i
I dengan d
0i
+ d
ij
+ d
j0
≤ T bagi setiap pasangan i, j.
Jika x
ij
= 1 dan x
ji
= 0, maka kendala tersebut menunjukkan bahwa v
i
– v
j
+ d
ij
≤ 0 sehingga v
i
+ d
ij
≤ v
j.
Jika x
ji
= 1 dan x
ij
= 0, maka kendala ini menunjukkan
∀
∈
∀
∈
∀
∈
bahwa v
i
− v
j
− d
ji
≤ 0 sehingga v
i
≤ v
j
+ d
ji
. Formulasi model pada kendala 5
memastikan bahwa panjang perjalanan bus tidak melebihi jarak tempuh
maksimumnya sehingga dapat dipastikan bahwa bus akan kembali ke depot tepat
sebelum jam kerja dimulai. Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika
jauhnya perjalanan bus yang dimulai dari pos i ke pos j tidak melebihi jarak tempuh
maksimum yang ditempuh oleh setiap bus.
Jarak sangat menentukan dalam menentukan waktu yang dibutuhkan
untuk mengantarkan dan menjemput karyawan ke perusahaan. Semakin jauh
jarak yang ditempuh, semakin lama waktu yang dibutuhkan bus dalam
menjemput karyawan. Sebaliknya, semakin dekat jarak yang ditempuh,
semakin sedikit waktu yang dibutuhkan bus dalam menjemput karyawan.
6. Variabel keputusan x
ij
adalah integer biner.
x
ij
{0, 1}, i, j
V’
IV STUDI KASUS
Studi kasus berikut berdasarkan data hipotetik dengan kendala-kendala sebagai
berikut: 1. Setiap pos hanya dikunjungi satu kali oleh
satu bus. 2. Setiap bus mengangkut karyawan sesuai
dengan batasan kapasitasnya. Setiap bus mempunyai kapasitas maksimum 40
orang. 3. Setiap rute bus berawal dari perusahaan.
4. Setiap rute bus berakhir di perusahaan. 5. Setelah menjemput karyawan dari pos, bus
akan meninggalkan pos tersebut. 6. Tidak terdapat subrute pada setiap rute
yang ada. 7. Jarak maksimum yang ditempuh oleh
setiap bus adalah 100 km. 8. Biaya tetap untuk setiap pengiriman satu
bus per hari adalah 100000 rupiah. 9. Biaya yang dikeluarkan tiap-tiap bus per
kilometer adalah 2000 rupiah. Pengelola bus karyawan tersebut telah
melakukan survei ke beberapa tempat yang dianggap strategis untuk dijadikan pos
sehingga semua karyawan dapat menjangkau pos tersebut dengan mudah. Pos-pos ini yang
nantinya menjadi tempat bus untuk menjemput karyawan. Pos dibagi menjadi:
Pos A, Pos B, Pos C, Pos D, Pos E, Pos F, Pos G, Pos H, Pos I, dan Pos J. Setiap pos hanya
dikunjungi oleh satu bus. Data jarak antarpos dan jarak dari perusahaan ke setiap pos
diberikan pada Tabel 1 dalam kilometer.
Tabel 1 Jarak antarpos penjemputan bus karyawan POS
0 A B C D E F G H I J 23 25 17 23 19 21 24 24 23 25
A 23 0
15 8 13 13 14 14 18 15 15 B
25 15 0 10 12 14 17 18 18 17 17 C
17 8 10 0 10 16 16 10 18 15 13
D 23 13 12 10 0 11 12 12 16 13 11
E 19 13 14 16 11 0 12 12 16 13 11
F 21 14 17 16 12 12 0 9 13 14 15
G 24 14 18 10 12 12 9 0 14 11 11
H 24 18 18 18 16 16 13 14 0 11 11
I 23 15 17 15 13 13 14 11 11 0 12
J 25 15 17 13 11 11 15 11 11 12 0
∈ ∀
∈
Tabel 2 Banyaknya karyawan yang dijemput pada setiap pos POS
Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i A
10 B
12 C
13 D
14 E
15 F
16 G
17 H
18 I
19 J
20 Formulasi model PLI dari data pada Tabel
1 adalah sebagai berikut: Minimumkan
terhadap kendala berikut: 1. Setiap rute perjalanan bus berawal dari
depot dengan pembatasan bahwa paling banyak k bus yang meninggalkan pos 0
menuju pos i
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 2. Setiap rute perjalanan bus berakhir di
depot dengan pembatasan bahwa paling banyak k bus yang meninggalkan node i
menuju depot
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 3. Setiap pos hanya dapat dikunjungi tepat
satu kali oleh satu bus
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
4. Kendala Kapasitas u
i
− u
j
+ Qx
ij
≤ Q − q
j
i ≠ j I
u
i
≥ q
i
, u
i
− q
i
x
0i
+ Qx
0i
≤ Q i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 5. Kendala Jarak
v
i
− v
j
+ T − d
i0
− d
0j
+ d
ij
x
ij
+ T − d
i0
− d
0j
− d
ji
x
ji
≤ T − d
io
− d
oj
i ≠ j I
v
i
– d
0i
x
0i
≥ 0, i
I v
i
– d
0i
x
0i
+ T x
0i
≤ T, i
I i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
6. Variabel keputusan x
ij
merupakan integer biner.
Model dalam bentuk integer linear programming selanjutnya diselesaikan
menggunakan software LINGO 8.0 dengan metode branch and bound lihat Lampiran 2,
sehingga dihasilkan rute kendaraan untuk menjemput dan mengantar karyawan yang
meminimumkan total jarak tempuh. Setelah melakukan beberapa kali iterasi dengan
mengganti nilai k, biaya yang paling minimum diperoleh jika digunakan 4 unit bus
untuk dapat menjemput karyawan dengan rute setiap bus diberikan pada Tabel 3, Tabel 4,
Tabel 5, Tabel 6, dan Gambar 12.
.
ij ij
i V j V
c x f k
∈ ∈
+
∑ ∑
0i i I
x k
∈
≤
∑
i i I
x k
∈
≤
∑
,
1
ij j I j i
x
∈ ≠
=
∑
i I
∀ ∈
,
1
ij i I i
j
x
∈ ≠
=
∑
j I
∀ ∈
∀ ∈
i I
∀ ∈ i
I ∀ ∈
∀
∈
∀
∈
∀
∈
1 ; jika bus berangkat dari pos ke pos 0 ; jika selainnya
ij
i j
x ⎧
= ⎨ ⎩
Tabel 3 Rute solusi optimal untuk bus pertama
Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i
0 0 C 13
B 12 E 15
0 0
Tabel 4 Rute solusi optimal untuk bus kedua Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di
pos i 0 0
F 16 D 14
A 10 0 0
Tabel 5 Rute solusi optimal untuk bus ketiga Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di
pos i 0 0
H 18 J 20
0 0
Tabel 6 Rute solusi optimal untuk bus keempat
Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i
0 0 I 19
G 17 0 0
B C
F D
E Keterangan :
A Bus 1
Bus 2 G
J Bus 3
Bus 4 I
H
Gambar 12 Solusi rute perjalanan. Rute yang dilalui bus pertama berawal dari
depot, pos C, pos B, pos E, lalu kembali ke depot dengan total jarak tempuh 60 km dan
mengangkut karyawan sejumlah 40 orang. Rute yang dilalui oleh bus kedua adalah
meliputi depot, pos F, pos D, pos A, kemudian kembali ke depot dengan total jarak tempuh
69 km dan mengangkut karyawan sejumlah 40 orang. Rute yang dilalui oleh bus ketiga
meliputi depot, pos H, pos J, dan kembali ke depot dengan total jarak tempuh 60 km dan
mengangkut karyawan sejumlah 38 orang. Sedangkan rute yang dilalui oleh bus keempat
meliputi depot, pos I, pos G, dan kembali ke depot dengan total jarak tempuh 58 km dan
mengangkut karyawan sejumlah 36 orang.
Total jarak yang ditempuh oleh keempat unit bus tersebut dalam menjemput atau
mengantar karyawan adalah 247 km. Total biaya yang harus dikeluarkan untuk biaya
operasional bus karyawan per harinya adalah 894000 rupiah.
Depot 0
V SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan
