4.3.1 Analisis Kestabilan di sekitar Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Untuk titik kesetimbangan bebas penyakit
1
1,0,0,0 E
diperoleh elemen-elemen matriks jacobian sebagai berikut:
.0 ds
i s r
dt i
s s
. .0
di i s
i dt
i s
s
dr i
r dt
s s
0 0 0 0
1 di
i i
i dt
s s
ds s
r dt
i i
di i s
i dt
M i
i
dr i
r dt
i i
0 0 0 0
1 di
i i
i dt
i i
ds i s
r dt
r r
di i s
i dt
r r
dr i
r dt
r r
0 0 0 0
1 di
i i
i dt
r r
.1 ds
i s r
dt s
i i
.1 di
i s i
dt s
i i
dr i
r dt
i i
2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 di
i i
i i
i i
dt i
i i
0 0
2 2
.0 i
Dari turunan-turunan di atas untuk
1
E diperoleh matriks jacobian
1
M J E
Untuk mencari nilai eigen dari matriks tersebut dibentuk polinomial karakteristik dari determinan berikut.
1
det p
I J E
det M
det M
M
M
Jadi diperoleh polinomial berikut,
p M
Oleh sebab R
R
berakibat
p M
R
Dari polinomial karakteristik di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut.
1
2
M
3
4
R
Jelas untuk
1 2
, dan
3
bernilai negatif sedangkan oleh sebab dan
apabila 1
R
berakibat
4 4
1 R
R
Dengan kata lain
semua nilai
eigen dari
persamaan polinomial
p M
R
adalah
, ,
2 1
dan
3
untuk setiap kondisi R , dan
4
apabila
1
R dan
4
apabila 1
R . Jadi titik keseimbangan
1
E stabil asimtotik lokal saat
1
R dan
1
E tidak stabil saat 1
R .
4.3.2 Analisis Kestabilan di sekitar Titik Kesetimbangan Endemik