Analisis Kestabilan di sekitar Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

4.3.1 Analisis Kestabilan di sekitar Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Untuk titik kesetimbangan bebas penyakit   1 1,0,0,0 E  diperoleh elemen-elemen matriks jacobian sebagai berikut:   .0 ds i s r dt i s s                                      . .0 di i s i dt i s s                              dr i r dt s s                        0 0 0 0 1 di i i i dt s s                       ds s r dt i i                            di i s i dt M i i                                  dr i r dt i i                         0 0 0 0 1 di i i i dt i i                       ds i s r dt r r                           di i s i dt r r                          dr i r dt r r                            0 0 0 0 1 di i i i dt r r                       .1 ds i s r dt s i i                                  .1 di i s i dt s i i                               dr i r dt i i                        2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 di i i i i i i dt i i i                                0 0 2 2 .0 i                 Dari turunan-turunan di atas untuk 1 E diperoleh matriks jacobian     1 M J E                              Untuk mencari nilai eigen dari matriks tersebut dibentuk polinomial karakteristik dari determinan berikut.     1 det p I J E        det M                                                                  det M                                                      M                                 M                  Jadi diperoleh polinomial berikut,              p M                   Oleh sebab R R        berakibat              p M R                   Dari polinomial karakteristik di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut.     1 2 M      3         4 R      Jelas untuk 1 2 ,   dan 3  bernilai negatif sedangkan oleh sebab   dan apabila 1 R  berakibat     4 4 1 R R             Dengan kata lain semua nilai eigen dari persamaan polinomial              p M R                   adalah , , 2 1     dan 3   untuk setiap kondisi R , dan 4   apabila 1  R dan 4   apabila 1 R  . Jadi titik keseimbangan 1 E stabil asimtotik lokal saat 1  R dan 1 E tidak stabil saat 1 R  .

4.3.2 Analisis Kestabilan di sekitar Titik Kesetimbangan Endemik