Analisis Kestabilan di sekitar Titik Kesetimbangan Endemik

4.3.2 Analisis Kestabilan di sekitar Titik Kesetimbangan Endemik

Untuk titik kesetimbangan endemik   2 , , , E s i r i dengan   ds i s dt i i s s                                   0 0 0 0 di i s i dt i i s s                             dr i r dt s s                        0 0 0 0 1 di i i i dt s s                       ds s dt i i                            di i s i dt M i i                                  dr i r dt i i                         0 0 0 0 1 di i i i dt i i                       ds i s dt r r                          di i s i dt r r                            dr i r dt r r                                 0 0 0 0 1 di i i i dt r r                       ds i s dt s i i                            di i s i dt s s i i                             dr i r dt i i                              2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 1 di i i i i i i dt i i i i R R R R R                                                                      Jadi untuk 2 E diperoleh matriks jacobian       2 1 i s i M s J E R                                Untuk mencari nilai-nilai eigen dari matrik jacobian dibentuk polinomial karakteristik berikut.       2 det p I J E          det 1 i s i M s R                                                                    det 1 i s i M s R                                                      Dari determinan di atas diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut,           1 1 M s i M s q i R R                                       s M s                     1 M s q i R                          1 i M s R                                      1 1 q i M R i R                                            1 q R i M i                                       1 R i M i                                                                   2 2 2 1 1 1 1 R M M i i M i R M i M i M i R M i M i i R r                                                                                                      3 2 2 r M i M i                            M i M i i                              3 2 r M i M M i M i                                M i i                     3 2 r M i M M i M i                               M i i             3 2 r A B C         Dari persamaan karakteristik   q  ditemukan salah satu nilai eigennya yaitu   1 1 R      . 1  akan bernilai negatif jika 1 R  , sedangkan nilai-nilai eigen yang lain termuat dalam polinomial   3 2 r A B C          . Nilai-nilai eigen lainnya akan bernilai negatif apabila AB C  , 0, A B   dan C  sesuai kriteria Routh-Hurwitz. Diperoleh     2 A M i M i                       B M M i M i                               2 2 M M i M i M i M M M i i i M M i M M M i M                                                                   C M i i                                           M i i M M i i M i M i i M i M M i i M i M M i i M i M M i M i M M i M i M i M                                                                                          Oleh sebab M       , 0, 0, 0,         dan i  sehingga M       mengakibatkan     C M i M i M             . Jadi C  . Kemudian akan ditunjukkan AB C  untuk setiap , , A B C  , diperoleh           2 AB M i M i M                               2 2 2 M M i M M i M                                       i M i i M M i M                                     2 2 2 2 2 2 2 2 M M M i M M M M i M                                  2 2 2 i M i M i i M M M i M                                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M M M i M i M i M M M M M i M                                        2 2 2 i M i M i i M M M i M                                     2 2 2 2 2 2 2 M M M M M M i M i i M                                2 2 2 2 2 2 M i i M M M M i M i i M                                    2 M i M                 2 2 2 2 2 2 2 M M M M M M i M i M i                               2 2 2 2 2 2 M i M i M M M i M i i M                                  2 M i M               2 2 2 2 2 2 2 M M M M M i M i M i                             2 2 2 2 2 2 M i M i M M M i M i i M                                  2 M i M                   2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 M M M M i M i M i M i M i i M                                      2 M i M                   2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 M M M M M i M i M i i M i M i M M M M                              2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i M i i i i i i                                     2 2 2 2 2 2 4 2 3 3 5 AB M M M M i M i M i i M M M                      2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i M i i i i i i                                     Disisi lain     C M i M i M            2 M M i M i i M           Sehingga diperoleh AB-C sebagai berikut 2 2 2 2 2 2 4 2 3 3 5 AB C M M M M i M i M i i M M M                       2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i M i i i i                            2 2 2 2 i i M M i M i i M                      2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 AB C M M M M i M i M i i M M M                       2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i i M i i i i                          2 2 2 i i i              Oleh sebab M       , 0, 0, 0,         dan i  sehingga AB-C positif dan karena C positif mengakibatkan AB C  . Jadi terbukti AB C  untuk setiap , , A B C  . Dengan demikian 2 3 ,   dan 4  bernilai negatif artinya jika 1 R  maka titik kesetimbangan 2 E stabil asimtotik lokal. Dari bukti kestabilan di atas diperoleh teorema sebagai berikut. Teorema 4.2 Dipunyai R    , dan 1 2 , E E adalah titik ekuilibrium sistem 4.3 seperti pada teorema 4.1. 1. Jika 1  R maka titik ekuilibrium 1 E stabil asimtotik lokal 2. Jika 1  R maka titik ekuilibrium 1 E tidak stabil dan titik ekuilibrium endemik 2 E stabil asimtotik lokal.

4.4 Simulasi Model