Solusi Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear Persamaan Diferensial Linear Homogen dan Tak Homogen Sistem Persamaan Diferensial

5.       2 2 2 2 , , , 2 u x y u x y u x y x t t         Untuk contoh 1, 2, 3 termasuk persamaan diferensial biasa sedangkan contoh 4 dan 5 merupakan persamaan diferensial parsial.

2.2 Solusi Persamaan Diferensial

Definisi 2.1 Diberikan persamaan diferensial   , dx f t x dt  2.1 Dimana f adalah fungsi dalam dua variabel yang diberikan. Sebarang fungsi terturunkan   x t   yang memenuhi persamaan ini untuk semua t dalam suatu interval disebut solusi.Waluya, 2006

2.3 Persamaan Diferensial Linear dan Tak Linear

Klasifikasi persamaan diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear Definisi 2.2 Diberikan persamaan diferensial biasa     , , ,..., n F t y y y   , F dikatakan linear dalam variabel   , ,..., n y y y  . Definisi serupa juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa order n diberikan dengan             1 1 ... n n n a t y a t y a t y g t      Persamaan yang tidak dalam bentuk tersebut merupakan persamaan tak linear. Waluya, 2006.

2.4 Persamaan Diferensial Linear Homogen dan Tak Homogen

Definisi 2.3 Persamaan diferensial linear PDL     x a t x g t    2.2 Dengan   a t dan   g t adalah fungsi dari waktu t. Pada saat   a t a  dengan a adalah konstanta, maka   a t disebut koefisen dari PDL. Jika   g t  maka persamaan 2.4 disebut PDL Homogen dan jika   g t  , disebut PDL tak homogen. Farlow,1994

2.5 Order Persamaan Diferensial

Definisi 2.4 Order dari persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan. Secara umum persamaan diferensial berorder n dapat dituliskan sebagai       , ,..., n F t u t u t      Persamaan di atas menyatakan relasi antara variabel bebas dan nilai-nilai dari fungsi       ,..., n u t u t . Waluya, 2006:4. Untuk lebih kita tulis untuk   u t , untuk   u t dan seterusnya. Jadi persamaan dapat ditulis sebagai   , ,..., n F t y y      Contoh: 1.     4 2 2 3 1 y y y     persamaan diferensial order empat 2.     3 2 6 3 5 y y y    persamaan diferensial order tiga 3.   2 2 4 y y   persamaan diferensial order dua

2.5.1 Persamaan Diferensial Biasa Order Satu

Diberikan bentuk persamaan diferensial biasa   , dx f t x dt  Dimana f adalah fungsi dalam dua variabel, sembarang fungsi terturunkan   x t   yang memenuhi persamaan itu untuk semua t disebut solusi persamaan diferensial biasa order satu. Contoh: Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut ini: 1. 3 3 6 5 x t t     2. 4 2 1 4 5 x t t t     Penyelesaian: 1. Jelas 3 3 6 5 x t t       3 3 6 5 x t t dt      4 2 3 6 5 4 2 x t t t c      4 2 3 3 5 4 x t t t c      Jadi solusi umum untuk 3 3 6 5 x t t     adalah 4 2 3 3 5 4 x t t t c     2. Jelas 4 2 1 4 5 x t t t     4 2 1 4 5 x t t t dt            5 3 2 1 1 2 5 15 x t t t c      Jadi solusi untuk 4 2 1 4 5 x t t t     adalah 5 3 2 1 1 2 5 15 x t t t c    

2.5.1.1 Persamaan differensial eksak

Definisi 2.5 Persamaan diferensial order satu berbentuk     , , M x t dt N x t dx   , 2.3 Persamaan 2.3 disebut persamaan eksak apabila   , f x t C   sehingga       , , , df x t M x t dt N x t dx   2.4 Dari definisi dan hubungan 2.3 terlihat bahwa   , df x t  . Dengan mengintegralkan ini diperoleh solusi umum persamaan diferensial PD yaitu   , f x t C  . Selanjutnya dari definisi total, terlihat bahwa   , df M x t dt  dan   , df N x t dx  2.5 Jika M dan N memiliki turunan parsial yang kontinu dibidang tx maka 2 dM f dx x t     dan 2 dN f dx t x     2.6 Jika f memiliki turunan parsial kedua yang kontinu maka M N x t      2.7 Syarat 2.7 persamaan diferensial 2.3 dikatakan eksak. Juga syarat cukup , sehingga hubungan 2.3 dapat dipergunakan untuk menentukan   , f x t C  yang merupakan solusi umum untuk PD 2.3.Supriyono, 2012: 14 Contoh: Tinjau PD 2 t dx xdt x          Penyelesaian: Disini 1, 1 M N x t       sehingga M N x t      Maka PD 2 t dx xdt x          merupakan PD eksak. Untuk menentukan solusi umum akan dicari   , f x t C  sehingga hubungan   , df M x t dt  dan   , df N x t dx  berlaku. Solusi untuk 2 t dx xdt x          adalah   , df M x t x dt   sehingga Jelas     , f x t xdt g x        , f x t xt g x    Disisi lain   , df M x t x dt   sehingga Jelas   2 , df N x t t dx x      df x g x dx    Diperoleh   2 g x x  Jelas   2 g x dt dt x      2ln g x x C    Jadi solusi umum   , 2ln f x t xt x C    .

2.5.1.2 Faktor Integrasi

Definisi 2.6 Misalkan PD :     , , M x t dt N x t dx   tidak eksak. Fungsi   , x t  sehingga         , , , , x t M x t dt x t N x t dx     PD eksak,   , x t  disebut faktor integrasi. Perhatikan langkah untuk menentukan faktor integrasi pada     , , M x t dt N x t dx   yang tidak eksak menjadi eksak yaitu         , , , , x t M x t dt x t N x t dx     . Karena         , , , , x t M x t dt x t N x t dx     PD eksak diperoleh     M N x t        atau M N M N x x t t                M N N M t x x t                      1 M N N M t x x t                      diperoleh fakta, 1 M N N M t x x t                     sekarang kita tinjau beberapa kasus. a Misalkan   t    , maka x     Jika x     , maka 1 M N N M t x x t                     1 M N N t x t                   1 M N N t x t            1 M N x t t N           Bila M N x t N      suatu fungsi dari t, sehingga   M N x t g t N       , maka   1 g t t      atau   g t dt     Sehingga   g t dt         ln g t dt       g t dt e     Diperoleh faktor integrasi   g t dt e    Contoh: Perhatikan PD:   2 xdt xt t dx    tidak eksak. Dari PD di atas kita dapatkan   , M x t x  1 M x     dan     2 , N x t xt t   2 1 N xt t      sehingga   2 1 2 1 M N xt x t N xt t          2 2 2xt xt t      2 2 1 xt t xt        2 1 1 xt t xt     2 t     g t  Jadi faktor integrasi pada PD di atas adalah   2 2 2ln ln dt g t dt t t t e e e e           Sehingga 2 2 1 x x     . b Misalkan   x    , maka t     sehingga 1 M N N M t x x t                     1 M N M x x t                   M M N x x t             M N x t x M             M N x t x M               Jika fungsi   M N x t g x M        suatu fungsi dari x, maka Jelas   g x x          ln g x x        g x x e      Jadi   g x x e     adalah faktor integrasi untuk kasus   x    . Contoh: Dipunyai PD   2 2 2 3 xtdt x t dx    . Tentukan faktor integrasinya Penyelesaian: Jelas   , 2 M x t xt  2 M t x         2 2 , 3 N x t x t   6 N t t      Sehingga 2 6 2 M N t t x t M xt          8 2 M N t x t M xt            4 M N x t g x M x           Jadi faktor integrasi untuk PD di atas adalah 4 4 ln 4 1 dx x x e e x        c Misalkan   , x t    Dengan substitusi y xt  diperoleh . y x x t y t y t y                      dan . y t t x y x y x y                      Sehingga 1 M N N M t x x t                     diperoleh 1 M N xN tM y y x t                       1 M N xN tM y x t             1 M N x t y xN tM             Disimpulkan jika   , , M N x t h y y xt xN tM         maka faktor integrasi adalah   ln h y dy e   . Contoh: Dipunyai PD   3 4 3 xdt t t x dx    . Tentukan faktor integrasinya Penyelesaian: Jelas   , M x t x  1 M x         3 4 , 3 N x t t t x   2 4 1 9 N t x t      Sehingga   2 4 1 1 9 M N t x x t         2 4 9t x  3 5 3 xN tM xt t x xt     3 5 3t x  Jadi 2 4 3 5 9 3 M N t x x t xN tM t x        3 xt     3 g y y    Jadi faktor integrasi PD di atas adalah   3 3 3ln ln 3 3 1 dy g y dy y y y e e e e y y              Jadi   3 3 1 1 y xt    Berikut ini contoh penerapan faktor integrasi untuk mencari solusi umum PD order satu. Contoh: Tentukan solusi dari persamaan diferensial biasa linear order satu dari dx x t dt   Penyelesaian: Dari dx x t dt   diperoleh   1 g t   dan   q t t  Diperoleh faktor integralnya     1 p t dt dt t e e e       Selanjutnya kedua ruas kita kalikan dengan t e  diperoleh t t dx e x e t dt           t t t dx e e x e t dt             t t d e x e t dt         t t e x e tdt      t t t e x e t e dt         t t t e x e t e c         1 t c x t e       1 1 x t c      Jadi dari dx x t dt   diperoleh solusi 1 1 x t c     dengan 1 c suatu kontanta.

2.5.2 Persamaan Diferensial Biasa Order Dua

2.5.2.1 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen dengan Koefisien

Konstanta Perhatikan PD linear order dua homogen dengan koefisien konstanta yang berbentuk x bx cx      2.8 Dimana b dan c merupakan konstanta. Dengan demikian persamaan diferensial order dua homogen bisa ditulis Ambil t x e   , dan  agar t x e   solusi PD 2.8. Dari t x e   diperoleh t x e     dan 2 t x e     Disubstitusikan ke PD 2.8 menjadi 2 t t t e b e ce           2 t e b c        Karena t e   x  dan  maka 2 b c      2.9 Persamaan 2.9 disebut persamaan karakteristik dari 2.8 , dan akar-akar 2.9 disebut akar-akar karakteristik 2.8 Ada 3 kemungkinan akar- akar dari 2 b c      a Akar real berbeda Bila 1  dan 2  adalah dua akar real yang berbeda, maka 1 t e  dan 2 t e  adalah solusi yang bebas linear. Jadi, solusi umum PD 2.8 adalah   1 2 t t x t Ae Be     . Syarat akar real berbeda adalah D  dengan kata lain 2 4 b c   . Contoh: Tentukan solusi umum dari PD 5 6 x x x      Penyelesaian: Dari dari PD 5 6 x x x      diperoleh persamaan karakteristik 2 5 6         1 2 3 2       1 3    atau 2 2   Jadi solusi umum PD di atas adalah   3 2 t t X t Ae Be   b Dua akar sama Misalkan kedua akar dari persamaan karakteristik 2.9 bernilai sama yakni 1 2 k     maka   1 kt X t e  adalah salah satu solusi PD 2.8 . Bila     2 1 X w t X t  adalah solusi lainnya, maka       2 1 p t dt kt w t e dt e     karena 1 2 k     adalah akar-akar pesamaan   2 a b c t      maka 1 2 2k p       . Diperoleh Jelas       2 1 p t dt kt w t e dt e         2 2 1 kdt kt w t e dt e          2 2 kt kt e w t dt e      1. w t dt t     Jadi   w t t  sehingga didapatkan   2 1 kt X tX t te   . Jadi solusi umum untuk 2.8 adalah kt kt X Ae Bte   . Syarat akar-akar real sama adalah D  dengan kata lain 2 4 b c   . Contoh: Tentukan solusi umum PD 4 4 x x x      Penyelesaian: Dari PD 4 4 x x x      diperoleh persamaan karakteristik 2 4 4         1 2 2 2       1 2 2 2       Jadi solusi umum PD 4 4 x x x      adalah 2 2 t t X Ae Bte   c Akar kompleks Misalkan salah satu akar 2.9 adalah 1 i      maka akar yang lainnya adalah 2 i      . Karena , maka   1 1 i t t X e e       dan   2 2 i t t X e e       Jadi solusi umum untuk PD 2.9 adalah     1 2 i t i t X C e C e         .     1 2 1 2 cos sin cos sin t ti t ti t t X C e e C e e X C e t i t C e t i t                   1 1 2 2 cos sin cos sin t t t t X C e t C e i t C e t C e i t              1 2 1 2 cos cos sin sin t t t t X C e t C e t C e i t C e i t                  1 2 1 2 cos sin t t X C C e t C i C i e t          Ambil 1 2 A C C   dan 1 2 B C i C i   sehingga didapatkan cos sin t t X Ae t Be t       . Syarat akar-akar kompleks berbeda adalah D  dengan kata lain 2 4 b c   . Contoh: Tentukan solusi umum PD 2 2 x x x      Penyelesaian: Didapatkan persamaan karakteristik dari PD di atas yaitu 2 2 2      dengan akar-akarnya 1 1 i    dan 2 1 i    sehingga 1   dan 1   . Jadi solusi umum PD di atas adalah cos sin t t X Ae t Be t   .

2.5.2.2 Persamaan Diferensial Chauchy

PD linear order dua homogen yang berbentuk 2 t x mtx nx      2.10 Dimana m dan n di konstanta-konstanta disebut PD Chauchy atau PD Euler order dua.misalkan , x t t    dan kita akan mencari  agar x t   solusi PD 2.10. Dari x t   diperoleh 1 x t      dan   2 1 x t        , kemudian disubstitusikan ke 2.10, diperoleh Jelas         2 2 1 1 t t mt t n t               1 t m t nt              2 m n t              2 1 m n t         Karena t  diperoleh   2 1 m n       2.11 Disebut persamaan pembantu PD 2.10. Ada 3 kemungkinan akar-akar persamaan 2 t x mtx nx      a Akar Real Berbeda Bila 1  dan 2  adalah dua akar real yang berbeda, maka 1 2 x t   dan 2 2 x t   adalah solusi yang bebas linear. Jadi solusi umum PD adalah 1 2 x At Bt     Contoh: Tentukan solusi PD 2 4 4 t x tx x      Penyelesaian: Dari 2 4 4 t x tx x      diperoleh 4 m  dan 4 n   , sehingga diperoleh persamaan pembantu 2 3 4         4 1       1 4     atau 2 1   Jadi, solusi PD 2 4 4 t x tx x      adalah 4 4 A x At Bt Bt t      b Dua akar sama Misalkan kedua akar dari persamaan karakteristik 2.10 bernilai sama yakni 1 2      Jelas 1 x t   adalah salah satu solusi PD 2.10, solusi lainnya     2 1 x w t X t  dapat ditentukan dengan mencari   w t , yaitu     2 2 1 mt dt t w t e t        2 1 m dt t e t      ln 2 1 m t e t     ln 2 1 m t e t     2 1 m t t     2 m t dt      Karena 1 2    maka   1 2 2 1 1 m m            . Jadi,   2 1 1 m m m           dan   1 ln w t t dt t     . Sehingga 2 ln . ln x t t t t     . Jadi solusi PD di atas adalah ln x At Bt t     atau   ln , x t A B t t     . Khusus untuk t t t    , maka solusi umum adalah   ln , x t A B t t     . Contoh: Tentukan solusi umum PD 2 0, t x tx x t       Penyelesaian: Dari PD di atas diperoleh 1 m   dan 1 n  sehingga diperoleh persamaan pembantu 2 2 1        2 1     1 1    atau 2 1   Jadi solusi umum PD di atas adalah   ln , x t A B t t    . a Akar kompleks Misalkan salah satu akar 2.9 adalah 1 i      maka akar yang lainnya adalah 2 i      . Karena , maka 1 1 t i x t t       dan 2 2 i x t t       Jadi solusi umum untuk PD 2.9 adalah 1 2 i i x C t C t         . Disisi lain     ln ln cos ln sin ln i i t i t t e e t i t          dan     cos ln sin ln i t t i t       . Diperoleh 1 2 i i x C t C t                     1 2 cos ln sin ln cos ln sin ln C t t i t C t t i t                   1 1 2 2 cos ln sin ln cos ln sin ln t C t C i t C t C i t                      1 2 1 2 cos ln sin ln t C C t C i C i t            Ambil   1 2 A C C   dan   1 2 B C i C i   . Jadi     cos ln sin ln x t A t B t          . Contoh: Tentukan solusi umum PD 2 2 0, t x tx x t       Penyelesaian; Dari PD di atas diperoleh persamaan pembantu 2 2 2              1 1 1 1 i i i i                 Sehingga 1 i i      Jadi solusi umum PD di atas adalah     cos ln sin ln x t A t B t      

2.5.2.3 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen dan

Metode Koefisien Tak Tentu Tinjau persamaan diferensial linear order dua tak homogen         a t x b t x c t g t      2.12 Dimana   g t  . Solusi umum untuk persamaan diferensial order dua tak homogen dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut,         1 2 1 2 t t h t x t x t c e c e x t         , dimana   1 2 1 2 t t h x t c e c e     adalah solusi yang berbasis pada persamaan diferensial order dua homogen sedangkan   x t merupakan penyelesaian khusus dari persamaan diferensial order dua tak homogen. waluya, 2006. Untuk mencari   x t kita harus menebaknya sesuai dengan permasalahan. Berikut ini aturan tebakan yang bisa dipakai untuk mencari solusi khusus   x t : 1. Jika   t g t e   , maka fungsi tebakannya   t p x t Ae   . 2. Jika     sin g t t   atau     cos g t t   maka fungsi tebakan       cos sin p x t A t B t     3. Jika   2 2 1 ... n n g t a t a t a t a      maka   2 2 1 ... n p n x t A t A t A t A      4. Jika   2 t g t t e   maka     2 2 1 t p x t A t A t A e     5. Jika     cos t g t e t    atau     sin t g t e t    maka fungsi tebakan         cos sin t p x t e A t B t      6. Jika       1 2 g t g t g t   ,   1 x t tebakan untuk   1 g t dan   2 x t tebakan untuk   2 g t , maka       1 2 p x t x t x t   Waluya, 2006: 58 Contoh: Tentukan solusi persamaan diferensial order dua linear homogen dan tak homogen berikut ini: 1. 2 2 2 3 2 4 d x dx x t dt dt     2. 2 2 2 3 5 t d x dx x e dt dt    3.   2 2 6 3 t d x dx x t e dt dt     4. 2 2 4 2sin 3 d y y x dx   Penyelesaian : 1. PD homogen dari 2 2 2 3 2 4 d x dx x t dt dt     adalah 2 2 3 2 d x dx x dt dt    sehingga diperoleh persamaan karakteristik 2 3 2         1 2       . Diperoleh akar-akar karakteristik 1 1    dan 2 2    Jadi solusi homogennya   2 t t h x t Ae Be     . Solusi p x diandaikan 2 1 2 p x A A t A t    dan dengan menurunkan p x diperoleh 1 2 2 p x A A t    dan 2 2 p x A   . Kemudian disubstitusikan pada PD 2 2 2 3 2 4 d x dx x t dt dt     diperoleh     2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 4 A A A t A A t A t t        2 2 2 1 2 1 2 2 3 6 2 2 2 4 A A A t A A t A t t             2 2 1 2 2 1 2 2 3 2 6 2 2 4 A A A A A t A t t         Didapatkan 1 2 2 3 2 4 A A A    , 2 1 6 2 A A   dan 2 2 1 A  . 2 2 1 2 1 2 A A    2 1 1 1 1 6 2 3 2 2 3 3 2 A A A A A            1 2 2 3 2 4 9 2 1 4 2 9 2 4 1 2 15 2 2 15 4 A A A A A A A                Jadi 2 15 3 1 4 2 2 p x t t    . Jadi solusi umum PD 2 2 2 3 2 4 d x dx x t dt dt     adalah   2 2 15 3 1 4 2 2 t t h p t x x Ae Be t t           2. Dari persamaan diferensial homogen 2 2 2 3 d x dx x dt dt    dapat diperoleh: Persamaan karakteristik    2 2 3 3 1            Diperoleh akar-akarnya 1 3    dan 2 1   . Jadi solusi homogen untuk 2 2 2 3 d x dx x dt dt    adalah   3t t h x t Ae Be    . Selanjutnya tinggal kita cari solusi khusus dari 2 3 2 2 3 5 t d x dx x e dt dt    . Misalkan   3t p x t Ae  sehingga diperoleh turunan pertama dan kedua yang masing-masing adalah 3 3 t p x Ae   dan 3 9 t p x Ae   . Kemudian kita substitusikan ke soal menjadi 3 2 3 5 t p p p x x x e          3 3 3 3 9 2 3 3 5 t t t t Ae Ae Ae e     3 3 3 3 9 6 3 5 t t t t Ae Ae Ae e     3 3 12 5 t t Ae e   12 5 A   5 12 A   Sehingga diperoleh solusi khusus 3 5 12 t p x e  Jadi solusi umum untuk 2 2 2 3 5 t d x dx x e dt dt    adalah       3 3 5 12 t t t h t x t x t Ae Be e        . 3. PD homogen dari   2 2 6 3 t d x dx x t e dt dt     adalah 2 2 6 d x dx x dt dt    Diperoleh persamaan karakteristik    2 6 2 3            , Diperoleh akar-akarnya 1 2   dan 2 3    . Jadi solusi homogen untuk 2 2 6 d x dx x dt dt    adalah   2 3 t t h x t Ae Be    . Untuk solusi khusus dari   2 2 6 3 t d x dx x t e dt dt     , kita andaikan   1 t p x A A t e   . Dengan menurunkan p x diperoleh     1 1 1 1 t t t p x A A t e A e A A A t e        dan     1 1 1 1 1 2 t t t p x A A A t e A e A A A t e         Kemudian substitusikan p x , p x  dan p x  pada PD   2 2 6 3 t d x dx x t e dt dt     Didapatkan           1 1 1 1 1 2 6 3 t t t t A A A t e A A A t e A A t e t e              1 1 4 3 4 3 t t A A A t e t e       Diperoleh 1 4 3 3 A A    dan 1 1 1 4 1 4 A A      , sehingga 1 4 3 3 4 A          3 15 4 3 4 4 A      15 16 A    Jadi 15 1 16 4 t p x t e          Jadi solusi umum PD   2 2 6 3 t d x dx x t e dt dt     adalah       2 3 15 1 16 4 t t t h p t x t x t Ae Be t e                . 4. Pertama kita cari dulu bentuk homogen dari 2 2 4 2sin 3 d x x t dt   yaitu 2 2 4 d x x dt   . Dari 2 2 4 d x x dt   diperoleh persamaan karakteristik 2 4    . Dari perasamaan karakteristik 2 4    diperoleh 2 4    . Sehingga diperoleh akar-akar karakteristik     1,2 4 4 1 4 1 2i          Dengan demikian diperoleh solusi homogen yaitu 2 2 it it h x Ae Be    . Disisi lain   2 cos 2 sin 2 it Ae A t i t   sedangkan   2 cos 2 sin 2 it Be B t i t    Sehingga     cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 h x A t i t B t i t     cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 h x A t Ai t B t Bi t      cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 h x A t B t Ai t Bi t          cos 2 sin 2 h x A B t Ai Bi t      Misalkan 1 c A B   dan 2 c Ai Bi   sehingga diperoleh solusi homogen   1 2 cos 2 sin 2 h x t c t c t   . Selanjutnya untuk mencari solusi khususnya kita tebak solusi khususnya dengan   cos3 sin 3 p x t A t B t   , sehingga didapatkan turunan kedua   9 cos3 9 sin 3 p x t A t B t     Selanjutnya kita substitusikan menjadi 4 2sin 3 p p x x t        9 cos3 9 sin 3 4 cos3 sin 3 2sin 3 A t B t A t B t t       9 cos3 4 cos3 9 sin 3 4 sin 3 2sin 3 A t A t B t B t t       5 cos3 5 sin 3 2sin 3 A t B t t     Diperoleh 5 A A     dan 2 5 2 5 B B      Jadi solusi khusus untuk 2 2 4 2sin 3 d x x t dt   adalah   2 sin 3 5 X t t   . Jadi solusi umum untuk 2 2 4 2sin 3 d x x t dt   adalah       1 2 2 cos 2 sin 2 sin 3 5 h t x t x t c t c t t       .

2.5.2.4 Metode Variasi Parameter

Sebelumnya kita melihat bahwa solusi khusus PD linear order dua tak homogen dengan koefisien konstanta dapat ditentukan apabila   g t memiliki bentuk khusus yaitu     g t p t  atau     t g t p t e   atau bentuk lain yaitu         cos sin t g t e p t t q t t      dimana   p t polinomial berderajat n dan maksimum dari derajat   p t dan   q t adalah n. Sekarang sebagaimana menentukan solusi khusus dan solusi umum PD       x a t x b t x g t      2.12 Dimana   a t ,   b t fungsi-fungsi dari t dan bentuk   g t sebarang. Bila solusi komplementer dapat ditentukan, maka solusi khusus PD 2.12 Dapat dicari dengan menggunakan metode variasi parameter. Caranya seperti berikut: Misalkan solusi umum PD2.12 adalah 1 2 k x Ax Bx   2.13 Sekarang kita akan menentukan fungsi-fungsi   A t , dan   B t sehingga     1 2 k x A t x B t x   2.14 Solusi khusus PD 2.12 dari 2.14 diperoleh                 1 1 2 2 x A t x t A t x t B t x t B t x t                          1 2 1 2 A t x t B t x t A t x t B t x t         Kita memiliki fungsi-fungsi   A t , dan   B t sehingga         1 2 A t x t B t x t     2.15 Maka         1 2 x A t x t B t x t      2.16 Dari 2.16 diperoleh                 1 1 2 2 x A t x t A t x t B t x t B t x t            2.17 Dengan substitusi 2.14, 2.16, dan 2.17 dalam 2.12 diperoleh                         1 1 1 2 2 2 A t x t a t x t b t x B t x t a t x t b t x                    1 2 A t x t B t x t g t        2.18 Karena 1 x dan 2 x solusi PD 2.12 adalah nol, sehingga 2.18 menjadi           1 2 A t x t B t x t g t       2.19 Dengan menggabungkan 2.15 dan 2.19 diperoleh dua persamaan dalam     A t B t                     1 2 1 2 A t x t B t x t A t x t B t x t g t               Kedua persamaan ini memberikan solusi         2 1 2 , x t g t A t W x x    dan         1 1 2 , x t g t B t W x x   2.20 Dimana   1 2 1 2 1 2 , x x W x x x x    dengan   1 2 , W x x  karena 1 x dan 2 x bebas linear. Dari 2.20 diperoleh         2 1 2 , x t g t A t W x x    dt dan         1 1 2 , x t g t B t dt W x x   2.21 Jadi                 2 1 1 2 1 2 1 2 , , x t g t x t g t x x t dt x t dt W x x W x x        2.22 adalah solusi khusus PD 2.12. Contoh: Tentukan suatu solusi khusus PD csc x x t    Penyelesaian: Solusi komplementer untuk PD di atas yaitu sin cos x A t B t   . Jadi 1 sin x t  , 2 cos x t  dan   2 2 1 2 sin cos , sin cos 1 cos sin t t W x x t t t t        Dari rumus 2.21 diperoleh         2 1 2 cos .csc cos ln sin , 1 sin x t g t t t t A t dt dt t W x x t           dan         1 1 2 sin .csc , 1 x t g t t t B t dt dt dt t W x x           Jadi sin cos sin ln sin cos x A t B t t t t t     adalah solusi khusus dari PD csc x x t    . 2.5.3 Persamaan Diferensial Order Tinggi 2.5.3.1 Persamaan Diferensial Linear Order Tinggi Persamaan diferensial order satu dan dua telah dibahas dalam pembahasan sebelumnya , sekarang saatnya membahas PD order tinggi. PD n dengan 3 n  biasa disebut PD order tinggi adalah PD. PD n yang berbentuk       , , ,..., n f t x x x g t   2.23 disebut PD order n. Bila f linear dalam   , ,..., n x x x  , maka PD 2.23 disebut PD linear order n dan apabila   g t  disebut PD linear order n homogen. Jadi secara umum bentuk PD linear order n adalah             1 1 ... n n n a t x a t x a t x g t      2.24 Contoh: Tentukan apakah PD order tinggi dibawah ini, linear atau tidak Beri alasan 1.       3 3 2 2 1 3 tx t tx x     2.     3 2 2 3 sin 1 tx x t t x t     Penyelesaian: 1.       3 3 2 2 1 3 tx t tx x     merupakan PD order 3 tetapi tak linear karena munculnya 2 x pada PD tersebut. 2.     3 2 2 3 sin 1 tx x t t x t     merupakan order 3 linear dengan   a t t  ,   1 sin a t t  ,   2 a t  dan   2 3 a t t  . Contoh: Tentukan apakah PD dibawah ini homogen atau tidak Beri alasan 1.     4 3 2 sin , x tx x t t t     2.       3 3 2 1 t x t x xt     Penyelesaian: 1.     4 3 2 sin , x tx x t t t     adalah PD linear order 4 tak homogen karena   g t  2.       3 3 2 1 t x t x xt     adalah PD order 3 homogen karena   g t  PD 2.24 disebut PD linear order n dengan koefisien konstanta apabila   , 0,1,..., i a t i n  adalah konstanta. PD 2.24 disebut PD linear order n homogen dengan koefisien konstanta apabila   , 0,1,..., i a t i n  adalah konstanta dan   g t  , dan disebut PD linear order n tal homogen dengan koefisien konstanta apabila semua   , 0,1,..., i a t i n  adalah konstanta dan   g t  . Contoh: 1.     5 2 3 4 x x x    adalah PD linear homogen order 5 dengan koefisien konstanta. 2.     4 3 2 3 8 1, 1 x x x x x       adalah PD linear tak homogen order 4 dengan koefisien konstanta, karena 2 1 x   3.     3 2 2 2 6 4, 2 t x x x x x       adalah bukan PD linear dengan konstanta karena 2 t bukan merupakan konstanta. Tinjau PD linear order n homogen           1 1 ... n n n a t x a t x a t x      2.25 Didefinisikan operator L sebagai berikut:       1 1 1 ... n n n n n d d L a t a t a t dx dx       2.26 Operator L adalah operator diferensial, oleh sebab itu PD 2.25 dapat ditulis sebagai   L x  . Definisi 2.7 Fungsi   x x t  disebut solusi PD 2.25 pada selang I apabila   L x  pada selang I. Bila   1 x x t  dan   2 x x t  merupakan solusi PD 2.25 pada selang I maka dapat diperlihatkan   1 2 0, , L x x R         .Supriyono,2012:72 Solusi umum untuk PD 2.25 adalah solusi yang memuat konstanta- konstanta sehingga setiap solusi dapat diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta-konstanta yang sesuai . Jika 1 2 , ,..., n x x x adalah n solusi PD 2.25 yang bebas linear pada selang I, maka 1 1 2 2 ... n n x C x C x C x     adalah solusi umum PD 2.25 pada selang I, sehingga untuk mentukan solusi umum PD 2.25 cukup dicari n buah solusi yang bebas linear. Contoh: Tentukan solusi umum PD   3 2 2 x x x       Penyelesaian:   3 2 2 x x x       memiliki tiga solusi masing-masing 1 t x e  , 2 t x e   , 2 3 t x e  yang bebas linear karena   1 2 3 , , 6 0, t W x x x e t     sehingga diperoleh solusi 2 t t t x Ae Be Ce     . Jadi solusi untuk PD   3 2 2 x x x       adalah 2 t t t x Ae Be Ce     . Menentukan solusi PD linear dengan koefisien konstanta Tinjau PD linear order n     1 1 ... n n n x a x a x      2.27 Dimana 1 ,..., n a a merupakan konstanta. Akan ditentukan  sehingga t x e   solusi PD 2.27. Dengan substitusi t x e   dalam PD 2.27 diperoleh   1 1 ... n n t n a a e         karena t e   maka   1 1 ... n n n a a        2.28 Persamaan 2.28 disebut persamaan karakteristik PD 2.27. Contoh: Tentukan solusi umum PD     5 2 3 4 x x x    Penyelesaian: PD     5 2 3 4 x x x    mempunyai persamaan karakteristik       5 2 2 2 3 4 1 1 4             . Akar-akar karakteristiknya 1,2 1   , 3 1    , 4 2i   , 5 2i    . Bentuk umum solusi PD 2.27 tergantung dari macam-macam akar karakteristik dan dapat diperinci sebagai berikut. a Akar-akar real yang berlainan 1 2 , ,..., k    memberikan fungsi-fungsi 3 1 2 4 1 2 3 4 , , , t t t t x e x e x e x e         sebagai solusi-solusi diantara solusi basis. b Akar real    yang kelipatan k memberikan solusi 1 t x e   , 2 t x te   ,..., 1 k t k x t e    yang bebas linear sebagai anggota-anggota solusi basis. c Akar kompleks i      yang berkelipatan k memberikan solusi-solusi 11 cos t x e t    , 12 sin t x e t    , 21 cos t x te t    ,..., 1 1 cos k t k x t e t     dan 1 2 sin k t k x t e t     . Contoh: 1. PD     4 3 3 3 x x x x      mempunyai persamaan karakteristik   4 3 2 3 2 3 3 1                 . Akar-akar karakteristiknya adalah   , 1   berkelipatan 3. Akar   memberikan solusi 1 1 t x e   dan akar 1   berkelipatan 3 memberikan solusi 2 2 3 4 , , t t t x e x te x t e    . Jadi solusi umum PD tersebut adalah 2 1 2 3 4 t t t x C C e C te C t e     . 2. PD   3 4 x x    memiliki persamaan karakteristik   3 2 4 4         dengan akar-akar karakteristik 1   , 2 2i   dan 2 2i    . Akar 1   memberikan solusi 1 1 t x e   dan akar-akar 2 2i   dan 2 2i    masing-masing memberikan solusi 2 3 cos 2 , sin 2 x t x t   . Jadi solusi umum PD tersebut adalah 1 2 3 cos 2 sin 2 x C C t C t   

2.5.3. 2 Persamaan Diferensial Linear Tak Homogen Order Tinggi

Tinjau persamaan diferensial linear order n tak homogen             1 1 ... n n n a t x a t x a t x g t      2.29 Dan persamaan diferensial linear order n homogen           1 1 ... n n n a t x a t x a t x      2.30 Kaitan antara solusi umum persamaan diferensial tak homogen 2.29 dengan solusi umum PD homogen 2.30 pada order n serupa dengan PD order dua. Contoh: Tentukan solusi umum PD di bawah     4 3 2 x x t   Penyelesaian: PD     4 3 2 x x t   memiliki persamaan karakteristik homogen   4 3 2 1         . Akar-akar persamaan adalah 1   dan   berkelipatan 3. Jadi solusi homogennya 2 1 2 3 4 t h x C e C C t C t     . Karena   berkelipatan 3 dan   2 g t t  polinom berderajat 2 maka solusi khusus diandaikan 3 4 5 1 2 p x A t A t A t    , sehingga turunannya diperoleh 2 3 4 1 2 3 4 5 p x A t A t A t     , 2 3 1 2 6 12 20 p x A t A t A t     ,   3 2 1 2 6 24 60 p x A A t A t    ,   4 1 2 24 120 p x A A t   Disubstikan turunannya dengan PD tersebut diperoleh Jelas       4 3 2 2 1 2 1 2 24 120 6 24 60 p p x x A A t A A t A t t            2 2 1 2 1 2 24 6 120 24 60 A A A A t A t t       Didapatkan 2 2 1 60 1 60 A A      , 2 1 1 1 1 120 24 2 24 12 A A A A        ,dan 1 1 24 6 2 6 3 A A A A         Diperoleh solusi khusus 3 4 5 3 12 60 p t t t x     dan solusi umum 3 4 5 2 1 2 3 4 3 12 60 t t t t x C e C C t C t        . Jadi solusi umum PD di atas adalah 3 4 5 2 1 2 3 4 3 12 60 t t t t x C e C C t C t        .

2.6 Sistem Persamaan Diferensial

Definisi 2.8 Misalkan suatu sistem diferensial biasa dinyatakan dalam bentuk sebagai   ; , n x Ax b x x x R      2.31 Dengan A adalah matriks koefisien konstan berukuran n n  dan b adalah vektor konstan, sistem persamaan 2.31 disebut sistem persamaan diferensial biasa linear order satu dengan kondisi awal   x x  . Jika b  maka sistem dikatakan homogen sedangkan jika b  maka sistem dikatakan tak homogen. Tu, 1994 Definisi 2.9 Diberikan sistem persamaan diferensial   , x f t x   2.32 Dengan       1 2 n x t x t x x t               dan         1 1 2 1 1 , ,..., , ,..., , , ,..., n n n n f t x x f t x x f t x f t x x               adalah fungsi tak linear dalam 1 ,..., n x x . Sistem persamaan 2.6 disebut sistem persamaaan diferensial tak linear. Braun, 1983 Definisi 2.10 Diberikan sistem persamaan diferensial SPD   dx x f x dt    n x R  2.33 Sistem 2.33 disebut Sistem Persamaan Diferensial Mandiri SPDM Dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD Mandiri automous jika tidak memuat waktut secara eksplisit di dalamnya Tu, 1994

2.7 Model Epidemi SIR Klasik