Bilangan Bulat(lanjutan)
1.2. Bilangan Bulat(lanjutan)
Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat positif adalah :
• Habis dibagi 2 jika dan hanya jika digit satuannya genap • Habis dibagi 4 jika dan hanya jika 2 digit terkhirnya habis dibagi 4 • Habis dibagi 8 jika dan hanya jika 3 digit terakhirnya habis dibagi 8
• Habis dibagi 2 jika dan hanya jika z digit terakhirnya habis dibagi 2
• Habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah semua digitnya habis dibagi 3 • Habis dibagi 6 jika dan hanya jika memenuhi keterbagian 3 dan digit terakhirnya
genap • Habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah semua digitnya habis dibagi 9 • Habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhirnya berupa 0 atau 5
• Habis dibagi 7 jika dan hanya jika 7 membagi bilangan hasil dari pemenggalan
pertama dengan menghilangkan digit satuannya dan kemudian mengurangkan 2 kali nilai digit ini dari bilangan yang dipenggal
• Habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah digit urutan ganjil dikurangi jumlah
digit urutan genap habis dibagi 11 Sifat-sifat lain pada bilangan bulat
• Dapat dituliskan sebagai Kq + P dengan 0 ≤ P < K • Setiap bilangan bulat dapat diubah kepada salah saru dari 3M, 3M + 1 atau 3M + 2 • Jika bilangan bulat berupa bilangan kuadrat sempurna(pangkat dua), maka
a. Digit satuan akan berupa : 0,1,4,5,6 atau 9
b. Bersisa 0 atau 1 jika dibagi 4
c. Bersisa 0,1 atau 4 jika dibagi 5 atau 8
• Jika bilangan bulat berupa bilangan kubik(pangkat tiga) kalau dibagi 7 maka
akan bersisa 0,1 atau 6
Contoh B.1
1)Jika diketahui + K. = 19452005 dengan dan keduanya bilangan ganjil serta diketahui 1945 ≤ K ≤ 2005, maka banyaknya harga K bulat yang memenuhi persamaan tersebut adalah…
Jawab : Diketahui + K. = 19452005 dan dan keduanya bilangan ganjil, pastilah nilai K
genap dan batas K dari 1945 sampai 2005 sehingga yang mungkin dari K adalah : 1946,1948,1950,…,2002, 2004.
Jadi nilai K yang memenuhi ada sebanyak 30 bilangan genap dari 1945 sampai 2005 2)Jika diketahui K dan q adalah bilangan prima dan K > q serta K + q = 2005, maka
nilai K − q adalah… Jawab : Dari soal diketahui K + q = 2005 dan K, q prima serta K > q, jelas bahwa diantara K dan
q salah satunya harus genap dan yang lain ganjil. Bilangan prima yang genap Cuma ada satu yaitu 2, sehingga yang lain sisanya yaitu 2003 sehingga didapat K = 2003 dan q=2
Jadi K − q = 2003 − 2 = 2001
3)Carilah bilangan prima terkecil yang membagi habis 19 + 45
Jawab : Perhatikan bahwa
• j + j = B + )B je − je +⋯− je + je ) dengan 2 ∈ bilangan ganjil
•
j
je − = B − )B + +⋯+ + ) dengan 2 ∈ bilangan asli
Soal di atas kita arahkan ke sana, yaitu
19 + 45 = 19 −1 + 45 +1 = B19 − 1)B19 + 19 . 1+
19 .1 +⋯+1 ) + B45 + 1)B45 − 45 . 1 + 45 .1 −⋯−1 ) Misalkan z = 19 + 19 . 1 + 19 .1 +⋯+1 dan 2 = 45 − 45 .1+
45 .1 −⋯−1 , maka
19 −1 + 45 +1 = 18z + 462 = 2B9z + 232)
Jadi bilangan prima terkecil yang membagi habis
19 + 45 adalah 2.
4) Dari 4 bilangan berikut : 5256, 7018, 18623, 32571, manakah yang habis dibagi 99? Jawab :
Suatu bilangan habis dibagi 99, maka bilangan tersebut pasti memenuhi keterbagian 9 dan 11, sehingga dari 4 bilangan di atas, dapat kita cek misalkan
• Untuk 5256, 5 + 2 + 5 + 6 = 18 , jelas habis dibagi 9 karena 18 habis dibagi 9
dan 5 − 2 + 5 − 6 = 2 jelas tidak memenuhi keterbagian 11, sehingga 5256 tidak habis dibagi 99
• Untuk 7018, 7 + 0 + 1 + 8 = 16 (tidak memenuhi keterbagian 9) dan 7 − 0 + 1 −
8 = 0 memenuhi keterbagian 11, sehingga 7018 tidak memenuhi keterbagian 99. • Untuk 18623, dengan cara yang kurang lebih sama jelas tidak memenuhi
keterbagian 99. • Untuk 32571, 3 + 2 + 5 + 7 + 1 = 18 (memenuhi keterbagian 9) dan 3 − 2 + 5 −
7 + 1 = 0 (memenuhi keterbagian 11), sehingga 32571 memenuhi keterbagian
99. Jadi yang memenuhi keterbagian 99 adalah 32571. 5)Bilangan asli terkecil yang jika dikalikan dengan 420 menghasilkan bilangan kuadrat
sempurna Jawab :
Perhatikan bahwa 420 = 10.42= 2 .3.5.7, sehingga bilangan asli terkecilnya adalah
3.5.7=105. 6)Jika adalah bilangan 4 digit yang diperoleh dari pengkuadratan sebuah bilangan
yang terdiri dari 2 digit. Dan jika dari masing-masing digitnya kita tambah 1, maka akan tetap merupakan bilangan hasil kuadrat dari 2 digit yang lain. Tentukan ++
Jawab : Kita perlu cara coba-coba untuk mendapatkan bilangan yang dimaksud
31 = 961 (bukan) , 32 = 1024, berarti mulai 32 ke atas
• Untuk 40 , 50 , 60 , 70 , 80 I 2 90 tidak ada yang memenuhi bentuk • Untuk 45 = 2025, 55 = 3025, 65 = 4225, 75 = 5625, 85 = 7225, 95 = 9025,
ada satu saat 45 = 2025. Jika 2025 kita perlakukan seperti pada soal di atas
maka
B2 + 1)B0 + 1)B2 + 1)B5 + 1) = 3136 = 56 (bentuk ini memenuhi syarat seperti yang diuraikan soal di atas)
• Untuk bentuk yang lain, dari
sampai
, misalkan
32 99 81 = 6561. Kalau kita
perlakukan sama maka B6 + 1)B5 + 1)B6 + 1)B1 + 1) = 7672, bentuk ini bukan bilangan kuadrat.
Jadi = 2025, sehingga + + = 2 + 0 + 5 = 7
7) Pasangan
B , 2) dimana bulat positif dan 2 memenuhi + 615 = 2 j
Jawab : Perhatikan bahwa
j j + 615 = 2 ⟹ =2 − 615, karena bulat positif maka 2 ≥ 10.
Kita gunakan cara coba-coba
• Untuk 2 = 10, maka = 1024 − 615 = 409 (tidak ada bilangan kuadrat yang
memenuhi)
• Untuk 2 = 11, maka = 2048 − 615 = 1433 (tidak ada bilangan kuadrat yang
memenuhi)
• Untuk 2 = 12 , maka = 4096 − 615 = 3481 = 59
• Untuk yang lain silahkan coba cek sendiri Jadi pasangan
B , 2) yang dimaksud adalah B59,12)