Bilangan Bulat(lanjutan)

1.2. Bilangan Bulat(lanjutan)

  Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat positif adalah :

  • Habis dibagi 2 jika dan hanya jika digit satuannya genap • Habis dibagi 4 jika dan hanya jika 2 digit terkhirnya habis dibagi 4 • Habis dibagi 8 jika dan hanya jika 3 digit terakhirnya habis dibagi 8

  • Habis dibagi 2  jika dan hanya jika z digit terakhirnya habis dibagi 2 

  • Habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah semua digitnya habis dibagi 3 • Habis dibagi 6 jika dan hanya jika memenuhi keterbagian 3 dan digit terakhirnya

  genap • Habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah semua digitnya habis dibagi 9 • Habis dibagi 5 jika dan hanya jika digit terakhirnya berupa 0 atau 5

  • Habis dibagi 7 jika dan hanya jika 7 membagi bilangan hasil dari pemenggalan

  pertama dengan menghilangkan digit satuannya dan kemudian mengurangkan 2 kali nilai digit ini dari bilangan yang dipenggal

  • Habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah digit urutan ganjil dikurangi jumlah

  digit urutan genap habis dibagi 11 Sifat-sifat lain pada bilangan bulat

  • Dapat dituliskan sebagai Kq + P dengan 0 ≤ P < K • Setiap bilangan bulat dapat diubah kepada salah saru dari 3M, 3M + 1 atau 3M + 2 • Jika bilangan bulat berupa bilangan kuadrat sempurna(pangkat dua), maka

  a. Digit satuan akan berupa : 0,1,4,5,6 atau 9

  b. Bersisa 0 atau 1 jika dibagi 4

  c. Bersisa 0,1 atau 4 jika dibagi 5 atau 8

  • Jika bilangan bulat berupa bilangan kubik(pangkat tiga) kalau dibagi 7 maka

  akan bersisa 0,1 atau 6

  Contoh B.1

  1)Jika diketahui + K. = 19452005 dengan dan keduanya bilangan ganjil serta diketahui 1945 ≤ K ≤ 2005, maka banyaknya harga K bulat yang memenuhi persamaan tersebut adalah…

  Jawab : Diketahui + K. = 19452005 dan dan keduanya bilangan ganjil, pastilah nilai K

  genap dan batas K dari 1945 sampai 2005 sehingga yang mungkin dari K adalah : 1946,1948,1950,…,2002, 2004.

  Jadi nilai K yang memenuhi ada sebanyak 30 bilangan genap dari 1945 sampai 2005 2)Jika diketahui K dan q adalah bilangan prima dan K > q serta K + q = 2005, maka

  nilai K − q adalah… Jawab : Dari soal diketahui K + q = 2005 dan K, q prima serta K > q, jelas bahwa diantara K dan

  q salah satunya harus genap dan yang lain ganjil. Bilangan prima yang genap Cuma ada satu yaitu 2, sehingga yang lain sisanya yaitu 2003 sehingga didapat K = 2003 dan q=2

  Jadi K − q = 2003 − 2 = 2001

  3)Carilah bilangan prima terkecil yang membagi habis 19 + 45 

  Jawab : Perhatikan bahwa

  • j + j = B + )B je − je +⋯− je + je ) dengan 2 ∈ bilangan ganjil

  •

  j

  je − = B − )B + +⋯+ + ) dengan 2 ∈ bilangan asli

  Soal di atas kita arahkan ke sana, yaitu

  19 + 45  = 19 −1 + 45  +1  = B19 − 1)B19 + 19 . 1+

  19 .1 +⋯+1 ) + B45 + 1)B45 − 45 . 1 + 45 .1 −⋯−1 ) Misalkan z = 19 + 19 . 1 + 19 .1 +⋯+1 dan 2 = 45 − 45 .1+

  45 .1 −⋯−1 , maka

  19 −1 + 45  +1  = 18z + 462 = 2B9z + 232)

  Jadi bilangan prima terkecil yang membagi habis

  19  + 45 adalah 2.

  4) Dari 4 bilangan berikut : 5256, 7018, 18623, 32571, manakah yang habis dibagi 99? Jawab :

  Suatu bilangan habis dibagi 99, maka bilangan tersebut pasti memenuhi keterbagian 9 dan 11, sehingga dari 4 bilangan di atas, dapat kita cek misalkan

  • Untuk 5256, 5 + 2 + 5 + 6 = 18 , jelas habis dibagi 9 karena 18 habis dibagi 9

  dan 5 − 2 + 5 − 6 = 2 jelas tidak memenuhi keterbagian 11, sehingga 5256 tidak habis dibagi 99

  • Untuk 7018, 7 + 0 + 1 + 8 = 16 (tidak memenuhi keterbagian 9) dan 7 − 0 + 1 −

  8 = 0 memenuhi keterbagian 11, sehingga 7018 tidak memenuhi keterbagian 99. • Untuk 18623, dengan cara yang kurang lebih sama jelas tidak memenuhi

  keterbagian 99. • Untuk 32571, 3 + 2 + 5 + 7 + 1 = 18 (memenuhi keterbagian 9) dan 3 − 2 + 5 −

  7 + 1 = 0 (memenuhi keterbagian 11), sehingga 32571 memenuhi keterbagian

  99. Jadi yang memenuhi keterbagian 99 adalah 32571. 5)Bilangan asli terkecil yang jika dikalikan dengan 420 menghasilkan bilangan kuadrat

  sempurna Jawab :

  Perhatikan bahwa 420 = 10.42= 2 .3.5.7, sehingga bilangan asli terkecilnya adalah

  3.5.7=105. 6)Jika ˜  adalah bilangan 4 digit yang diperoleh dari pengkuadratan sebuah bilangan

  yang terdiri dari 2 digit. Dan jika dari masing-masing digitnya kita tambah 1, maka akan tetap merupakan bilangan hasil kuadrat dari 2 digit yang lain. Tentukan +˜+

  Jawab : Kita perlu cara coba-coba untuk mendapatkan bilangan yang dimaksud

  31 = 961 (bukan) , 32 = 1024, berarti mulai 32 ke atas

  • Untuk 40 , 50 , 60 , 70 , 80 I 2 90 tidak ada yang memenuhi bentuk ˜ • Untuk 45 = 2025, 55 = 3025, 65 = 4225, 75 = 5625, 85 = 7225, 95 = 9025,

  ada satu saat 45 = 2025. Jika 2025 kita perlakukan seperti pada soal di atas

  maka

  B2 + 1)B0 + 1)B2 + 1)B5 + 1) = 3136 = 56 (bentuk ini memenuhi syarat seperti yang diuraikan soal di atas)

  • Untuk bentuk yang lain, dari

  sampai

  , misalkan

  32 99 81 = 6561. Kalau kita

  perlakukan sama maka B6 + 1)B5 + 1)B6 + 1)B1 + 1) = 7672, bentuk ini bukan bilangan kuadrat.

  Jadi ˜  = 2025, sehingga + ˜ +  = 2 + 0 + 5 = 7

  7) Pasangan

  B , 2) dimana bulat positif dan 2 memenuhi + 615 = 2 j

  Jawab : Perhatikan bahwa

  j j + 615 = 2 ⟹ =2 − 615, karena bulat positif maka 2 ≥ 10.

  Kita gunakan cara coba-coba

  • Untuk 2 = 10, maka = 1024 − 615 = 409 (tidak ada bilangan kuadrat yang

  memenuhi)

  • Untuk 2 = 11, maka = 2048 − 615 = 1433 (tidak ada bilangan kuadrat yang

  memenuhi)

  • Untuk 2 = 12 , maka = 4096 − 615 = 3481 = 59

  • Untuk yang lain silahkan coba cek sendiri Jadi pasangan

  B , 2) yang dimaksud adalah B59,12)