Konversi Bilangan dan kongruensi (Modulo) 1.Penyajian Bilangan Basis 10 1.1.Bentuk Umum
4.Konversi Bilangan dan kongruensi (Modulo) 4.1.Penyajian Bilangan Basis 10 4.1.1.Bentuk Umum
Sebuah bilangan asli dapat disajikan
10 \ \e 10 \ + \e + \e 10 \e +⋯+
dengan :
• Bilangan 10 disebut basis • M adalah indeks dan digunakan sebagai nomor •
< \ ≤ 9 , dengan M bilangan asli
• 0≤ a ≤ 9 , untuk 0 = 0, 1, 2, 3, … , M − 1
Perhatikan contoh berikut
4.1.2.Penyajian bilangan dengan basis lain
Untuk K bilangan asli, maka setiap bilangan asli 2 dapat disajikan dalam bentuk
2= \ K \ + \e K \e +⋯+ =B \ \e … ) G
Dengan
• M, \ , \e ,…, bilangan bulat, M≥0 • 0< \ < K dan 0 ≤ a 4.1.3.Sistem bilangan basis Sistem angka terbesar Biner(basis 2) Oktal(basis 8) Desimal(basis 10) Contoh B.4
1)Tuliskan bilangan
dalam basis 2 Jawab :
125 = 62.2 + 1 125 = B31.2 + 0). 2 + 1 125 = 31. 2 + 0.2 + 1 125 = B15.2 + 1). 2 + 0.2 + 1 125 = 15. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = B7.2 + 1). 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = 7. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1
125 = B3.2 + 1). 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = 3. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1
125 = B1.2 + 1). 2 + 1. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = 1. 2 r + 1. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1
Jadi 125 dalam basis 2 ditulis sebagai B1111101) 2)Tentukan jumlah dari
e) 333 r + 12345 r
f) 2013 + 2014 Jawab :
a) 1 +1 = 10
b) 101 + 110 = B1011) , setiap penjumlahan yang menghasilkan bilangan yang
sama dengan basisnya dianggap 0
c) 11 + 11 = 110 c) 11 + 11 = 110
e) 333 r + 12345 r = 13122 r
f) 2013 + 2014 = 4032 3)Berapakah nilai + + i , jika
B i) = B2013)
Jawab : Untuk menyelesaiakn masalah di atas ubahlah salah yang diketahui ke basis 10. Perhatikan bahwa
= 2. 4 B2013) + 0. 4 + 1.4 + 3 = 2.64 + 4 + 3 = 135. Sehingga
135 = 16.8 + 7 = B2.8 + 0)8 + 7 = 2. 8 + 0.8 + 7 = 207
Maka
B i) = B2013) = 207 , a = 2, b = 0 dan c = 7
Jadi nilai + +i=2+0+7=9 4)Tentukan nilai basis yang memenuhi 73 = 111 s Jawab : Dari soal diketahui bahwa 111 s = 73 ,maka
1. + 1. + 1 = 73 + − 72 = 0
B + 9)B − 8) = 0 = −9B50I M zQzQ24ℎ0) õ = 8
Jadi nilai bais =8
4.2.Definisi Kongruensi(Modulo)
Misalkan diberikan , dan z adalah bilangan bulat dengan z > 0.
dikatakan kongruen dengan modulo z jika z;B − ) dan dituliskan sebagai
≡ BzLI z)
4.3.Sifat-Sifat yang Berlaku pada Operasi Modulo
Jika , , i, I dan z bilangan bulat dengan I, z > 0, maka
•
≡ 0 BzLI z), berarti z; , atau dibagi habis oleh z
•
≡ BzLI z) • Jika ≡ BzLI z), maka ≡ BzLI z) • Jika ≡ BzLI z) dan ≡ i BzLI z), maka ≡ i BzLI z) •
+ ≡ + i BzLI z)
•
i ≡ i BzLI z) • Jika ≡ BzLI z) dan i ≡ I BzLI z) maka
a. + i ≡ + I BzLI z)
b. i ≡ I BzLI z)
c. ≡ BzLI z)
d. \ ≡ \ BzLI z) , dengan M ∈ 01 23 2 41 5 KLO050u
e. uB ) ≡ uB ) BzLI z) ,dengan uB ) =
Bz+ ) \ ≡ \ BzLI z) untuk M ∈ ℕ • The Chinese Remainder Theorem
Jika , ada
2≡2 BzLI z ) 2≡2 BzLI z ) 2≡2 BzLI z )
dst 2≡2 \ BzLI z \ )
Dimana 2 ,2 ,2 ,…,2 \ dan z ,z ,z ,…,z \ adalah relatif prima (coprim), maka akan ada solusi unik untuk penyelesaian zLIBz .z .z …z \ ) tersebut
• Theorema kecil FermatFermat’s Little Theorem(FLT)
Ge ≡ 1 BzLI K) , dengan K ∈ Bilangan Prima dan K ∤ • Teorema Wilson
BK − 1)! ≡ −1 BzLI K) , dengan K ∈ Bilangan Prima
Contoh B.5
1)(OSK 2011) Jika z dibagi 5 bersisa 3 dan 2 dibagi 5 bersisa 2, maka z2 jika dibagi 5 bersisa
Jawab : Diketahui z dibagi 5 bersisa 3 dan 2 dibagi 5 bersisa 2, kalau ditulis dalam bentuk
modulo menjadi
• z ≡ 3 BzLI 5) •
2 ≡ 2 BzLI 5) 2 ≡ 2 BzLI 5)
2)Tentukan sisa pembagian dari 3 jika dibagi 8
Jawab :
3 ≡3 s rc BzLI 8) ≡ B9) r . 3 BzLI 8) ≡ 1 r . 3 BzLI 8) ≡ 3 BzLI 8) Jadi sisa pembagiannya adalah 3 3)Tunjukkan bahwa 13 membagi habis 2 +3 Jawab : Misalkan kita partisi sebagai berikut :
• 2 ≡ B2 ) BzLI 13) ≡ 128 BzLI 13)
≡ B9.13 + 11) BzLI 13)
≡ B11) . BzLI 13) ≡ B9.13 + 4) BzLI 13)
≡4 BzLI 13) ≡ 1025 BzLI 13) ≡ B78.13 + 10) BzLI 13)
• 3 ≡3 .c BzLI 13)
≡ B3 ) . 3 BzLI 13) ≡ 27 . 3 BzLI 13)
≡ B2.13 + 1) . 3 BzLI 13)
≡1 . 3 BzLI 13) ≡ 3 BzLI 13)
Sehingga
2 +3 ≡ B10 BzLI 13)) + B3 BzLI 13)) ≡ B10 + 3) BzLI 13) ≡ 0 BzLI 13)
Jadi 2 +3 habis dibagi 13.
4)Tunjukkan bahwa 2 \c + 1 habis dibagi 3
Jawab :
Perhatikan bahwa 2 \c + 1 = 2. 2 \ + 1 = B3 − 1). 2 \ + 1 = 3. 2 \ +1−2 \
Untuk
1−2 UVWVX \
à_YG aá jv j jàv ]a[ \àáaG ] j ,\∈ℕ
Ternyata semuanya kelipatan 3 dalam bentuk bilangan bulat negatif
Sehingga 2 \c + 1 ≡ B3. 2 \ +1−2 \ ) BzLI 3) ≡ 0 BzLI 3)
Jadi, benar bahwa 2 \c + 1 habis dibagi 3 5)Tentukan 3 angka terakhir dari 7 '''
Jawab :
Perhatikan bahwa maksud soal berarti berapakah sisa pembagian ''' 7 oleh 1000
maka 7 ''' ≡7 . 'c BzLI 1000)
7 ''' ≡ B7 ) ' .7 BzLI 1000)
'''
7 ' ≡ 2401 . 343 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 401 ' . 343 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 401 .r c . 343 BzLI 1000)
7 ''' ≡ B401 ) r . 401.343 BzLI 1000)
7 ''' ≡ B25989131801) r . B137543) BzLI 1000)
'''
7 r ≡ 801 . 543 BzLI 1000)
'''
7 . ≡ 801 . 543 BzLI 1000)
7 ''' ≡ B801 ) . 543 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 641601 . 543 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 601 . 543 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 601 .c . 543 BzLI 1000)
7 ''' ≡ B601 ) . 601 c . 543 BzLI 1000)
7 ''' ≡ B130466162401) . B361201)B601)B543) BzLI 1000)
7 ''' ≡ B130466162401) . B361201)B325343) BzLI 1000)
7 ''' ≡ 401 . 201.343 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 401 .c . 68943 BzLI 1000)
'''
7 ≡ B401 ) . 401.943 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 160801 . 374534 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 801 . 534 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 801 c . 534 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 801 . 801.534 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 641601.427734 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 601.734 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 441134 BzLI 1000)
7 ''' ≡ 134 BzLI 1000)
Jadi 3 digit terakhir dari 7 ''' adalah 134
6)Tunjukkan bahwa jika 2 > 1 sehingga 2 j +2 merupakan bilangan prima, maka
2 ≡ 3 BzLI 6) Jawab :
Perhatikan bahwa 2 > 1 dan supaya 2 j +2 prima, maka 2 haruslah ganjil, perhatikan
ilustrasi berikut
2 3 5 7 9 …
2 57,bukan j +2 177, bukan
Dari hasil ilustrasi tabel di atas terlihat bahwa saat 2 j +2 prima, maka 2 ≡ 3 BzLI 6)
adalah benar(lihat tabel bilangan prima pada halaman terakhir) Jadi, terbukti 7)(OSK 2011)Tentukan bilangan asli terkecil yang lebih dari 2011 yang berisa 1 jika
dibagi 2,3,4,5,6,7,8,9,10 Jawab : Misalkan bilangan itu 2, maka
2 ≡ 1 BzLI 2)
2 ≡ 1 BzLI 6)
2 ≡ 1 BzLI 10)
2 ≡ 1 BzLI 3)
2 ≡ 1 BzLI 7)
2 ≡ 1 BzLI 4)
2 ≡ 1 BzLI 8)
2 ≡ 1 BzLI 5)
2 ≡ 1 BzLI 9)
Untuk menyelesaikan persoalan tersebut kita dapat menggunakan The Chinese Remainder Theorem . Pada bilangan 2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 , maka LCM(KPK) dari 2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 adalah 5.7.8.9 = 2520
Maka soal di atas dapat disederhanakan menajdi 2 ≡ 1 BzLI 2520) , atau 2 = 2520M +
1 , dengan M ∈ ℕ. Sehingga supaya 2 > 2011 , ambil M = 1, maka akan kita dapatkan
2 = 2521 Jadi, 2 terkecil dimana 2 > 2011 adalah 2521
8) Tunjukkan bahwa 2 ≡ 2 BzLI 42) , untuk 2 ∈ ℕ
Jawab : Perhatikan bahwa 42 = 2.3.7 Selanjutnya berdasarkan Teorema kecil Fermat
2 \e − 1 ≡ 0 BzLI M) 5 4 2 \ − 2 ≡ 0 BzLI M)
untuk M = 2,3 I 2 7
Perhatikan pula bahwa
2 − 2 = 2B2 r − 1) = 2B2 + 1)B2 − 1)
2 − 2 ≡ 0 BzLI 2.3.7)
2 − 2 ≡ 0 BzLI 42) Jadi, terbukti bahwa 2 ≡ 2 BzLI 42) , untuk 2 ∈ ℕ