Konversi Bilangan dan kongruensi (Modulo) 1.Penyajian Bilangan Basis 10 1.1.Bentuk Umum

4.Konversi Bilangan dan kongruensi (Modulo) 4.1.Penyajian Bilangan Basis 10 4.1.1.Bentuk Umum

  Sebuah bilangan asli dapat disajikan

  10 \ \e 10 \ + \e + \e 10 \e +⋯+

  dengan :

  • Bilangan 10 disebut basis • M adalah indeks dan digunakan sebagai nomor •

  < \ ≤ 9 , dengan M bilangan asli

  • 0≤ a ≤ 9 , untuk 0 = 0, 1, 2, 3, … , M − 1

  Perhatikan contoh berikut

4.1.2.Penyajian bilangan dengan basis lain

  Untuk K bilangan asli, maka setiap bilangan asli 2 dapat disajikan dalam bentuk

  2= \ K \ + \e K \e +⋯+ =B \ \e … ) G

  Dengan

  • M, \ , \e ,…, bilangan bulat, M≥0 • 0< \ < K dan 0 ≤ a

4.1.3.Sistem bilangan basis

  Sistem

  angka terbesar

  Biner(basis 2)

  Oktal(basis 8)

  Desimal(basis 10)

  Contoh B.4

  1)Tuliskan bilangan

  dalam basis 2 Jawab :

  125 = 62.2 + 1 125 = B31.2 + 0). 2 + 1 125 = 31. 2 + 0.2 + 1 125 = B15.2 + 1). 2 + 0.2 + 1 125 = 15. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = B7.2 + 1). 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = 7. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1

  125 = B3.2 + 1). 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = 3. 2  + 1. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1

  125 = B1.2 + 1). 2  + 1. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1 125 = 1. 2 r + 1. 2  + 1. 2 + 1. 2 + 1. 2 + 0.2 + 1

  Jadi 125 dalam basis 2 ditulis sebagai B1111101) 2)Tentukan jumlah dari

  e) 333 r + 12345 r

  f) 2013  + 2014  Jawab :

  a) 1 +1 = 10

  b) 101 + 110 = B1011) , setiap penjumlahan yang menghasilkan bilangan yang

  sama dengan basisnya dianggap 0

  c) 11 + 11 = 110 c) 11 + 11 = 110

  e) 333 r + 12345 r = 13122 r

  f) 2013  + 2014  = 4032  3)Berapakah nilai + + i , jika

  B i) ™ = B2013)

  Jawab : Untuk menyelesaiakn masalah di atas ubahlah salah yang diketahui ke basis 10. Perhatikan bahwa

  = 2. 4 B2013) + 0. 4 + 1.4 + 3 = 2.64 + 4 + 3 = 135. Sehingga

  135 = 16.8 + 7 = B2.8 + 0)8 + 7 = 2. 8 + 0.8 + 7 = 207 ™

  Maka

  B i) ™ = B2013) = 207 ™ , a = 2, b = 0 dan c = 7

  Jadi nilai + +i=2+0+7=9 4)Tentukan nilai basis yang memenuhi 73 = 111 s Jawab : Dari soal diketahui bahwa 111 s = 73 ,maka

  1. + 1. + 1 = 73 + − 72 = 0

  B + 9)B − 8) = 0 = −9B50I M zQzQ24ℎ0) õ = 8

  Jadi nilai bais =8

4.2.Definisi Kongruensi(Modulo)

  Misalkan diberikan , dan z adalah bilangan bulat dengan z > 0.

  dikatakan kongruen dengan modulo z jika z;B − ) dan dituliskan sebagai

  ≡ BzLI z)

4.3.Sifat-Sifat yang Berlaku pada Operasi Modulo

  Jika , , i, I dan z bilangan bulat dengan I, z > 0, maka

  •

  ≡ 0 BzLI z), berarti z; , atau dibagi habis oleh z

  •

  ≡ BzLI z) • Jika ≡ BzLI z), maka ≡ BzLI z) • Jika ≡ BzLI z) dan ≡ i BzLI z), maka ≡ i BzLI z) •

  + ≡ + i BzLI z)

  •

  i ≡ i BzLI z) • Jika ≡ BzLI z) dan i ≡ I BzLI z) maka

  a. + i ≡ + I BzLI z)

  b. i ≡ I BzLI z)

  c. ≡ BzLI z)

  d. \ ≡ \ BzLI z) , dengan M ∈ 01 23 2 41 5 KLO050u

  e. uB ) ≡ uB ) BzLI z) ,dengan uB ) =

  Bz+ ) \ ≡ \ BzLI z) untuk M ∈ ℕ • The Chinese Remainder Theorem

  Jika , ada

  2≡2 BzLI z ) 2≡2 BzLI z ) 2≡2 BzLI z )

  dst 2≡2 \ BzLI z \ )

  Dimana 2 ,2 ,2 ,…,2 \ dan z ,z ,z ,…,z \ adalah relatif prima (coprim), maka akan ada solusi unik untuk penyelesaian zLIBz .z .z …z \ ) tersebut

  • Theorema kecil FermatFermat’s Little Theorem(FLT)

  Ge ≡ 1 BzLI K) , dengan K ∈ Bilangan Prima dan K ∤ • Teorema Wilson

  BK − 1)! ≡ −1 BzLI K) , dengan K ∈ Bilangan Prima

  Contoh B.5

  1)(OSK 2011) Jika z dibagi 5 bersisa 3 dan 2 dibagi 5 bersisa 2, maka z2 jika dibagi 5 bersisa

  Jawab : Diketahui z dibagi 5 bersisa 3 dan 2 dibagi 5 bersisa 2, kalau ditulis dalam bentuk

  modulo menjadi

  • z ≡ 3 BzLI 5) •

  2 ≡ 2 BzLI 5) 2 ≡ 2 BzLI 5)

  2)Tentukan sisa pembagian dari 3 jika dibagi 8

  Jawab :

  3 ≡3 s rc BzLI 8) ≡ B9) r . 3 BzLI 8) ≡ 1 r . 3 BzLI 8) ≡ 3 BzLI 8) Jadi sisa pembagiannya adalah 3 3)Tunjukkan bahwa 13 membagi habis 2 ” +3 ” Jawab : Misalkan kita partisi sebagai berikut :

  • 2 ” ≡ B2 ” ) BzLI 13) ≡ 128 BzLI 13)

  ≡ B9.13 + 11) BzLI 13)

  ≡ B11) . BzLI 13) ≡ B9.13 + 4)  BzLI 13)

  ≡4  BzLI 13) ≡ 1025 BzLI 13) ≡ B78.13 + 10) BzLI 13)

  • 3 ” ≡3 .c BzLI 13)

  ≡ B3 ) . 3 BzLI 13) ≡ 27 . 3 BzLI 13)

  ≡ B2.13 + 1) . 3 BzLI 13)

  ≡1 . 3 BzLI 13) ≡ 3 BzLI 13)

  Sehingga

  2 ” +3 ” ≡ B10 BzLI 13)) + B3 BzLI 13)) ≡ B10 + 3) BzLI 13) ≡ 0 BzLI 13)

  Jadi 2 ” +3 ” habis dibagi 13.

  4)Tunjukkan bahwa 2 \c + 1 habis dibagi 3

  Jawab :

  Perhatikan bahwa 2 \c + 1 = 2. 2 \ + 1 = B3 − 1). 2 \ + 1 = 3. 2 \ +1−2 \

  Untuk

  1−2 UVWVX \

  à_YG aá jv j jàv ]a[ \àáaG ] j ,\∈ℕ

  Ternyata semuanya kelipatan 3 dalam bentuk bilangan bulat negatif

  Sehingga 2 \c + 1 ≡ B3. 2 \ +1−2 \ ) BzLI 3) ≡ 0 BzLI 3)

  Jadi, benar bahwa 2 \c + 1 habis dibagi 3 5)Tentukan 3 angka terakhir dari 7 '''

  Jawab :

  Perhatikan bahwa maksud soal berarti berapakah sisa pembagian ''' 7 oleh 1000

  maka 7 ''' ≡7 . 'c BzLI 1000)

  7 ''' ≡ B7 ) ' .7 BzLI 1000)

  '''

  7 ' ≡ 2401 . 343 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 401 ' . 343 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 401 .r c . 343 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ B401 ) r . 401.343 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ B25989131801) r . B137543) BzLI 1000)

  '''

  7 r ≡ 801 . 543 BzLI 1000)

  '''

  7 . ≡ 801 . 543 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ B801 ) . 543 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 641601 . 543 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 601 . 543 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 601 .”c . 543 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ B601 ) ” . 601 c . 543 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ B130466162401) ” . B361201)B601)B543) BzLI 1000)

  7 ''' ≡ B130466162401) ” . B361201)B325343) BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 401 ” . 201.343 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 401 .c . 68943 BzLI 1000)

  '''

  7 ≡ B401 ) . 401.943 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 160801 . 374534 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 801 . 534 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 801 c . 534 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 801 . 801.534 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 641601.427734 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 601.734 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 441134 BzLI 1000)

  7 ''' ≡ 134 BzLI 1000)

  Jadi 3 digit terakhir dari 7 ''' adalah 134

  6)Tunjukkan bahwa jika 2 > 1 sehingga 2 j +2 merupakan bilangan prima, maka

  2 ≡ 3 BzLI 6) Jawab :

  Perhatikan bahwa 2 > 1 dan supaya 2 j +2 prima, maka 2 haruslah ganjil, perhatikan

  ilustrasi berikut

  2 3 5 7 9 …

  2 57,bukan j +2 177, bukan

  Dari hasil ilustrasi tabel di atas terlihat bahwa saat 2 j +2 prima, maka 2 ≡ 3 BzLI 6)

  adalah benar(lihat tabel bilangan prima pada halaman terakhir) Jadi, terbukti 7)(OSK 2011)Tentukan bilangan asli terkecil yang lebih dari 2011 yang berisa 1 jika

  dibagi 2,3,4,5,6,7,8,9,10 Jawab : Misalkan bilangan itu 2, maka

  2 ≡ 1 BzLI 2)

  2 ≡ 1 BzLI 6)

  2 ≡ 1 BzLI 10)

  2 ≡ 1 BzLI 3)

  2 ≡ 1 BzLI 7)

  2 ≡ 1 BzLI 4)

  2 ≡ 1 BzLI 8)

  2 ≡ 1 BzLI 5)

  2 ≡ 1 BzLI 9)

  Untuk menyelesaikan persoalan tersebut kita dapat menggunakan The Chinese Remainder Theorem . Pada bilangan 2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 , maka LCM(KPK) dari 2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 adalah 5.7.8.9 = 2520

  Maka soal di atas dapat disederhanakan menajdi 2 ≡ 1 BzLI 2520) , atau 2 = 2520M +

  1 , dengan M ∈ ℕ. Sehingga supaya 2 > 2011 , ambil M = 1, maka akan kita dapatkan

  2 = 2521 Jadi, 2 terkecil dimana 2 > 2011 adalah 2521

  8) Tunjukkan bahwa 2 ” ≡ 2 BzLI 42) , untuk 2 ∈ ℕ

  Jawab : Perhatikan bahwa 42 = 2.3.7 Selanjutnya berdasarkan Teorema kecil Fermat

  2 \e − 1 ≡ 0 BzLI M) 5 4 2 \ − 2 ≡ 0 BzLI M)

  untuk M = 2,3 I 2 7

  Perhatikan pula bahwa

  2 ” − 2 = 2B2 r − 1) = 2B2 + 1)B2 − 1)

  2 ” − 2 ≡ 0 BzLI 2.3.7)

  2 ” − 2 ≡ 0 BzLI 42) Jadi, terbukti bahwa 2 ” ≡ 2 BzLI 42) , untuk 2 ∈ ℕ