TORSI PADA TAMPANG PERSEGI

36

BAB III TORSI PADA TAMPANG PERSEGI

III.1. Fungsi Torsi Fungsi torsi untuk tampang persegi akan diturunkan dengan menggunakan bantuan analogi selaput yang telah dijelaskan dalam BAB II sebelumnya. Tinjau kembali persamaan II.13 dan II.20 yang telah dibahan pada BAB II serta kondisi batas pada tepian. Jika kondisi tepi dari z dan φ dibandingkan, maka dapat disimpulkan bahwa kedua persamaan ini identik. Oleh karena itu, lendutan selaput z dapat disetarakan dengan harga fungsi torsi φ dengan menukarkan besaran –ps pada persamaan II.13 dengan besaran 2Gθ pada persamaan II.20. Oleh karena itu, maka harga fungsi φ dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi z dari persamaan II.13. Penurunan Fungsi Lendutan Selaput z • Persamaan lendutan selaput : E E + E E = − F G III.1 • Kondisi batas pada tepi selaput : z = 0 • Geometri selaput yang dibahas adalah bentuk persegi seperti terlihat pada Gambar.III.1 Gambar.III.1.Tampang Persegi b 2 _ b 2 _ 2 2 O x y Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 37 • Panjang b a • Dari kondisi simetri terhadap sumbu y dan kondisi batas pada sisi segiempat x = ± a 2 , maka persamaan II.13 dapat dipenuhi dengan mengambil nilai z dalam bentuk deret : = ˆ - ‰ cos Š2 ‹ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž III.2 dimana : b n = koefisien konstanta Y n = fungsi y yang tidak tergantung pada x • Pada persamaan III.1, konstanta di sebelah kanan bisa dinyatakan untuk –a x a dengan deret Fourier : − C ; = − ˆ C ; 4 Š2 −1 ‰`aD cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž III.3 • Turunkan persamaan III.2 terdapat x sehingga diperoleh : = ˆ - ‰ cos Š2 ‹ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž = ˆ - ‰ Š2 ‹ sin Š2 ‹ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž D D = − ˆ - ‰ 1 Š2 ‹ 5 D cos Š2 ‹ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž III.4 • Turunkan persamaan III.2 terdapat y sehingga diperoleh : = ˆ - ‰ cos Š2 ‹ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž = ˆ - ‰ cos Š2 ‹ ′ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 38 D D = ˆ - ‰ cos Š2 ‹ ′′ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž III.5 • Subsitusikan persamaan III.3, III.4, dan III.5 ke dalam persamaan III.1 sehingga diperoleh : D D + D D = − C ; − ˆ - ‰ 1 Š2 ‹ 5 D cos Š2 ‹ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž + ˆ - ‰ cos Š2 ‹ ′′ ‰ Œ ‰•a,Q,Ž = − ˆ C ; 4 Š2 −1 ‰`aD cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž ˆ - ‰ cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž r ′′ ‰ − 1 Š2 ‹ 5 D ‰ s = − C ; ˆ 4 Š2 −1 ‰`aD cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž ′′ ‰ − 1 Š2 ‹ 5 D ‰ = − C ; 4 Š 2 - ‰ −1 ‰`aD III.6 • Persamaan III.6 merupakan persamaan diferensial berordo dua. • Untuk memperoleh fungsi komplementernya, persamaan pada ruas kiri dipecahkan dengan menganggap persamaan III.6 sebagai : ‘ D − 1 Š2 ‹ 5 D = 0 ‘ D = 1 Š2 ‹ 5 D ‘ = ± 1 Š2 ‹ 5 Maka fungsi komplementer diperoleh : ‰a = “ cosh ‘ + • sinh ‘ ‰a = “ cosh Š2 ‹ + • sinh Š2 ‹ III.7 • Untuk memperoleh integral khususnya, misalkan persamaan pada ruas kanan sebagai : ‰ = , ; ‰ o = 0 ; ‰ oo = 0 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 39 Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan III.6 : ′′ ‰ − 1 Š2 ‹ 5 D ‰ = − C ; 4 Š 2 - ‰ −1 ‰`aD 0 − 1 Š2 ‹ 5 D , = − C ; 4 Š 2 - ‰ −1 ‰`aD , = C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD Maka fungsi komplementer diperoleh : ‰D = C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD III.8 • Maka diperleh : ‰ = ‰a + ‰D ‰ = “ cosh Š2 ‹ + • sinh Š2 ‹ + C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD III.9 • Karena lendutan permukaan selaput simetri terhadap sumbu x sedangkan grafik sinus hiperbolik tidak simetri terhadap sumbu x, maka konstanta integrasi B harus nol. • Konstanta integrasi A dapat ditetapkan dari kondisi batas bahwa lendutan selaput adalah nol untuk y = ± b 2 , sehingga : ‰ = “ cosh Š2- 2‹ + C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD = 0 “ cosh Š2- 2‹ = − C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD “ = − C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD cosh Š2- 2‹ Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 40 • Substitusikan nilai B yang diperoleh ke dalam persamaan III.9, maka akan diperoleh : ‰ = − C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD cosh Š2 2‹ cosh Š2 ‹ + C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD ‰ = − C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD coshŠ2 ‹ coshŠ2-2‹ + C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`aD ‰ = C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`a D —1 − cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 ˜ III.10 • Substitusikan persamaan III.10 ke dalam persamaan III.2 sehingga diperoleh : = ˆ - ‰ cos Š2 ‹ C ; 4 ‹ D Š Q 2 Q - ‰ −1 ‰`a D —1 − cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 ˜ Œ ‰•a,Q,Ž = C ; 4 ‹ D 2 Q ˆ 1 Š Q −1 ‰`a D —1 − cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 ˜ cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž III.11 • Dengan menukarkan nilai ps dengan 2Gθ, maka akan diperoleh fungsi torsi : = 8: ‹ D 2 Q ˆ 1 Š Q −1 ‰`a D —1 − cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 ˜ cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž III.12 III.2. Tegangan Torsi Seperti yang ditunjukkan pada persamaan II.16, dari persamaan ini dapat diketahui bahwa tegangan torsi merupakan turunan pertama dari fungsi torsi. Berikut ini akan diturunkan persamaan untuk menentukan tegangan torsi pada suatu tampang persegi. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 Menentukan Tegangan • Tegangan torsi τ zy 9 = − 9 = 9 • Tegangan torsi τ zy 9 š› 9 š› gangan Geser Maksimum Akibat Torsi Arah zy τ zy merupakan turunan pertama dari fungsi torsi t — 8: ‹ D 2 Q ˆ 1 Š Q 1 ‰`a D œ1 cosh 1Š2‹ cosh 1Š2- 2‹ Œ ‰•a,Q,Ž 8: ‹ D 2 Q ˆ 1 Š Q 1 ‰`a D Š2 ‹ œ1 cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • sin Œ ‰•a,Q,Ž 8: ‹ 2 D ˆ 1 Š D 1 ‰`a D œ1 cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • sin Œ ‰•a,Q,Ž mencapai nilai maksimum untuk nilai x = a 2 š› 8: ‹ 2 D ˆ 1 Š D 1 ‰`a D œ1 1 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž š› 8: ‹ 2 D ˆ 1 Š D 1 ‰`a D œ1 1 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž 9 š› 8: ‹ 2 D ˆ 1 Š D œ1 1 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž 9 š› : ‹ — 8 2 D ˆ 1 Š D œ1 1 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž ˜ 41 zy si terhadap x Š2 5 Š2-5 • cos Š2 ‹ ˜ 5 5 • sin Š2 ‹ • sin Š2 ‹ III.13 2 dan y = 0 5 • sin Š2 2 5 • 1 ‰`a D • 5 • Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 42 9 š› K a : ‹ III.14 dimana : K a 8 2 D ˆ 1 Š D œ1 1 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž Agar nilai deret dapat mendekati dengan cepat, maka persamaan untuk menentukan nilai k 1 di atas disederhanakan menjadi : K a 8 2 D ˆ 1 Š D 1 Š D cosh 1Š2- 2‹ 5 Œ ‰•a,Q,Ž Diketahui bahwa : ˆ 1 Š D Œ ‰•a,Q,Ž 1 1 D + 1 3 D + 1 5 D + ⋯ + 1 ∞ D 2 D 8 Maka nilai k 1 dapat dinyatakan dengan : K a 1 8 2 D ˆ 1 Š D cosh 1Š2- 2‹ 5 Œ ‰•a,Q,Ž Kemudian nilai k 1 dihitung untuk berbagai variasi nilai ba. Untuk nilai ba = 1, maka : K a 1 8 2 D ¢0.399 ¥¦§ ‰•a + 0.002 ¥¦§ ‰•Q + 0.000 ¥¦§ ‰•Ž +. . . + 0¨ ‰•Œ © 1 8 2 D 0.401 1 0.325 0.675 Untuk nilai ba = 2, maka : K a 1 8 2 D ¢0.086 ¥¦§ ‰•a + 0.000 ¥¦§ ‰•Q + 0.000 ¥¦§ ‰•Ž +. . . + 0¨ ‰•Œ © 1 8 2 D 0.086 1 0.070 0.930 Untuk nilai ba = 5, maka : K a 1 8 2 D ¢0.001 ¥¦§ ‰•a + 0.000 ¥¦§ ‰•Q + 0.000 ¥¦§ ‰•Ž +. . . + 0¨ ‰•Œ © 1 8 2 D 0.001 1 0.001 0.999 Untuk nilai ba lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 43 • Nilai k 1 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.1 Tabel.III.1. Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zy k 1 Untuk Tampang Persegi ba k 1 1.0 0.675 1.1 0.720 1.2 0.759 1.3 0.793 1.4 0.822 1.5 0.848 1.6 0.869 1.7 0.888 1.8 0.904 1.9 0.918 2.0 0.930 2.1 0.940 2.2 0.949 2.3 0.956 2.4 0.963 ba k 1 2.5 0.968 2.6 0.973 2.7 0.977 2.8 0.980 2.9 0.983 3.0 0.985 3.1 0.988 3.2 0.989 3.3 0.991 3.4 0.992 3.5 0.993 3.6 0.994 3.7 0.995 3.8 0.996 3.9 0.996 ba k 1 4.0 0.997 4.5 0.999 5.0 0.999 5.5 1.000 6.0 1.000 6.5 1.000 7.0 1.000 7.5 1.000 8.0 1.000 8.5 1.000 9.0 1.000 9.5 1.000 10.0 1.000 ∞ 1.000 Menentukan Tegangan Geser Maksimum Akibat Torsi Arah zx τ zx • Tegangan torsi τ zx merupakan turunan pertama dari fungsi torsi terhadap y 9 = = — 8: ‹ D 2 Q ˆ 1 Š Q 1 ‰`a D œ1 cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž cos Š2 ‹ ˜ 9 8: ‹ D 2 Q ˆ 1 Š Q 1 ‰`a D Š2 ‹ œ sinh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž 9 8: ‹ 2 D ˆ 1 Š D 1 ‰`a D œ sinh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž III.15 • Tegangan torsi τ zy mencapai nilai maksimum untuk nilai x = 0 dan y = - b 2 9 š› 8: ‹ 2 D ˆ 1 Š D 1 ‰`a D œ sinh 1Š2- 2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • 1 Œ ‰•a,Q,Ž 9 š› 8: ‹ 2 D ˆ 1 Š D 1 ‰`a D tanh A Š2- 2‹ B Œ ‰•a,Q,Ž 9 š› K D : ‹ III.16 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 44 dimana : K D = 8 2 D ˆ 1 Š D 1 ‰`a D tanh A Š2- 2‹ B Œ ‰•a,Q,Ž Kemudian nilai k 2 dihitung untuk berbagai variasi nilai ba. Untuk nilai ba = 1, maka : K D 8 2 D ¢0.917 ¥¦§ ‰•a 0.111 ¥¦§ ‰•Q + 0.040 ¥¦§ ‰•Ž 0.020 ¥¦§ ‰•« + 0.012 ¥¦§ ‰•¬ 0.008 ¥¦§ ‰•aa +. . . + 0¨ ‰•Œ © 8 2 D 0.833 0.675 Untuk nilai ba = 2, maka : K D 8 2 D ¢0.996 ¥¦§ ‰•a 0.111 ¥¦§ ‰•Q + 0.040 ¥¦§ ‰•Ž 0.020 ¥¦§ ‰•« + 0.012 ¥¦§ ‰•¬ 0.008 ¥¦§ ‰•aa +. . . + 0¨ ‰•Œ © 8 2 D 0.912 0.739 Untuk nilai ba = 5, maka : K D 8 2 D ¢1.000 ¥¦§ ‰•a 0.111 ¥¦§ ‰•Q + 0.040 ¥¦§ ‰•Ž 0.020 ¥¦§ ‰•« + 0.012 ¥¦§ ‰•¬ 0.008 ¥¦§ ‰•aa +. . . + 0¨ ‰•Œ © 8 2 D 0.916 0.742 Untuk nilai ba lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. • Nilai k 2 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.2 Tabel.III.2. Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zx k 2 Untuk Tampang Persegi ba k 2 1.0 0.675 1.1 0.693 1.2 0.706 1.3 0.716 1.4 0.723 1.5 0.728 1.6 0.732 1.7 0.735 1.8 0.737 1.9 0.738 2.0 0.739 2.1 0.740 2.2 0.741 2.3 0.741 2.4 0.742 ba k 2 2.5 0.742 2.6 0.742 2.7 0.742 2.8 0.742 2.9 0.742 3.0 0.742 3.1 0.742 3.2 0.742 3.3 0.742 3.4 0.742 3.5 0.742 3.6 0.742 3.7 0.742 3.8 0.742 3.9 0.742 ba k 2 4.0 0.742 4.5 0.742 5.0 0.742 5.5 0.742 6.0 0.742 6.5 0.742 7.0 0.742 7.5 0.742 8.0 0.742 8.5 0.742 9.0 0.742 9.5 0.742 10.0 0.742 ∞ 0.742 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 45 Jika kedua tegangan geser yaitu tegangan geser maksimum arah zy dan tegangan geser arah zx yang telah diperoleh di atas dibandingkan, maka akan diperoleh hubungan : 9 š› 9 š› K D K a 9 š› K Q 9 š› III.17 dimana : 9 š› = Tegangan geser maksimum pada sisi terpendek persegi 9 š› = Tegangan geser maksimum pada sisi terpanjang persegi K Q = Nilai konstanta perbandingan antara 9 š› terhadap 9 š› = k 2 k 1 Kemudian nilai k 3 dihitung untuk berbagai variasi nilai ba. Untuk nilai ba = 1, maka : K Q 0.675 0.675 1 Untuk nilai ba = 2, maka : K Q 0.739 0.930 0.795 Untuk nilai ba = 5, maka : K Q 0.742 0.999 0.743 Untuk nilai ba lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 46 Nilai k 3 untuk berbagai nilai ba dapat dilihat pada Tabel.III.3 Tabel.III.3. Nilai Konstanta Perbandingan Antara 9 š› terhadap 9 š› k 3 ba k 3 1.0 1.000 1.1 0.963 1.2 0.930 1.3 0.903 1.4 0.880 1.5 0.858 1.6 0.842 1.7 0.828 1.8 0.815 1.9 0.804 2.0 0.795 2.1 0.787 2.2 0.781 2.3 0.775 2.4 0.771 ba k 3 2.5 0.767 2.6 0.763 2.7 0.759 2.8 0.757 2.9 0.755 3.0 0.753 3.1 0.751 3.2 0.750 3.3 0.749 3.4 0.748 3.5 0.747 3.6 0.746 3.7 0.746 3.8 0.745 3.9 0.745 ba k 3 4.0 0.744 4.5 0.743 5.0 0.743 5.5 0.742 6.0 0.742 6.5 0.742 7.0 0.742 7.5 0.742 8.0 0.742 8.5 0.742 9.0 0.742 9.5 0.742 10.0 0.742 ∞ 0.742 III.3. Inersia Torsi Inersia torsi merupakan suatu faktor yang menentukan kekakuan suatu elemen struktur. Nilai inersia torsi ini akan digunakan pada saat melakukan analisa struktur untuk menentukan gaya-gaya dalam yang bekerja. Oleh karena itu, besarnya inersia torsi ini dapat diturunkan dari persamaan momen torsi. _ 2 • • › D ⁄ `› D ⁄ ® D ⁄ `® D ⁄ _ 2 • • — 8: ‹ D 2 Q ˆ 1 Š Q 1 ‰`a D œ1 cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • cos Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž ˜ › D ⁄ `› D ⁄ ® D ⁄ `® D ⁄ _ 16: ‹ D 2 Q • — ˆ 1 Š Q 1 ‰`a D œ1 cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • ‹ Š2 sin Š2 ‹ Œ ‰•a,Q,Ž ˜ `› D ⁄ › D ⁄ ® D ⁄ `® D ⁄ _ 16: ‹ Q 2 ¯ • — ˆ 1 Š ¯ 1 ‰`a D œ1 cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • 1 ‰`a D H1 1J Œ ‰•a,Q,Ž ˜ ® D ⁄ `® D ⁄ _ 32: ‹ Q 2 ¯ • — ˆ 1 Š ¯ œ1 cosh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž ˜ ® D ⁄ `® D ⁄ Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 47 _ = 32: ‹ Q 2 ¯ — ˆ 1 Š ¯ œ ‹ Š2 sinh 1Š2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 • Œ ‰•a,Q,Ž ˜ `® D ⁄ ® D ⁄ _ 32: ‹ Q 2 ¯ ˆ 1 Š ¯ ° - 2 A - 2B± Œ ‰•a,Q,Ž 32: ‹ Q 2 ¯ ˆ 1 Š ¯ ‹ Š2 sinh 1Š2- 2‹ 5 sinh 1 Š2- 2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 Œ ‰•a,Q,Ž _ 32: ‹ Q - 2 ¯ ˆ 1 Š ¯ Œ ‰•a,Q,Ž 64: ‹ ¯ 2 Ž ˆ 1 Š Ž sinh 1Š2- 2‹ 5 cosh 1Š2- 2‹ 5 Œ ‰•a,Q,Ž _ 32: ‹ Q - 2 ¯ ˆ 1 Š ¯ Œ ‰•a,Q,Ž 64: ‹ ¯ 2 Ž ˆ tanh 1Š2- 2‹ 5 Š Ž Œ ‰•a,Q,Ž Diketahui bahwa : ˆ 1 Š ¯ Œ ‰•a,Q,Ž 1 1 ¯ + 1 3 ¯ + 1 5 ¯ + ⋯ + 1 ∞ ¯ 2 ¯ 96 maka persamaan torsi menjadi : _ 32: ‹ Q - 2 ¯ 2 ¯ 96 64: ‹ ¯ 2 Ž ˆ tanh 1Š2- 2‹ 5 Š Ž Œ ‰•a,Q,Ž _ 1 3 : ‹ Q - 64: ‹ ¯ 2 Ž ˆ tanh 1Š2- 2‹ 5 Š Ž Œ ‰•a,Q,Ž _ : ‹ Q - œ 1 3 64 2 Ž ‹ - ˆ tanh 1Š2- 2‹ 5 Š Ž Œ ‰•a,Q,Ž • _ K ¯ : ‹ Q - _ : U III.18 dimana : J = Inersia torsi yang dinyatakan dengan : U K ¯ ‹ Q - III.19 dengan : K ¯ 1 3 64 2 Ž ‹ - ˆ tanh 1Š2- 2‹ 5 Š Ž Œ ‰•a,Q,Ž Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 48 Kemudian nilai k 4 dihitung untuk berbagai variasi nilai ba. Untuk nilai ba = 1, maka : K ¯ = 1 3 64 2 Ž 1 ¢0.917 ¥¦§ ‰•a + 0.004 ¥¦§ ‰•Q + 0.000 ¥¦§ ‰•Ž +. . . + 0¨ ‰•Œ © 1 3 64 2 Ž 0.922 1 3 0.193 0.1406 Untuk nilai ba = 2, maka : K ¯ 1 3 64 2 Ž 2 ¢0.996 ¥¦§ ‰•a + 0.004 ¥¦§ ‰•Q + 0.000 ¥¦§ ‰•Ž +. . . + 0¨ ‰•Œ © 1 3 128 2 Ž 1.001 1 3 0.105 0.229 Untuk nilai ba = 5, maka : K ¯ 1 3 64 2 Ž 5 ¢1.000 ¥¦§ ‰•a + 0.004 ¥¦§ ‰•Q + 0.000 ¥¦§ ‰•Ž +. . . + 0¨ ‰•Œ © 1 3 320 2 Ž 1.005 1 3 0.042 0.291 Untuk nilai ba lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. Nilai k 4 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.4 Tabel.III.4. Nilai Konstanta Inersia Torsi Untuk Tampang Persegi k 4 ba k 4 1.0 0.1406 1.1 0.154 1.2 0.166 1.3 0.177 1.4 0.187 1.5 0.196 1.6 0.204 1.7 0.211 1.8 0.217 1.9 0.223 2.0 0.229 2.1 0.234 2.2 0.238 2.3 0.242 2.4 0.246 ba k 4 2.5 0.249 2.6 0.253 2.7 0.256 2.8 0.258 2.9 0.261 3.0 0.263 3.1 0.266 3.2 0.268 3.3 0.270 3.4 0.272 3.5 0.273 3.6 0.275 3.7 0.277 3.8 0.278 3.9 0.279 ba k 4 4.0 0.281 4.5 0.287 5.0 0.291 5.5 0.295 6.0 0.298 6.5 0.301 7.0 0.303 7.5 0.305 8.0 0.307 8.5 0.309 9.0 0.310 9.5 0.311 10.0 0.312 ∞ 0.333 III.4. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Tegangan Torsi Maksimum Substitusikan nilai Gθa yang diperoleh dari persamaan III.14 ke dalam persamaan III.18 sehingga diperoleh hubungan : _ K ¯ : ‹‹ D - Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 49 _ = K ¯ A 9 š› K a B ‹ D - 9 š› K Ž _ ‹ D - III.20 dimana : K Ž K a K ¯ Kemudian nilai k 5 dihitung untuk berbagai variasi nilai ba. Untuk nilai ba = 1, maka : K Ž 0.675 0.1406 4.801 Untuk nilai ba = 2, maka : K Ž 0.930 0.229 4.061 Untuk nilai ba = 5, maka : K Ž 0.999 0.291 3.433 Untuk nilai ba lainnya, perhitungan dilakukan dengan bantuan program excel. Nilai k 2 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.5 Tabel.III.5. Nilai Konstanta Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Tegangan Geser Maksimum k 5 Pada Tampang Persegi ba k 5 1.0 4.801 1.1 4.675 1.2 4.572 1.3 4.480 1.4 4.396 1.5 4.327 1.6 4.260 1.7 4.209 1.8 4.166 1.9 4.117 2.0 4.061 2.1 4.017 2.2 3.987 2.3 3.950 2.4 3.915 ba k 5 2.5 3.888 2.6 3.846 2.7 3.816 2.8 3.798 2.9 3.766 3.0 3.745 3.1 3.714 3.2 3.690 3.3 3.670 3.4 3.647 3.5 3.637 3.6 3.615 3.7 3.592 3.8 3.583 3.9 3.570 ba k 5 4.0 3.548 4.5 3.481 5.0 3.433 5.5 3.390 6.0 3.356 6.5 3.322 7.0 3.300 7.5 3.279 8.0 3.257 8.5 3.236 9.0 3.226 9.5 3.215 10.0 3.205 ∞ 3.000 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 50

BAB IV CARA PENGGUNAAN TABEL