Dasar-Dasar Teori TINJAUAN PUSTAKA

8

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Dasar-Dasar Teori

1.1. Pengantar Torsi Torsi adalah puntir yang terjadi pada batang lurus apabila batang tersebut dibebani momen yang cenderung menghasilkan rotasi terhadap sumbu longitudinal batang. Sebagai contoh dalam kehidupan sehari-hari yaitu jika seseorang memutar obeng, maka tangannya memberikan torsi ke obeng. Demikian pula halnya dengan komponen struktur suatu bangunan. Jika diperhatikan lebih seksama, sebenarnya balok-balok pada bangunan mengalami torsi akibat beban-beban pada pelat. Demikian pula halnya dengan kolom. Namun torsi pada kolom kebanyakan diakibatkan oleh gaya-gaya yang arahnya horizontal seperti gaya angin ataupun gempa. Berikut ini beberapa ilustrasi yang memperlihatkan adanya torsi yang terjadi pada balok dan kolom. Torsi timbul karena adanya gaya-gaya yang membentuk kopel yang cenderung memuntir batang terhadap sumbu longitudinalnya. Seperti diketahui dari statika, momen kopel merupakan hasil kali dari gaya dan jarak tegak lurus antara garis kerja gaya. Satuan untuk momen pada USCS adalah lb-ft dan lb-in, sedangkan untuk satuan SI adalah N.m. Untuk mudahnya, momen kopel sering dinyatakan dengan vektor dalam bentuk panah berkepala ganda. Panah ini berarah tegak lurus bidang yang mengandung kopel, sehingga dalam hal ini kedua panah sejajar dengan sumbu batang. Arah momen ditunjukkan dengan kaidah tangan kanan untuk vektor momen Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 9 yaitu dengan menggunakan tangan kanan, empat jemari selain jempol dilipat untuk menunjukkan momen sehingga jempol akan menunjuk ke arah vektor. Representasi momen yang lain adalah dengan menggunakan panah lengkung yang mempunyai arah torsi. Lihat Gambar.II.2. Berat Pelat Balok Balok T Gambar.II.1.Ilustrasi Torsi yang Terjadi Pada Pelat dan Balok Beban Angin atau Gempa Beban Angin atau Gempa T P T T P T T Gambar.II.2.Arah Kerja Torsi Sesuai Dengan Kaidah Tangan Kanan dan Panah Lengkung Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 10 Momen yang menghasilkan puntir pada suatu batang disebut momen puntir atau momen torsi. Batang yang menyalurkan daya melalui rotasi disebut poris atau as shaft. Dalam tugas akhir ini, shaft yang akan dibahas secara khusus adalah shaft yang berbentuk persegi yang dalam bidang teknik struktur bangunan banyak dijumpai yaitu pada balok dan kolom struktur beton bertulang. 1.2. Elastisitas Elastisitas ialah sifat suatu bahan apabila gaya luar mengakibatkan perubahan bentuk deformation tidak melebihi batas tertentu, maka perubahan bentuk akan hilang setelah gaya dilepas. Hampir semua bahan teknik memiliki sifat elastisitas ini. Dalam pembahasan torsi dalam tugas akhir ini, bahan-bahan akan dianggap bersifat elastis sempurna yaitu benda akan kembali seperti semula secara utuh setelah gaya yang bekerja padanya dilepas. 1.3. Tegangan Tegangan didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada tiap satuan luas bahan. Untuk menjelaskan ini, maka akan ditinjau sebuah benda yang dalam keadaan setimbang seperti terlihat pada Gambar.II.3. Akibat kerja gaya luar P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 , P 6 , dan P 7 , maka akan terjadi gaya dalam di antara benda. Untuk mempelajari besar gaya ini pada titik sembarang O, maka benda diandaikan dibagi menjadi dua bagian A dan B oleh penampang mm yang melalui titik O. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 11 Kemudian tinjaulah salah satu bagian ini, misalnya A. Bagian ini dapat dinyatakan dalam keadaan setimbang akibat gaya luar P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 , P 6 , P 7 dan gaya dalam terbagi di sepanjang penampang mm yang merupakan kerja bahan. Oleh karena intensitas distribusi ini, tegangan dapat diperoleh dengan membagi gaya tarik total P dengan luas potongan penampang A. Untuk memperoleh besar gaya yang bekerja pada luasan kecil δA, misalnya dari potongan penampang mm pada titik O, dapat diamati bahwa gaya yang bekerja pada elemen luas ini diakibatkan oleh kerja bahan bagian B terhadap bahan bagian A yang dapat diubah menjadi sebuah resultante δP. Apabila tekanan terus diberikan pada luas elemen δA, harga batas δPδA akan menghasilkan besar tegangan yang bekerja pada potongan penampang mm pada titik O. arah batas resultante δP adalah arah tegangan. z x y P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 Gambar.II.3.Benda Tampang Sembarang yang Dibebani oleh Gaya-Gaya Luar m m O B A Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 12 Umumnya, arah tegangan ini miring terhadap luas δA tempat gaya bekerja sehingga dapat diuraikan menjadi dua komponen tegangan yaitu tegangan normal yang tegak lurus terhadap luas dan tegangan geser yang bekerja pada bidang luas δA. Tegangan normal dinotasikan dengan huruf σ dan tegangan geser dengan huruf τ. Untuk menunjukkan arah bidang dimana tegangan tersebut bekerja, digunakan subskrip terhadap huruf-huruf ini. Tegangan normal menggunakan sebuah subskrip yang menunjukkan arah tegangan yang sejajar terbadap sumbu koordinat tersebut, sedangkan tegangan geser menggunakan dua buah subskrip dimana huruf pertama menunjukkan arah normal terhadap bidang yang ditinjau dan huruf kedua menunjukkan arah komponen tegangan. Gambar.II.4 menunjukkan arah komponen- komponen tegangan yang bekerja pada suatu elemen kubus kecil pada titik O pada Gambar.II.1. Untuk menjelaskan tegangan yang bekerja pada keenam sisi elemen ini diperlukan tiga simbol σ x , σ y , σ z untuk tegangan normal dan enam simbol τ xy , τ yx , τ xz , Gambar.II.4.Komponen-Komponen Tegangan yang Bekerja Pada Potongan Kubus Kecil z x y σ Z τ ZX τ ZY τ YZ σ X τ XY τ YX τ XZ σ Y σ Y τ YZ τ YX τ XY σ X τ XZ τ ZY τ ZX σ Z P Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 13 τ zx , τ yz , τ zy untuk tegangan geser. Dengan meninjau kesetimbangan elemen secara sederhana, maka jumlah simbol tegangan geser dapat dikurangi menjadi tiga. Apabila momen gaya yang bekerja pada elemen terhadap garis yang melalui titik tengah C dan sejajar sumbu x, maka hanya tegangan permukaan yang diperlihatkan pada Gambar.II.5 yang perlu ditinjau. Gaya benda, seperti berat elemen, dapat diabaikan karena semakin kecil ukuran elemen, maka gaya benda yang bekerja padanya berkurang sebesar ukuran linier pangkat tiga. Sedangkan gaya permukaan berkurang sebesar ukuran linier kuadrat. Oleh karena itu, untuk elemen yang sangat kecil, besar gaya benda sangat kecil jika dibandingkan dengan gaya permukaan sehingga dapat dihilangkan ketika menghitung momen. Dengan cara yang sama, orde momen akibat ketidak-merataan distribusi gaya normal lebih tinggi dibandingkan dengan orde momen akibat gaya geser dan menjadi nol dalam limit. Juga gaya pada masing-masing sisi dapat ditinjau sebagai luas sisi kali tegangan di tengah. Jika ukuran elemen kecil pada Gambar.II.5 adalah dx, dy, dz , maka momen gaya terhadap P, maka persamaan kesetimbangan elemen ini adalah : τ xz dx dy dz = τ zx dx dy dz II.1 z x C P τ ZX τ XZ τ ZX τ XZ Gambar.II.5.Potongan Melintang Kubus yang Melalui Titik P Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 14 Dua persamaan lain dapat diperoleh dengan cara yang sama sehingga didapatkan : τ xy = τ yx τ zx = τ xz τ zy = τ yz II.2 Dengan demikian enam besaran σ x , σ y , σ z , τ xy = τ yx , τ zx = τ xz , τ zy = τ yz cukup untuk menjelaskan tegangan yang bekerja pada koordinat bidang melalui sebuah titik. Besaran-besaran ini disebut komponen tegangan pada suatu titik. Jika kubus pada Gambar II.5 diberikan suatu komponen gaya per satuan volume sebesar X, Y, Z pada masing-masing sumbu x, y, dan z maka gambar komponen tegangan dalam Gambar.II.5 akan menjadi seperti pada Gambar.II.6 di bawah ini dan persamaan kesetimbangan akan dapat diperoleh dengan menjumlahkan semua gaya pada elemen dalam arah x yaitu : [σ x + σ x – σ x ] y z + [τ yx + τ yx – τ yx ] x z + [τ zx + τ zx – τ zx ] x y + X x y z = 0 [σ y + σ y – σ y ] x z + [τ xy + τ xy – τ xy ] y z + [τ zy + τ zy – τ zy ] x y + Y x y z = 0 [σ z + σ z – σ z ] x y + [τ xz + τ xz – τ xz ] y z + [τ yz + τ yz – τ yz ] x z + Z x y z = 0 Gambar.II.6.Komponen-Komponen Tegangan yang Bekerja Pada Potongan Kubus Kecil Dimana Gaya Luar Per Satuan Volume X, Y, Z Bekerja z x y σ Z + σ Z τ ZX + τ ZX τ YZ τ YX σ Y τ XY σ X τ XZ τ ZY τ ZX σ Z P τ ZY + τ ZY σ Y + σ Y τ YZ + τ YZ τ YX + τ YX σ X + σ X τ XZ + τ XZ τ XY + τ XY Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 15 Sesudah dibagi dengan x, y, z, dan seterusnya hingga batas penyusutan elemen hingga titik x, y, z maka akan didapatkan : + + + = 0 + + + = 0 II.3 + + + = 0 Persamaan II.3 ini harus dipenuhi di semua titik di seluruh volume benda. Tegangan berubah di seluruh volume benda, dan apabila sampai pada permukaan, tegangan-tegangan ini harus sedemikian rupa sehingga setimbang dengan gaya luar yang bekerja pada permukaan benda. 1.4. Regangan Regangan didefinisikan sebagai suatu perbandingan antara perubahan dimensi suatu bahan dengan dimensi awalnya. Karena merupakan rasio antara dua panjang, maka regangan ini merupakan besaran tak berdimensi, artinya regangan tidak mempunyai satuan. Dengan demikian, regangan dinyatakan hanya dengan suatu bilangan, tidak bergantung pada sistem satuan apapun. Harga numerik dari regangan biasanya sangat kecil karena batang yang terbuat dari bahan struktural hanya mengalami perubahan panjang yang kecil apabila dibebani. Dalam membahas perubahan bentuk benda elastis, selalu dianggap bahwa benda terkekang sepenuhnya sehingga tidak bisa bergerak sebagai benda kaku sehingga tidak mungkin ada perpindahan partikel benda tanpa perubahan bentuk benda tersebut. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 16 Pada pembahasan ini yang ditinjau hanya perubahan bentuk yang kecil yang biasa terjadi pada struktur teknik. Perpindahan kecil pertikel yang berubah bentuk ini diuraikan ke dalam komponen u, v, w berturut-turut sejajar dengan sumbu koordinat. Besar komponen ini dianggap sangat kecil dan bervariasi di seluruh volume benda. Tinjau elemen kecil dx dy dz dari sebuah benda elastis seperti terlihat pada Gambar.II.7. Apabila benda mengalami perubahan bentuk dan u, v, w merupakan komponen perpindahan titik P, perpindahan titik di dekatnya , A, dalam arah x pada sumbu x adalah orde pertama dalam dx, yaitu u + u x dx akibat pertambahan fungsi u sebesar u x dx sesuai dengan pertambahan panjang elemen PA akibat perubahan bentuk adalah u x dx. Sedangkan satuan perpanjangan unit elongation pada titik P dalam arah x adalah u x. Dengan cara yang sama, maka diperoleh satuan perpanjangan dalam arah y dan z adalah v y dan w z. z x y O dz dx dy A C B P Gambar.II.7.Elemen Kecil Berdimensi dx dy dz Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 17 Sekarang tinjaulah pelentingan sudut antara elemen PA dan PB dalam Gambar.II.8. Apabila u dan v adalah perpindahan titik P dalam arah x dan y, perpindahan titik A dalam arah y dan titik B dalam arah x berturut-turut adalah v + v x dx dan u + u y dy. Akibat perpindahan ini, maka P’A’ merupakan arah baru elemen PA yang letaknya miring terhadap arah awal dengan sudut kecil yang ditunjukkan pada gambar, yaitu sama dengan v x. Dengan cara yang sama arah P’B’ miring terhadap PB dengan sudut kecil u y. Dari sini dapat dilihat bahwa sudut awal APB yaitu sudut antara kedua elemen PA dan PB berkurang sebesar v x + u y. Sudut ini adalah regangan geser shearing strain antara bidang xz dan yz. Regangan geser antara bidang xy dan xz dan bidang yx dan yz dapat diperoleh dengan cara yang sama. Selanjutnya kita menggunakan huruf Є untuk satuan perpanjangan dan huruf γ untuk regangan geser. Untuk menunjukkan arah regangan digunakan subskrip yang sama terhadap huruf ini sama seperti untuk komponen tegangan. Kemudian diperoleh dari pembahasan di atas beberapa besaran berikut : O y x dx dy v u P A B v v + x dx u u + y dy B A P Gambar.II.8.Perpindahan Titik-Titik P, A, dan B Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 18 ∈ = ∈ = ∈ = = = + = = + = = + II.4 Keenam besaran ini disebut sebagai komponen regangan geser. 1.5. Hukum Hooke Hubungan linier antara komponen tegangan dan komponen regangan umumnya dikenal sebagai hukum Hooke. Satuan perpanjangan elemen hingga batas proporsional diberikan oleh ∈ = II.5 dimana E adalah modulus elastisitas dalam tarik modulus of elasticity in tension. Bahan yang digunakan di dalam struktur biasanya memiliki modulus yang sangat besar dibandingkan dengan tegangan izin, dan besarnya perpanjangan sangat kecil. Perpanjangan elemen dalam arah x ini akan diikuti dengan pengecilan pada komponen melintang yaitu ∈ = − ∈ = − II.6 dimana adalah suatu konstanta yang disebut dengan ratio Poisson Poisson’s Ratio . Untuk sebagian besar bahan, ratio poisson dapat diambil sama dengan 0,25. Untuk baja struktur biasanya diambil sama dengan 0,3. Apabila elemen di atas mengalami kerja tegangan normal σ x , σ y , σ z secara serempak, terbagi rata di sepanjang sisinya, komponen resultante regangan dapat diperoleh dari persamaan II.5 dan II.6 yaitu : ∈ = 1 − + ∈ = 1 − + II.7 ∈ = 1 − + Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 19 Pada persamaan II.7, hubungan antara perpanjangan dan tegangan sepenuhnya didefinisikan oleh konstanta fisik yaitu E dan . Konstanta yang sama dapat juga digunakan untuk mendefinisikan hubungan antara regangan geser dan tegangan geser. Tinjaulah kasus khusus yaitu perubahan bentuk segi empat paralelogram di mana σ z = σ, σ y = –σ , dan σ x = 0. Potonglah sebuah elemen abcd dengan bidang yang sejajar dengan sumbu x dan terletak 45˚ terhadap sumbu y dan z Gambar.II.9. Dengan menjumlah gaya sepanjang dan tegak lurus bc, bahwa tegangan normal pada sisi elemen ini nol dan tegangan geser pada sisi adalah : τ = ½ σ z – σ y = σ II.8 Kondisi tegangan seperti itu disebut geser murni pure shear. Pertambahan panjang elemen tegak Ob sama dengan berkurangnya panjang elemen mendatar Oa dan Oc, dan dengan mengabaikan besaran kecil dari orde kedua, kita bisa menyimpulkan bahwa panjang elemen ab dan bc tidak berubah selama terjadinya perubahan bentuk. Sudut antara sisi ab dan bc berubah dan besar regangan geser yang bersangkutan γ bisa diperoleh dari segi tiga Obc. Sedudah perbuahan bentuk akan didapatkan : b y z d a c 45° o b c o σ σ τ τ τ τ τ Gambar.II.9.Perubahan Bentuk Segi Empat Paralellogram Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 20 +, +- = tan 1 2 4 − 25 = 1 + 6 1 + 6 Untuk γ yang kecil, tan γ 2 ≈ γ 2 , maka : +, +- = tan 1 2 4 − 25 = tan 24 − tan 2 1 + tan 24 tan 2 = 1 − 2 1 + 2 = 1 + 6 1 + 6 Maka diperoleh : 6 = − 2 dan 6 = 2 Sedangkan jika nilai-nilai σ z = σ, σ y = –σ , dan σ x = 0 disubstitusikan ke dalam persamaan II.7 maka akan diperoleh : ∈ = 1− − = − 1+ = − 2 ∈ = 17 − −8 = 1+ = 2 Maka diperoleh hubungan antara regangan dengan regangan geser : ∈ = 2 II.9 Hubungan antara regangan dan tegangan geser didefinisikan oleh konstanta E dan v yaitu : = 2 1+ = 2 1+ 9 II.10 Jika digunakan notasi : : = 2 1+ II.11 Maka persamaan II.10 akan menjadi : = 9: II.12 dimana konstanta G didenisikan oleh II.11, dan disebut modulus elastisitas dalam geser modulus of elasticity in shear atau modulus kekakuan modulus of rigidity. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 21 Apabila tegangan geser bekerja ke semua sisi elemen, seperti terlihat pada Gambar.II.5, pelentingan sudut antara dua sisi yang berpotongan hanya tergantung kepada komponen tegangan geser yang bersangkutan dan diperoleh : = 9: = 9: = 9: 1.6. Analogi Membrane Elastic oleh Prandtl Soap Film Analogy Untuk pembahasan analogi membran ini, potonglah suatu bukaan pada potongan melintang dari elemen yang mengalami torsi untuk diselidiki. Anggaplah bukaan ini ditutupi oleh sejenis membran elastis yang homogen, seperti selaput sabun, dan kerjakan suatu tekanan pada salah satu sisi membran. Kemudian tinjaulah suatu elemen membran elastis ABCD dengan dimensi dx dy seperti ditunjukkan pada Gambar.II.10. Dengan menggunakan z sebagai besaran perpindahan lateral dari membran elastis, p adalah tekanan lateral dalam y x O A B C D dx dy z x O S S α α + x dx α Gambar.II.10.Analogi Selaput Sabun Soap Film Analogy p Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 22 gaya per satuan luas, dan S sebagai tegangan inisial dalam gaya per satuan panjang, maka gaya vertikal murni yang diakibatkan oleh tegangan S yang bekerja sepanjang sisi AD dan BC dari membran dengan mengasumsikan perpindahan yang terjadi adalah sangat kecil sehingga nilai sinα ≈ tanα berturut-turut adalah −; sin ? ≈ −; tan ? = −; ; sin A? + ? B ≈ ; tan A? + ? B = ; A + B Dengan cara yang sama akan diperoleh gaya vertikal murni yang diakibatkan oleh tegangan S yang bekerja sepanjang sisi AB dan DC berturut-turut adalah −; ; A + B Jika keempat gaya vertikal di atas dijumlahkan maka akan diperoleh persamaan membran untuk elemen dx dy adalah sebagai berikut −; + ; A + B − ; + ; A + B + C = 0 ; A B + ; A B = −C ; D D + ; D D = −C E E + E E = − F G II.13 Persamaan II.13 ini dikenal sebagai persamaan Analogi Membran Prandtl. Persamaan ini kemudian akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan torsi untuk tampang persegi. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 23 1.7. Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Grid Metode elemen hingga merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Metode elemen hingga juga dikenal sebagai metode kekakuan ataupun displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian gaya batang dicari. Dalam hubungannya dengan tugas akhir ini, metode elemen hingga ini digunakan untuk menganalisis atau menghitung besarnya momen torsi yang terjadi dalam komponen struktur. Untuk itu, metode elemen hingga yang digunakan adalah metode elemen hingga untuk elemen grid dimana gaya yang bekerja pada struktur yang diperhitungkan hanya terbatas pada gaya vertikal, momen lentur dan momen torsi. Persamaan umum untuk metode elemen hingga ini adalah : HIJ = 7K8HJ − HI LMN J II.14 dimana : {f} = Matriks gaya-gaya batang kg [k] = Matriks kekakuan struktur Nm 2 {d} = Matriks perpindahan m dan rad {f red } = Matriks gaya-gaya pada titik simpul akibat beban merata Dalam menggunakan metode elemen hingga, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap elemen batang akan terdapat dua buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi tanda 1 dan simpul akhir yang diberi tanda 2 dan sebuah elemen yang diberi tanda a seperti tampak pada Gambar.II.11. Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 24 Derajat kebebasan adalah jumlah komponen perpindahan yang dapat terjadi pada kedua simpul yang ada pada suatu elemen. Jumlah derajat kebebasan berbeda- beda untuk tiap jenis struktur. Misalnya, untuk elemen rangka, jumlah derajat kebebasannya adalah dua yaitu masing-masing satu perpindahan dalam arah sumbu batang biasanya disebut sebagai sumbu 1 pada titik simpul 1 dan 2. Dari jumlah derajat kebebasan yang ada, suatu matriks kekakuan untuk suatu jenis struktur dapat ditentukan. Masing-masing jenis struktur memiliki suatu matriks kekakuan tersendiri dimana matriks kekakuan untuk elemen rangka berbeda dengan matriks kekakuan untuk elemen frame dan lain-lainnya. Begitu pula halnya dengan matriks kekakuan untuk elemen grid. Matriks kekakuan dari elemen grid dapat diperoleh dengan menggabungkan matriks kekakuan dari elemen batang memiliki 4 derajat kebebasan dengan matriks kekakuan untuk elemen torsi murni. Kekakuan dalam suatu struktur terbagi dalam dua jenis yaitu kekakuan lokal dan kekakuan global. Kekakuan lokal adalah kekakuan elemen yang mengacu arah sumbu masing-masing elemen sedangkan kekakuan global adalah kekakuan elemen yang mengacu pada sistem koordinat global yaitu sistem koordinat kartesian XYZ. Jika dalam suatu struktur terdapat lebih dari satu batang dengan arah sumbu lokal yang berbeda, maka maka kekakuan lokal dari tiap elemen harus diubah menjadi kekakuan global agar matriks kekakuan dari semua elemen yang ada dapat digabungkan. Gambar.II.11.Titik Simpul dan Elemen 2 1 Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 25 Untuk elemen grid, seperti yang telah disebutkan di atas, kekakuan lokalnya merupakan gabungan dari kekakuan lokal untuk elemen batang dengan kekakuan lokal untuk elemen torsi murni. Berikut ini adalah matriks kekakuan yang disebutkan di atas : • Matriks kekakuan lokal untuk elemen batang Frame Element 7K8 = O P Q R 12 6P −12 6P 6P 4P D −6P 2P D −12 −6P 12 −6P 6P 2P D −6P 4P D T • Matriks kekakuan lokal untuk elemen torsi murni 7K8 = :U P V 1 −1 −1 1 W • Matrik kekakuan lokal untuk elemen grid 7K8 = X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z 12O P Q 6O P D :U P 6O P D 4O P − 12O P Q 6O P D − :U P − 6O P D 4O P − 12O P Q − 6O P D − :U P 6O P D 4O P 12O P Q 0 − 6O P D :U P − 6O P D 4O P [ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ] Kekakuan lokal dari semua jenis struktur dapat diubah menjadi kekakuan global dengan menggunakan persamaan : K = 7_87K87_8 `a ΕΙ GJ Sy 1 Μz 1 Mx 1 Sy 2 Μz 2 Mx 2 L Gambar.II.12.Derajat Kebebasan Pada Elemen Grid Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 26 dimana [T] merupakan matriks transformasi yang berbeda-beda untuk jenis struktur tertentu dan [T] -1 merupakan invers dari matriks transformasi. Matriks transformasi untuk elemen grid dapat disusun dengan mengacu pada Gambar.II.13 sehingga diperoleh : 7_8 = X Y Y Y Y Z 1 cos ? sin ? − sin ? cos ? 1 cos ? sin ? − sin ? cos ? [ \ \ \ \ ] 7_8 `a = X Y Y Y Y Z 1 cos ? − sin ? sin ? cos ? 1 cos ? − sin ? sin ? cos ?[ \ \ \ \ ] Setelah matriks kekakuan diperoleh maka gaya-gaya batang untuk elemen grid dapat dihitung dengan terlebih dahulu menghitung besarnya perpindahan yang terjadi pada titik-titik simpul dengan menggunakan persamaan II.14 : z X α My 2 My 1 Mx 1 V 2 Mx 2 V 1 1 2 y Gambar.II.13.Transformasi ke Sumbu Global Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008. USU Repository © 2009 27 HIJ = 7K8HJ − HI LMN J d ee f ee g h a i a i a h D i D i D j ee k ee l = X Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Z 12O P Q 6O P D :U P 6O P D 4O P − 12O P Q 6O P D − :U P − 6O P D 4O P − 12O P Q − 6O P D − :U P 6O P D 4O P 12O P Q 0 − 6O P D :U P − 6O P D 4O P [ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ] d e f e g a m a n a D m D n D j e k e l − d ee f ee g h a LMN i a LMN i a LMN h D LMN i D LMN i D LMN j ee k ee l II.15 Setelah nilai-nilai perpindahan diperoleh dari persamaan II.15, maka gaya- gaya dalam untuk tiap elemen dapat dicari dengan menggunakan persamaan II.14.

II.2. Analisis Torsi Pada Tampang Sembarang