27
HIJ = 7K8HJ − HI
LMN
J
d ee
f ee
g h
a
i
a
i
a
h
D
i
D
i
D
j ee
k ee
l =
X Y
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y
Y Y
Z 12O
P
Q
6O P
D
:U P
6O P
D
4O P
− 12O
P
Q
6O P
D
− :U
P −
6O P
D
4O P
− 12O
P
Q
− 6O
P
D
− :U
P 6O
P
D
4O P
12O P
Q
0 − 6O
P
D
:U P
− 6O
P
D
4O P [
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\ ]
d e
f e
g
a
m
a
n
a D
m
D
n
D
j e
k e
l −
d ee
f ee
g h
a LMN
i
a LMN
i
a LMN
h
D LMN
i
D LMN
i
D LMN
j ee
k ee
l
II.15
Setelah nilai-nilai perpindahan diperoleh dari persamaan II.15, maka gaya- gaya dalam untuk tiap elemen dapat dicari dengan menggunakan persamaan II.14.
II.2. Analisis Torsi Pada Tampang Sembarang
2.1.
Metode Semi-Invers Saint-Venant
Anggap suatu bahan yang menalami torsi dengan suatu potongan melintang seragam dari tampang sembarang seperti terlihat pada Gambar.II.14. Tegangan yang
didistribusikan pada ujung-ujung yaitu τ
zx
dan τ
zy
akan menghasilkan torsi sebesar T.
y
y x
O
z
P P
β
T z
Sebelum Berubah Bentuk Setelah Berubah Bentuk
Gambar.II.14.Elemen Torsi Dengan Tampang Sembarang
Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008.
USU Repository © 2009
28 pada umumnya, semua distribusi tegangan pada ujung potongan akan menghasilkan
torsi. Menurut Saint-Venant, distribusi tegangan pada potongan yang cukup jauh
dari ujung bergantung hanya pada besar momen torsi dan tidak tergantung pada distribusi tegangan pada ujungnya. Oleh karena itu, untuk suatu element torsi
panjang, distribusi tegangan pada ujung tidak akan mempengaruhi distribusi pada bagian makro dari elemen torsi.
Metode Saint-Venant dimulai dengan suatu perkiraan komponen perpindahan akibat torsi. Perkiraan ini didasarkan kepada perubahan geometri yang
terjadi pada elemen torsi yang terdeformasi. Saint-Venant mengasumsikan tiap elemen torsi lurus dengan tampang tetap selalu memiliki suatu sumbu putar yang
tegak lurus terhadap potongan melintangnya yang bertindak sebagai poros kaku pada pusatnya. Dalam hal ini, poros diambil sejajar dengan sumbu z.
Tinjau suatu titik P dengan koordinat x, y, z dari pusat O sebelum mengalami deformasi. Setelah mengalami deformasi akibat torsi, P bergerak ke P’. P
akan berpindah sejauh w sejajar sumbu z karena warping distorsi ke arah luar bidang dari potongan melintang dan berpindah sejauh u dan v sejajar sumbu x dan
sumbu y karena rotasi dasar potongan melintang di mana P berada dengan sudut puntir sebesar β terhadap poros. Sedangkan sudut puntir β ini bervariasi menurut
jarak z dari poros. Dapat dituliskan bahwa dβdz sebagai suatu laju puntiran θ. Maka pada jarak z dari pusat O, sudut puntir adalah sebesar β = θz.
Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008.
USU Repository © 2009
29 Dengan mengacu pada Gambar.II.15, diperoleh :
=
o
− = +p7cos? + m − cos ?8 = +p7cos ? cos m − sin ? sin m − cos ?8
= +p cos ? cos m − 1 − +p sin ? sin m = cos m − 1 − sin m
dan
=
o
− = +p7sin? + m − sin ?8 = +p7sin ? cos m + cos ? sin m − sin ?8
= +p cos ? sin m + +p sin ? cos m − 1 = sin m + cos m − 1
Untuk perpindahan yang sangat kecil, akan diperoleh nilai-nilai sinβ ≈ β dan cosβ ≈ 1, maka :
u = -y β = -y θz
v = x β = x θz
Sedangkan untuk komponen w diambil : w =
θ ψx,y dimana ψx,y adalah fungsi warping.
Setelah komponen perpindahan ini diperoleh, maka kita akan mensubstitusikan nilai-nilai u, v, dan w ini ke dalam persamaan II.4 dan diperoleh :
Px,y Px,y
x y
y x
β α
r
Gambar.II.15.Potongan Melintang Suatu Elemen Torsi x
y
Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008.
USU Repository © 2009
30
∈ = =
− = 0
∈ = =
= 0 ∈ =
= ,
= 0 = =
+ =
− +
= − + = 0
= = +
= ,
+ −
= r ,
− s = =
+ =
, +
= r ,
+ s II.16
Tinjau kembali persamaan kesetimbangan. Untuk komponen yang mengalami torsi murni, σ
x
= 0, σ
y
= 0, σ
z
= 0, τ
xy
= 0, X = 0, Y = 0, Z = 0 sehingga dari persamaan kesetimbangan didapatkan :
= 0 II.17.a
= 0 II.17.b
+ = 0
II.17.c
Persamaan II.17.a dan II.17.b menunjukkan bahwa τ
zx
dan τ
zy
tidak tergantung pada z. Dan komponen tegangan harus memenuhi persamaan II.17.c.
Oleh karena itu diambil persamaan tegangan geser ini menjadi :
9 = 9 = −
II.18
Kemudian kedua persamaan di atas disubstitusikan ke persamaan II.17.c :
1
t
5
−
1
t
5
= 0
Hasil dari ruas kiri dari persamaan ini juga memberikan nilai 0, hal ini menunjukkan bahwa persamaan II.18 yang diambil memenuhi persamaan II.17.c.
Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008.
USU Repository © 2009
31 Tinjau kembali persamaan II.16. Jika masing-masing γ
zx
dan γ
zy
didiferensi parsial kan terhadap y dan x, maka akan diperoleh :
u =
v
V
w , −
W
u =
v
V
w , +
W
u =
V
E
w , − 1
W
II.19.a u
=
V
E
w , + 1
W
II.19.b
Jika persamaan II.19.a dengan II.19.b, maka akan diperoleh :
u −
u = −2
II.20
Substitusikan hubungan antara regangan geser dengan tegangan geser pada persamaan II.14 ke dalam persamaan II.20 maka akan diperoleh :
1
x
5
−
1
x
5
= −2
− = −2:
II.21
Substitusikan persamaan II.18 ke dalam persamaan II.21 untuk mendapatkan suatu persamaan yang kemudian akan kita kenal sebagai persamaan
torsi :
1
t
5
−
1
t
5
= −2:
E
t
E
−
E
t
E
= −2: II.22
Pada bab berikutnya, persamaan II.22 ini akan digunakan untuk menurunkan fungsi torsi untuk tampang persegi bantuan persamaan analogi
membran Prandtl yang telah diturunkan sebelumnya. Karena permukaan elemen torsi ini bebas dari gaya lateral, maka resultan
dari gaya geser τ pada potongan melintang dari elemen torsi pada keliling potongan
Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008.
USU Repository © 2009
32 ini harus berarah tegak lurus terhadap garis normalnya. Kedua komponen tegangan
geser τ
zx
dan τ
zy
yang bekerja pada potongan melintang dengan sisi-sisi dx, dy, dan ds
dapat dinyatakan dengan : τ
zx
= τ sinα τ
zy
= τ cosα
y
x O
R S
dy dx
α
s n
ds
α
ds ds
ds
α
τ τ
ZY
τ
ZX
y
x O
R S
dy y
B A
Gambar.II.16.Potongan Melintang Elemen Torsi
Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008.
USU Repository © 2009
33 Dengan mengacu pada Gambar.II.16
sin ? = y cos ? = y
II.23
Karena komponen tegangan geser pada arah n pada gambar pada keliling elemen harus bernilai nol, maka proyeksi τ
zx
dan τ
zy
dalam arah normal adalah : τ
zx
cosα - τ
zy
sinα = 0
II.24
Substitusikan persamaan II.18 dan II.23 ke dalam persamaan II.24 :
t N Nz +
t N Nz =
Nt Nz = 0
Dari penyelesaian ini menunjukkan bahwa nilai konstan di sepanjang
keliling S. Karena tegangan merupakan turunan partial dari , maka nilai konstan ini dapat dianggap nol.
Distribusi τ
zx
dan τ
zy
pada potongan melintang yang dibahas harus memenuhi ketiga persamaan berikut :
∑ | = } 9 = }
t
= 0
II.25.a
∑ | = } 9 = }
t
= 0
II.25.b
∑ i = _ = } 9 − 9 = − } 1
t
+
t
5
II.25.c
2.2. Hubungan Antara Momen Torsi Dengan Fungsi Torsi
Dengan menyelesaikan persamaan II.25.c, maka akan diperoleh hubungan antara momen torsi dengan fungsi torsi. Ambillah salah satu komponen integral dari
persamaan II.25.c. Karena fungsi tegangan tidak bervariasi dalam arah y untuk sebuah garis setebal dy seperti tampak pada Gambar.II.16, turunan parsial dapat
digantikan dengan suatu turunan total sehingga diperoleh :
− ~ = − •
= − •
t€ t•
= − ‚ |
• €
− •
„ …
†
Erwin : Analisi Torsi pada Tambang Persegi Panjang dan Aplikasi pada Komponen Struktur Beton Bertulang dengan Menggunakan Elemen Grid, 2008.
USU Repository © 2009
34 Mengingat nilai pada tepi-tepi elemen
A
=
B
= 0, maka diperoleh :
− ~ = ~
Langkah yang sama dilakukan untuk komponen lain dari integaral pada persamaan II.25.c sehingga diperoleh :
− ~ = ~
Dengan menjumlahkan kedua komponen ini, maka diperoleh hubungan antara momen torsi dengan fungsi torsi yaitu :
_ = − V‡
t
+ ‡
t
W = 2 ‡
II.24
II.3. Torsi Pada Beton Bertulang
