51
3.4 Balok dengan Panjang Tak Terhingga Infinite Beam
3.4.1 Balok dengan Panjang Tak Terhingga yang Terbebani Secara Terpusat
Gambar 3.11 Balok panjang tak terhingga dibebani beban terpusat dan momen titik Hetenyi, 1974
Balok dengan panjang tak terhingga infinite beam adalah balok dengan pengaruh beban pada salah satu ujung sudah tidak berpengaruh pada ujung lainnya,
dapat diasumsikan bahwa kedua ujung terletak berjauhan infinite beam. Untuk kondisi pelat dengan pembebanan yang terpusat P seperti terlihat pada
gambar 3.11 persamaan lendutan y balok, rotasi , momen M dan gaya lintang
Q dengan kondisi panjang pelat yang tak terhingga dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut :
x
A k
P y
2
3.13a
x
B k
P dx
dy
2
3.13b
52
λx C
λ P
M dx
y d
EI 4
2 2
3.13c
x
D P
Q dx
y d
EI
2
3 3
3.13d
Untuk kondisi pelat dengan pembebanan momen yang terpusat M seperti
terlihat pada gambar 3.11 persamaan lendutan y balok, rotasi , momen M dan
gaya lintang Q dengan kondisi panjang pelat yang tak terhingga dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut :
x o
B k
M y
2
3.14a
x o
C k
M
3
3.14b
x o
D M
M
2
3.14c
x o
A M
Q
2
3.14d
dengan: sin
cos x
x e
A
x x
3.15a
x e
B
x x
sin
3.15b
sin cos
x x
e C
x x
3.15c
x e
D
x x
cos
3.15d
53 3.4.2 Balok dengan Panjang Tak Terhingga yang Terbebani Secara Merata
Untuk balok yang terbebani secara merata dapat dibagi dalam 3 kondisi titik tinjauan yang akan dihitung reaksinya. Kondisi tersebut antara lain titik tinjauan C
berada dibawah beban merata, titik tinjauan C berada dikiri beban merata, dan titik tnjauan C berada di kanan beban merata. Kondisi tersebut seperti ditunjukkan pada
gambar 3.12 berikut ini.
a b
dx x
b dx
x a
a b
dx x
A B
C
A
A B
B C
C q
q
q a
b
c
Gambar 3.12 Titik tinjau gaya dalam pada balok panjang tak terhingga dengan beban merata Hetenyi, 1974
Untuk kondisi pelat dengan pembebanan merata dengan titik tinjauan berada dibawah beban merata q seperti terlihat pada gambar 3.12apersamaan lendutan y
balok, rotasi , momen M dan gaya lintang Q dengan kondisi panjang pelat
yang tak terhingga dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut :
b a
c
D D
k q
y
2
2 3.16a
b a
c
A A
k q
2 3.16b
54
b a
c
B B
q M
2
4 3.16c
b a
c
C C
q Q
4 3.16d
Untuk kondisi pelat dengan pembebanan merata dengan titik tinjauan berada di kiri beban merata q seperti terlihat pada gambar 3.12b persamaan lendutan y
balok, rotasi , momen M dan gaya lintang Q dengan kondisi panjang pelat
yang tak terhingga dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut :
b a
c
D D
k q
y
2 3.17a
b a
c
A A
k q
2 3.17b
b a
c
B B
q M
2
4 3.17c
b a
c
C C
q Q
4 3.17d
Untuk kondisi pelat dengan pembebanan merata dengan titik tinjauan berada di kanan beban merata q seperti terlihat pada gambar 3.12c persamaan lendutan y
balok, rotasi , momen M dan gaya lintang Q dengan kondisi panjang pelat
yang tak terhingga dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut :
b a
c
D D
k q
y
2
3.18a
b a
c
A A
k q
2 3.18b
b a
c
B B
q M
2
4 3.18c
b a
c
C C
q Q
4 3.18d
55
3.5Balok dengan Panjang Terhingga Finite Beam
Balok dengan panjang terhingga adalah balok akibat beban yang bekerja pada salah satu ujung akan mempengaruhi ujung yang lainnya. Balok mempunyai panjang
yang terhingga finite.
Gambar 3.13 Mekanisme pemberian gaya dan momen ujung Hetenyi, 1974
Pada balok dengan panjang terhingga, harus memenuhi persamaan diferensial garis elastic dan kondisi ujungnya boundary condition. Persamaan untuk
menentukan lendutan pada balok dengan panjang terhingga diturunkan dari persamaan lendutan dengan panjang tak terhingga dengan mengkondisikan pelat
dengan panjang terhingga seperti pelat dengan panjang tak terhingga yaitu dengan memberikan gaya P
OA
dan P
OB
dan momen M
OA
dan M
OB
pada ujung pelat, agar pengaruh momen dan gaya lintang pada ujung pelat dengan panjang terhingga
seperti pelat dengan panjang tak terhingga. Ilustrasi pemberian gaya dan momen
M
B
Q
P P
OA
P
OB
M
OB
M
OA
A
A B
B
A B
P q
q
q
l
l
M
A
Q P
l
56 ujung pada balok tak terhingga untuk menjadikan balok terhingga seperti pada
Gambar 3.6. Persamaan
–persamaan yang digunakan adalah,
2 2
4 4
l OB
OA l
OB OA
A
D M
M C
P P
M
3.19a
2 2
2 2
l OB
OA OB
OA A
A M
M l
D P
P Q
3.19b
2 2
4 4
OB l
OA OB
l OA
B
M D
M P
C P
M
3.19c
2 2
2 2
l OB
OA OB
OA B
A M
M l
D P
P Q
3.19d
Untuk memecahkan keempat sistem persamaan diatas maka harus dicari nilai nilai M
A
, M
B
, P
OA
, P
OB
, M
OA
, M
OB
, Q
A
, dan Q
B
yaitu :
x B
A
D Mo
M M
2
3.20a
x B
A
A Mo
Q Q
2
3.20b
2 1
B A
A
M M
M
3.20c
2 1
B A
A
Q Q
Q
3.20d
2 1
B A
A
M M
M
3.20e
2 1
B A
A
Q Q
Q
3.20f
O O
OA
P P
P
3.20g
O O
OA
M M
M
3.20h
O O
OB
P P
P
3.20i
57
O O
OB
M M
M
3.20j
] 1
1 [
4
l A
l A
I O
A M
D Q
E P
3.20k ]
1 1
[ 4
l A
l A
II O
A M
D Q
E P
3.20l ]
1 2
1 [
2
l A
l A
I O
D M
C Q
E M
3.20m
] 1
2 1
[ 2
l A
l A
II O
D M
C Q
E M
3.20n
1 1
1 1
2 1
l l
l l
I
C A
D D
E
3.20o
1 1
1 1
2 1
l l
l l
II
C A
D D
E
3.20p
sin cos
l l
e A
l
l
3.20q l
e B
l l
sin
3.20r
sin cos
l l
e C
l
l
3.20s l
e D
l l
cos
3.20t
58
a b
Gambar 3.14a.Grafik untuk menentukan nilai A
χ
, B
χ
, C
χ
, dan D
χ
b. Grafik E
I
, E
II
, F
I
, dan F
II
Hetenyi, 1974
Untuk mempermudah perhitungan, Hetenyi, 1974 memberikan nilai A
x
, B
x
, C
x
, D
x
, E
I
, dan E
II
dalam bentuk grafik dan tabel dalam fungsi x jarak.Grafik fungsi A
x
, B
x
, C
x
, D
x
, E
I
dan E
II
dapat dilihat seperti dalam Gambar 3.12.
Gambar 3.15 Balok terhingga yang dibebani beban titik pada jarak tertentu P
A B
a b
l
x
y
59 Pada pelat panjang terhingga dengan kondisi beban tertentu, Hetenyi
memberikan penyelesaian umum general solution, seperti beban titik yang terletak pada jarak tertentu pada balok untuk menentukan lendutan, gaya lintang, momen,
dan rotasi, Gambar 3.13 yaitu :
b a
b a
l b
a b
a l
x x
x x
b a
l b
a l
x x
l l
k P
y
sin cosh
cos sinh
sin sin
cos cosh
sin sinh
cos sinh
sin cosh
cos cosh
sin cosh
cos sinh
cos cosh
2 sin
sinh 1
2 2
3.21a
b a
l b
a l
x x
x x
b a
b a
l b
a b
a x
x
l l
k P
cos cosh
sin cosh
cos sinh
cos sinh
sin cosh
sin cosh
cos sinh
sin sinh
cos cosh
sin sinh
cos cosh
sin sinh
1 2
2 2
2
3.21b
sin cosh
cos sinh
sin sinh
cos cosh
sin sinh
cos sinh
sin cosh
cos cosh
sin cosh
cos sinh
sin sinh
2 sin
sinh 1
2
2 2
b a
b a
l b
a b
a l
x x
x x
b a
l b
a l
x x
l l
P M
3.21c
sin cosh
cos sinh
sin sinh
cos cosh
sin sinh
sin sinh
cos cosh
sin cosh
cos sinh
cos sinh
sin cosh
sin sinh
1
2 2
b a
b a
l b
a b
a l
x x
b a
l b
a l
x x
x x
l l
P V
3.21d
60
3.6 Pelat pada Pondasi Elastis
Kategori