10
, 2
1, 1
, 1
1 ,
2 1,
1 ,
1 1
, 2
1, 1
, 1
1 k
i n k i
n n k
n n k i
k i n
k i n
n k n n k
i k
i n k i
n n k
n n k i
− +
− − −
− − =
− +
− − −
− − =
− +
− − −
− − =
= −
+ −
= −
⋅ +
− =
− ⋅
+ −
UBL I
e B I
e e
IB e
B I
e e
B e
B I
e e
3.37 Perhatikan bahwa menurut Persamaan
3.33, definisi matriks B pada kasus ini, serta
dengan menggunakan Definisi 2.6 dan Definisi 2.7, akan diperoleh
1 ,
2 1
, 1
, untuk 1 , untuk
, selainnya
n k i i
i j j n
k i i
i i i
i
R i
k R
R i
n k
R
− + − = −
+ − −
+ ≤ ≤
= −
= − B
e B
B e B
3.38 Di lain pihak, dengan menggunakan Teorema
2.2d akan diperoleh
, 2
1 2
, untuk 1 3.39
, selainnya
k j
i n k i
i j
n k
j j
R R
R j
k R
− +
= −
+
− ⋅
− ≤
≤ =
B e
B B
B B
Dari Persamaan 3.38 dan Persamaan 3.39, akan diperoleh
, 2
1 2
, 1
, untuk 1 , untuk
3.40 , selainnya
k j
i n k i
i j
n k
j j
j j j
R R
R j
k R
j n
k R
− +
= −
+ −
− ⋅
− ≤
≤ =
− = −
B e
B B
B B e
B
Selanjutnya akan
dianalisis perilaku
2 j
n k
j
R R
− +
− B
B untuk 1 j
k ≤
≤ . Pertama,
akan ditunjukkan bahwa untuk 1 1
j k
≤ ≤ − ,
berlaku
2 j
n k
j j
R R
R
− +
− =
B B
B 3.41
Untuk 1
i = , diperoleh
1 2
1 suku
3 1 suku
2 1 suku
2 1 suku
1 suku suku
suku 2 suku
1 1 1 0
0 1 1 1
0 1 1 1 0
1 1 1 0
0 1 1 1
n k
k n
k k
n k
k k
k n
k k
R R
− +
− −
+ −
− +
−
− =
−
= B
B
suku 1
3.42 R
= B
Untuk 2
i = , diperoleh
2 2
2 1 suku
3 1 suku
2 suku 2 suku
1 suku 1 suku
1 suku 2 suku
1 1 1 0
0 1 1 1
0 1 1 1 0
1 1 1 0
n k
k n
k k
n k
k k
k n
k
R R
− +
+ −
− −
+ −
+ −
− =
−
= B
B
1 suku 2
1 1 1
3.43
k
R
−
= B
dan seterusnya. Untuk 1
i k
= − , diperoleh
1 1
3 suku 1 suku
3 1 suku
3 suku 3 suku
1 suku
3 suku 1 s
0 1 1 1 0
1 1 1
0 1 1 1
0 1 1 1
k n k
k k
n k
k n k
k
k k
R R
− − −
− +
− −
+ − −
+
− +
− =
−
= B
B
uku 2 suku
1
1 1 3.44
n k
k
R
−
−
= B
Persamaan 3.42, Persamaan 3.43, dan Persamaan
3.44 diperoleh
dengan
menggunakan definisi matriks B dan matriks B pada kasus ini sebagaimana
telah
11 disebutkan sebelumnya. Ketiga persamaan
tersebut juga membuktikan kebenaran dari Persamaan 3.41.
Sedangkan untuk i k
= , dengan menggu- nakan Persamaan 3.40 akan diperoleh
2 suku 1 suku
3 1 suku
2 suku 2 suku
1 suku 2 suku
1 suk
0 1 1 1 0
1 1 1
0 1 1 1
0 1 0
k n k
k k
n k
k n k
k n k
k
R R
− −
+ −
− +
− − +
− − +
− =
− +
B B
u 2 suku
1 suku 2 suku
2 suku 1 suku
, 1
0 1 1 1 0
1 0 1 0
3.45
k k
n k
n k k
k k
k n k
R R
− +
− − −
+ − −
= +
= +
B e
Berdasarkan Persamaan
3.41 dan
Persamaan 3.45, maka Persamaan 3.40 akan menjadi
, 2
1 ,
1 ,
1
, untuk , untuk
3.46 , selainnya
k j
i n k i
i j
j n j j
j j j
R R
j k
R j
n k
R
− +
= − −
−
− ⋅
+ =
= −
= − B
e B
B e B e
B
Selanjutnya, Persamaan 3.46 di atas akan menghasilkan
, 2
, 1
, 1
1 k
i n k i
k n k n k n k
i −
+ − −
− − −
=
− ⋅
= +
− B
e B
B e e
3.47 Kemudian, Persamaan 3.47 akan mengaki-
batkan Persamaan 3.37 menjadi
, 1
, 1
1, 1
, 1
1, 1
, 1
, 1
, 1
1, 1
, 1
, 1
, 1
, 1
1, 1
, 1
, 1
k n k n k n k
n n k
n n k n
n k n n k
k n k k n k
n n k
k n k n n k
n k n k n k n k
n n k
n k n k n n k
− − −
− − −
− − − −
− − −
− − − −
− − −
− − − −
− − −
− − −
− − −
− − −
− − − −
= +
− +
− =
+ −
+ +
− −
− +
UBL B e
e I e
e BI
Be Be
e I
e e
e e
e I
e e
e e
3.48 Selanjutnya, karena Teorema 2.2a, maka
Persamaan 3.48 akan menjadi
1, 1
, 1
, 1
, 1
1, 1
, 1
, 1
, 1
3.49
n n k
n n k k n k
n k n k n
n k n n k
k n k n k n k
− − −
− − − −
− − −
− − −
− − − −
− − −
= +
− +
+ −
− −
+ =
+ −
+ −
UBL B
Be Be
e O
O e O O
B Be
Be e
e
Tinjau matriks
1, 1
, 1
n n k
n n k −
− − − −
−
Be Be
. Menurut Teorema 2.2e, matriks tersebut
bernilai nol pada selain kolom ke-n–k–1 dan
1 1,
1 ,
1 1
n k n
n k n n k
n n
C C
C
− − −
− − − −
−
− =
−
Be Be
B B
3.50 Dalam hal ini,
1
1 1 baris
1 2 baris
1 1 baris
1 3.51
n
k
C n
k
k
−
−
= −
+ B
dan 1
baris 1
2 baris 1
baris 1
3.52
n
k
C n
k
k =
− B
Akibat Persamaan 3.51 dan Persamaan 3.52 tersebut, maka unsur-unsur submatriks
kolom pada Persamaan 3.50 akan bernilai 1 pada baris ke-n–k, bernilai –1 pada baris ke-
k , serta bernilai 0 pada baris-baris selainnya.
Persamaan 3.53
berikut ini
akan memberikan gambaran yang lebih jelas
mengenai hal tersebut.
12
1 1,
1 ,
1
1 baris baris ke-
1 2
1 baris 1
baris ke- - baris
n k n
n k n n k
C k
k n
k n k
k
− − −
− − − −
− −
→ −
= −
− →
Be Be
3.53 Persamaan 3.53 akan memberikan hasil
berikut.
1, 1
, 1
, 1
, 1
n n k
n n k n k n k
k n k −
− − − −
− − −
− −
− =
− Be
Be e
e
3.54 Lalu, karena Persamaan 3.54, Persamaan
3.49 akan menjadi
, 1
, 1
, 1
, 1
3.55
n k n k k n k
k n k n k n k
− − −
− − − −
− − −
= +
− +
− =
UBL B e
e e
e B
Persamaan 3.55 di atas membuktikan bahwa
B dapat difaktorisasi menjadi
= B
UBL .
Untuk menghitung D n , Teorema 2.8
akan diterapkan pada Persamaan 3.55. det
det det
det det
3.56 D n
= =
= B
UBL U
B L
Dari Persamaan 3.32 dan Persamaan
3.34, jelas bahwa matriks U dan matriks L