definisi matriks B pada kasus ini, serta

10 , 2 1, 1 , 1 1 , 2 1, 1 , 1 1 , 2 1, 1 , 1 1 k i n k i n n k n n k i k i n k i n n k n n k i k i n k i n n k n n k i − + − − − − − = − + − − − − − = − + − − − − − = = − + − = − ⋅ + − = − ⋅ + − UBL I e B I e e IB e B I e e B e B I e e 3.37 Perhatikan bahwa menurut Persamaan

3.33, definisi matriks B pada kasus ini, serta

dengan menggunakan Definisi 2.6 dan Definisi 2.7, akan diperoleh 1 , 2 1 , 1 , untuk 1 , untuk , selainnya n k i i i j j n k i i i i i i R i k R R i n k R − + − = − + − − + ≤ ≤ = − = − B e B B e B 3.38 Di lain pihak, dengan menggunakan Teorema 2.2d akan diperoleh , 2 1 2 , untuk 1 3.39 , selainnya k j i n k i i j n k j j R R R j k R − + = − + − ⋅ − ≤ ≤ = B e B B B B Dari Persamaan 3.38 dan Persamaan 3.39, akan diperoleh , 2 1 2 , 1 , untuk 1 , untuk 3.40 , selainnya k j i n k i i j n k j j j j j R R R j k R j n k R − + = − + − − ⋅ − ≤ ≤ = − = − B e B B B B e B Selanjutnya akan dianalisis perilaku 2 j n k j R R − + − B B untuk 1 j k ≤ ≤ . Pertama, akan ditunjukkan bahwa untuk 1 1 j k ≤ ≤ − , berlaku 2 j n k j j R R R − + − = B B B 3.41 Untuk 1 i = , diperoleh 1 2 1 suku 3 1 suku 2 1 suku 2 1 suku 1 suku suku suku 2 suku 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 n k k n k k n k k k k n k k R R − + − − + − − + − − = − = B B suku 1 3.42 R = B Untuk 2 i = , diperoleh 2 2 2 1 suku 3 1 suku 2 suku 2 suku 1 suku 1 suku 1 suku 2 suku 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 n k k n k k n k k k k n k R R − + + − − − + − + − − = − = B B 1 suku 2 1 1 1 3.43 k R − = B dan seterusnya. Untuk 1 i k = − , diperoleh 1 1 3 suku 1 suku 3 1 suku 3 suku 3 suku 1 suku 3 suku 1 s 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 k n k k k n k k n k k k k R R − − − − + − − + − − + − + − = − = B B uku 2 suku 1 1 1 3.44 n k k R − − = B Persamaan 3.42, Persamaan 3.43, dan Persamaan 3.44 diperoleh dengan menggunakan definisi matriks B dan matriks B pada kasus ini sebagaimana telah 11 disebutkan sebelumnya. Ketiga persamaan tersebut juga membuktikan kebenaran dari Persamaan 3.41. Sedangkan untuk i k = , dengan menggu- nakan Persamaan 3.40 akan diperoleh 2 suku 1 suku 3 1 suku 2 suku 2 suku 1 suku 2 suku 1 suk 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 k n k k k n k k n k k n k k R R − − + − − + − − + − − + − = − + B B u 2 suku 1 suku 2 suku 2 suku 1 suku , 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 3.45 k k n k n k k k k k n k R R − + − − − + − − = + = + B e Berdasarkan Persamaan 3.41 dan Persamaan 3.45, maka Persamaan 3.40 akan menjadi , 2 1 , 1 , 1 , untuk , untuk 3.46 , selainnya k j i n k i i j j n j j j j j R R j k R j n k R − + = − − − − ⋅ + = = − = − B e B B e B e B Selanjutnya, Persamaan 3.46 di atas akan menghasilkan , 2 , 1 , 1 1 k i n k i k n k n k n k i − + − − − − − = − ⋅ = + − B e B B e e 3.47 Kemudian, Persamaan 3.47 akan mengaki- batkan Persamaan 3.37 menjadi , 1 , 1 1, 1 , 1 1, 1 , 1 , 1 , 1 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1, 1 , 1 , 1 k n k n k n k n n k n n k n n k n n k k n k k n k n n k k n k n n k n k n k n k n k n n k n k n k n n k − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = + − + − = + − + + − − − + UBL B e e I e e BI Be Be e I e e e e e I e e e e 3.48 Selanjutnya, karena Teorema 2.2a, maka Persamaan 3.48 akan menjadi 1, 1 , 1 , 1 , 1 1, 1 , 1 , 1 , 1 3.49 n n k n n k k n k n k n k n n k n n k k n k n k n k − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = + − + + − − − + = + − + − UBL B Be Be e O O e O O B Be Be e e Tinjau matriks 1, 1 , 1 n n k n n k − − − − − − Be Be . Menurut Teorema 2.2e, matriks tersebut bernilai nol pada selain kolom ke-n–k–1 dan 1 1, 1 , 1 1 n k n n k n n k n n C C C − − − − − − − − − = − Be Be B B 3.50 Dalam hal ini, 1 1 1 baris 1 2 baris 1 1 baris 1 3.51 n k C n k k − − = − + B dan 1 baris 1 2 baris 1 baris 1 3.52 n k C n k k = − B Akibat Persamaan 3.51 dan Persamaan 3.52 tersebut, maka unsur-unsur submatriks kolom pada Persamaan 3.50 akan bernilai 1 pada baris ke-n–k, bernilai –1 pada baris ke- k , serta bernilai 0 pada baris-baris selainnya. Persamaan 3.53 berikut ini akan memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai hal tersebut. 12 1 1, 1 , 1 1 baris baris ke- 1 2 1 baris 1 baris ke- - baris n k n n k n n k C k k n k n k k − − − − − − − − − → − = − − → Be Be 3.53 Persamaan 3.53 akan memberikan hasil berikut. 1, 1 , 1 , 1 , 1 n n k n n k n k n k k n k − − − − − − − − − − − = − Be Be e e 3.54 Lalu, karena Persamaan 3.54, Persamaan 3.49 akan menjadi , 1 , 1 , 1 , 1 3.55 n k n k k n k k n k n k n k − − − − − − − − − − = + − + − = UBL B e e e e B Persamaan 3.55 di atas membuktikan bahwa B dapat difaktorisasi menjadi = B UBL . Untuk menghitung D n , Teorema 2.8 akan diterapkan pada Persamaan 3.55. det det det det det 3.56 D n = = = B UBL U B L Dari Persamaan 3.32 dan Persamaan

3.34, jelas bahwa matriks U dan matriks L