1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Istilah determinan diperkenalkan pertama kali
oleh Gauss
dalam Disquisitiones
Arithmeticae 1801 ketika membahas bentuk
kuadratik. Tapi,
pengertian determinan
menurut sudut
pandang modern
baru diberikan oleh Cauchy pada tahun 1812.
[http:www-groups.dcs.st-and.ac.uk~history HistTopicsMatrices_and_determinants.html]
Evaluasi determinan sebagai sebuah kajian tersendiri
baru dimulai
ketika George
Andrews berhasil memecahkan masalah enumerasi yang sulit pada partisi bidang.
Sampai saat ini sudah banyak metode yang efektif dan praktis untuk mengevaluasi
determinan suatu matriks, di antaranya: reduksi ke dalam matriks segitiga melalui
operasi baris atau kolom , ekspansi Laplace,
determinan Vandermonde , faktorisasi LU,
kondensasi , identifikasi faktor, dan lain-lain.
[Krattenthaler, 1991] Dalam karya ilmiah ini, determinan
matriks A yang unsur-unsurnya didefinisikan
secara rekursif sebagai
, 1,
1 1,
i j i
j i
j
a a
a
− −
−
= +
, akan dievaluasi melalui faktorisasi LB.
Kemudian, beberapa kasus khusus dianalisis dengan memilih unsur-unsur baris dan kolom
pertama matriks tersebut berpadanan dengan suku-suku barisan bilangan bulat tertentu
sebagai syarat awal untuk persamaan rekursif yang diberikan. Semua bahasan itu
direkonstruksi dari
tulisan A.
R. Moghaddamfar
dan kawan-kawan
yang berjudul More calculations on determinant
evaluations .
1.2 Metode dan Sistematika Penulisan
Karya ilmiah
ini disusun
dengan menggunakan metode studi literatur. Adapun
sistematika penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut. Pada bab kedua diberikan
landasan teori yang menjadi tumpuan dasar dalam analisis masalah. Pada bab ketiga
diberikan pembahasan mengenai evaluasi determinan matriks rekursif dan penyelesaian
setiap detail kasus yang ada. Pada bab keempat diberikan kesimpulan dan saran yang
mengakhiri karya ilmiah ini.
1.3 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mengevaluasi determinan suatu matriks
rekursif berukuran n dengan beberapa pilihan unsur pada baris dan kolom pertamanya.
II LANDASAN TEORI
Di dalam bab ini akan dibahas sejumlah definisi dan teorema yang menjadi landasan
untuk pembahasan di bab III, di antaranya: notasi sigma, matriks dan determinan,
persamaan beda, serta teori bilangan.
2.1 Notasi Sigma Teorema 2.1 Sifat-sifat notasi sigma
Misalkan
i
a dan
i
b adalah suku ke-i dari dua barisan dengan n suku, serta k adalah
suatu konstanta, maka
2
a
1 1
n n
i i
i i
ka k
a
= =
= ⋅ b
1 1
1 n
n n
i i
i i
i i
i
a b
a b
= =
=
+ =
+ c
1 1
n p n
i i p
i i
p
a a
+ −
= = +
=
2.2 Matriks dan Determinan Definisi 2.1 Kesamaan dua matriks
Dua buah matriks
, i j
a =
A dan
, i j
b =
B yang masing-masing berukuran
m n × dikatakan sama, notasi:
= A
B , jika
, ,
i j i j
a b
= untuk setiap i dan j.
[Leon, 2001]
Definisi 2.2 Perkalian matriks
Jika
, i j
a =
A adalah matriks m n
× dan
, i j
b =
B adalah matriks
n r × , maka
hasilkali
, i j
c =
AB adalah matriks m n
× yang
unsur-unsurnya didefinisikan
oleh
, ,
, 1
n i j
i k k j
k
c a b
=
=
untuk setiap i dan j.
[Leon, 2001]
Definisi 2.3 Fungsi delta Kronecker
Fungsi delta Kronecker
, i j
δ didefinisikan
sebagai
,
1, jika 0, jika
i j
i j
i j
δ =
= ≠
[Lipschutz et al., 2002]
Definisi 2.4 Matriks identitas
Matriks identitas adalah matriks segi
, i j
δ =
I .
[Leon, 2001]
Definisi 2.5 Matriks nol Matriks nol O
adalah matriks yang semua unsurnya bernilai nol.
[Anton Rorres, 2004]
Definisi 2.6
Matriks
, i j
e adalah matriks segi yang
bernilai 1 pada baris ke-i dan kolom ke-j serta bernilai 0 untuk selainnya.
[Moghaddamfar et al., 2007]
Definisi 2.7
Submatriks baris
dan submatriks kolom
Misalkan A adalah matriks segi berukuran
n . Submatriks baris
i
R A adalah matriks
1 n × yang unsur-unsurnya adalah unsur-
unsur baris ke-i
matriks A. Sedangkan,
submatriks kolom
j
C A adalah matriks
1 n
× yang unsur-unsurnya adalah unsur-unsur
kolom ke-j matriks A.
[Moghaddamfar et al., 2007] Untuk selanjutnya, matriks berukuran n
berarti matriks segi berukuran n.
Teorema 2.2 Misalkan A adalah matriks berukuran n,
maka a
, ,
, ,
i j k l
j k i l
δ =
e e e ,
b
, i j
e A adalah matriks yang unsur-unsur
pada baris ke-i-nya adalah unsur-unsur
baris ke-j matriks A, sedangkan unsur-
unsur baris lainnya bernilai nol, c
, i j
Ae adalah matriks yang unsur-unsur
pada kolom ke-j-nya adalah unsur-unsur
kolom ke-i matriks A, sedangkan unsur-
unsur kolom lainnya bernilai nol,
3
d
, ,
k i j
k i j
R R
δ =
e A A
, e
, ,
k i j
k j i
C C
δ =
Ae A
. [Moghaddamfar et al., 2007]
Bukti:
Lihat Lampiran 1.
Definisi 2.8
Determinan matriks
berukuran 1
Misalkan a
= A
adalah matriks
berukuran 1. Determinan matriks A, notasi: det A atau A , didefinisikan sebagai
det a
= =
A A
. [Leon, 2001]
Definisi 2.9 Ekspansi kofaktor
Misalkan
, i j
a =
A adalah
matriks berukuran n. Minor dari
, i j
a adalah
determinan dari submatriks berukuran 1
n −
yang diperoleh dengan menghilangkan baris
ke-i dan kolom ke-j matriks A, notasi:
, i j
M .
Bilangan
, ,
1
i j
i j i j
C M
+
= − disebut kofaktor
dari
, i j
a . Determinan matriks A didefinisikan
sebagai
, ,
1
det
n i j
i j j
a C
=
= A
untuk suatu 1, 2,
, i
n =
. [Noble, 1969]
Teorema 2.3
Determinan matriks
transpos
Misalkan
T
A adalah transpos dari
matriks A
yang berukuran
n, maka
det det
T
= A
A .
[Leon, 2001]
Bukti:
Lihat [Leon, 2001] halaman 85.
Definisi 2.10 Matriks segitiga dan matriks diagonal
Matriks segi yang semua unsur di atas diagonal utamanya adalah nol disebut matriks
segitiga bawah dan matriks segi yang semua unsur di bawah diagonal utamanya adalah nol
disebut matriks segitiga atas. Suatu matriks, baik segitiga bawah maupun segitiga atas
disebut matriks segitiga. Matriks segi yang semua unsur di atas dan
di bawah diagonal utamanya bernilai nol disebut matriks diagonal.
[Anton Rorres, 2004]
Teorema 2.4 Determinan matriks segitiga dan matriks diagonal
Jika A adalah suatu matriks segitiga atau
matriks diagonal
berukuran n,
maka
determinan A sama dengan hasilkali unsur-
unsur diagonal
utama dari
A,
yaitu:
1,1 2,2 ,
det
n n
a a a
= A
.
[Anton Rorres, 2004]
Teorema 2.5 Misalkan A adalah matriks berukuran n.
Jika A memiliki sebuah baris yang semua
unsurnya nol, maka det =
A .
[Leon, 2001]
Definisi 2.11 Operasi baris elementer Misalkan A adalah matriks dengan baris-
baris
1 2
, ,
,
m
R R R . Operasi-operasi pada A
berikut ini disebut operasi baris elementer. a Mempertukarkan baris
i
R dengan baris
j
R , notasi:
i j
R R
↔ .
4
b Mengganti baris
i
R dengan kelipatan taknol
i
kR dari baris itu sendiri, notasi:
i i
kR R
→ .
c Mengganti baris
j
R dengan jumlah kelipatan
i
kR dari baris
i
R dan baris itu sendiri, notasi:
i j
j
kR R
R +
→ .
[Lipschutz et al., 2002]
Definisi 2.12 Matriks elementer
Suatu matriks yang diperoleh dari matriks
I dengan melakukan suatu operasi baris
elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga
jenis matriks
elementer yang
berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer.
a Matriks elementer jenis I adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan
dua baris dari matriks I.
b Matriks elementer jenis II adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu
baris dari matriks I dengan konstanta
taknol k. c Matriks elementer jenis III adalah matriks
yang diperoleh dari matriks I dengan
menjumlahkan kelipatan suatu baris pada baris yang lain.
[Leon, 2001]
Definisi 2.13 Ekuivalensi baris Matriks B dikatakan ekuivalen baris
dengan matriks A jika terdapat matriks-
matriks elementer
1 2
, ,
,
k
E E E sehingga
1 1
k k
−
= B
E E E A .
[Leon, 2001]
Teorema 2.6
Determinan matriks
elementer Misalkan E adalah matriks elementer
berukuran n, maka
a jika E adalah matriks elementer jenis I,
maka det 1
= − E
,
b jika E adalah matriks elementer jenis II,
maka det k
= E
,
c jika E adalah matriks elementer jenis III,
maka det 1
= E
. [Anton Rorres, 2004]
Lema 2.7 Jika B suatu matriks berukuran n dan E
suatu matriks elementer berukuran n, maka det
det det =
EB E
B .
[Anton Rorres, 2004]
Bukti:
Lihat [Anton Rorres, 2004] halaman 107.
Teorema 2.8 Jika A dan B adalah matriks-matriks
berukuran n, maka det
det det =
AB A
B .
[Anton Rorres, 2004]
Bukti:
Lihat [Anton Rorres, 2004] halaman
108−109.
Definisi 2.14 Matriks blok Matriks A dapat dipartisi menjadi matriks-
matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal di antara
baris-baris dan garis-garis vertikal di antara kolom-kolom. Matriks-matriks yang lebih
kecil tersebut disebut blok. [Leon, 2001]
5
Definisi 2.15 Matriks blok segi Misalkan M adalah sebuah matriks blok.
Matriks M disebut matriks blok segi jika a M adalah sebuah matriks segi,
b blok-bloknya membentuk matriks segi, c blok-blok diagonalnya juga merupakan
matriks-matriks segi. [Lipschutz et al., 2002]
Definisi 2.16 Matriks blok segitiga atas Matriks A adalah matriks blok segitiga
atas jika A adalah matriks blok segi dengan
blok-blok di bawah diagonalnya adalah blok nol.
[Lipschutz et al., 2002]
Teorema 2.9 Determinan matriks blok segitiga atas
Misalkan M adalah matriks blok segitiga
atas dengan
blok-blok diagonal
1 2
, ,
,
n
A A A , maka
1 2
det det
det det
n
= A
A A
A .
[Lipschutz et al., 2002]
Teorema 2.10 Aturan Cramer
Jika =
Ax b adalah suatu sistem dari n
persamaan linear
dengan n
variabel sedemikian rupa sehingga det
≠ A
, maka sistem ini memiliki solusi yang unik.
Solusinya adalah
1 2
1 2
det det
det ,
, ,
det det
det
n n
x x
x =
= =
A A
A A
A A
dengan
j
A adalah matriks yang diperoleh
dengan mengganti unsur-unsur kolom ke-j
dari A dengan unsur-unsur pada matriks b.
[Anton Rorres, 2004]
Bukti:
Lihat [Anton Rorres, 2004] halaman
123−124.
2.3 Persamaan Beda Definisi 2.17
Kategori