IV. PERBANDINGAN KONFIGURASI MATRIKS INTERAKSI: METODE PROCRUSTES
4.1 Pendahuluan
Dua pendekatan dalam menangani ketaknornalan data pada pemodelan bilinier telah dibicarakan pada bab-bab sebelumnya. Bab 2 membicarakan
penggunaan transformasi Box-Cox untuk mengatasi pelanggaran asumsi yaitu ketaknormalan distribusi peubah respon pada AMMI. Sedangkan bab 3
membicarakan model biliner dalam kelas pemodelan linier terampat GAMMI. GAMMI mengakomodir ketaknormalan respon melalui penetapan distribusi
respon dan fungsi hubung yang bersesuaian dengan distribusi peubah respon itu sendiri.
Pendekatan transformasi bagaimanapun menemui kesulitan mana kala transformasi yang diinginkan tidak mudah diperoleh. Tujuan pemodelan statistika
adalah menyediakan interpretasi atas fenomena yang dipelajari, dan menyatakannya dengan bahasa yag sesuai dengan bidang aplikasi. Karenanya,
ada alasan lain untuk tidak melakukan transformasi data. Pada kondisi tertentu kesimpulan yang diperoleh dari data pada skala asal menjadi amat peting karena
mudah dipahami jika diperoleh langsung dari data asal McCullagh Nelder, 1989. Sebaliknya, kesimpulan dari analisis pada data tertrasformasi tidak dapat
secara langsung diterapkan pada data asal. Sementara itu, untuk memahami interpetasi model biliner pada kelas GLM
membutuhkan landasan statistika lebih dalam dan pengetahuan tambahan tentang komputasi. Hal ini mungkin menimbulkan kesulitan lain bagi peneliti bidang
terapan di luar statistika dan matematika .
Perbandingan kedua pendekatan ini perlu dilakukan untuk menilai sejauh mana kedekatan hasil dari kedua pendekatan ini. Tentu saja dengan tetap
memperhatikan kelebihan dan kekurangan masing-masing. Perbandingan ini dapat dilakukan pada matriks interaksi dugaan dari kedua pendekatan. Hal ini
43
sesuai dengan tujuan utama pemodelan bilinier, yaitu memodelkan pengaruh interaksi.
Bab ini bertujuan membandingkan penggunaan pendekatan transformasi kenormalan pada model AMMI dengan pendekatan model GAMMI pada gugus
data yang sama.
4.2 Kesesuaian Dua
Konfigurasi Matriks: Metode Procrustes
Analisis peubah ganda seringkali memberikan koordinat dari segugus titik dalama ruang berdimensi banyak multidimensi. Secara khusus hal ini diperoleh
dari upaya merepresentasi data sebagai jarak antara titik-titik objek dalam ruang multidimensi tersebut. Salah satu diantaranya adalah analisis komponen utama
ataupun biplot yang melibatkan konsep jarak jarak Pitagoras ataupun Mahalanobis didalamnya. Jarak antar titik tidak berubah dengan berubahnya titik
asal origin, tidak pula berubah bila sumbu koordinatnya diputar. Dua figur dalam ruang dimensi r dan masing-masing mewakili n titik
dikatakan kongruen jika keduanya dibedakan oleh suatu transformasi yang kekar. Dua figur, X dan X
, dikatakan mempunyai bentuk yang sama jika keduanya dihubungkan oleh suatu transformasi kesamaan sehingga :
X =
β X Γ + 1
N τ dimana |
Γ | = 1, τrx1 dan β 0 adalah skalar. τ, β,Γ merupakan komponen translasi, skala dan rotasi transformasi kesamaan dari X ke X
. Metode Procrustes Biasa Ordinary Procustes Method bertujuan untuk
membandingkan dua konfigurasi titik yang mewakili n unit pengamatan yang sama. Pada prinsipnya, untuk melihat kesamaan bentuk dan ukuran dari dua
konfigurasi, salah satu konfigurasi dibuat tetap, sementara konfigurasi lainnya ditransformasi sehingga cocok dengan konfigurasi yang pertama Digby
Kempton , 1987. Menurut Digby Kempton 1987 ada tiga tipe transformasi yang
diperlukan : translasi, rotasi sumbu koordinat dan penskalaan yang dilakukan jika kedua konfigurasi mempunyai skala yang tidak sama.
44
Translasi adalah perpindahan paralel dari setiap titik pengamatan ke suatu
titik asal yang baru. Secara aljabar, translasi ini dapat dinyatakan sebagai berikut: X
= XH dengan H matrik translasi, X adalah matriks data dan X
adalah matriks data setelah ditranslasi.
Rotasi adalah perputaran, titik ataupun sumbu koordinat. Pada metode
Procrustes ini, rotasi yang diperbolehkan adalah rotasi sumbu koordinat. Pada dasarnya, rotasi ini adalah penggunaan suatu matriks ortogonal sebagai matriks
transformasi.
Jadi, jika suatu gugus pengamatan X ingin dirotasikan dengan suatu matriks
rotasi
Γ, X = X
Γ, maka matriks Γ tersebut haruslah memenuhi kedua sifat tersebut di atas, atau secara aljabar linear dapat dituliskan sebagai :
ΓΓ = I dan ΓΓ = I Pada metode Procrustes, jenis perpindahan yang dipilih adalah perpindahan
yang dapat meminimumkan jumlah kuadrat jarak antara tititk-titik pada konfigurasi yang dipindahkan terhadap titik-titik yang sesuai pada konfigurasi
yang dibuat tetap Digby Kempton, 1987. Statistik R2 R-kuadrat adalah salah satu ukuran yang digunakan untuk
menggambarkan kesamaan bentuk kedua konfigurasi yang dibandingkan. Nilai ini menunjukkan berapa persen pengamatan pada kedua konfigurasi yang dapat
dianggap sama. Jika nilai ini sama dengan 1 100 , berarti kedua konfigurasi mempunyai bentuk yang sama. Perbedaan yang terdapat sebelum teknik
Procrustes diterapkan hanya disebabkan karena rotasi, translasi atau penskalaan.
Anggaplah kita memiliki dua konfigurasi yaitu A dan R. Konfigurasi A tetap sedangkan konfigurasi R ditransformasi menjadi Z, dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil, ingin didapat,
Γˆ
, dan
β
ˆ yang bisa meminimumkan jumlah kuadrat jarak m
2 AR
titik-titik yang dipindahkan terhadap titik-titik yang sepadan pada konfigurasi yang dibuat tetap. Secara aljabar dituliskan: m
2 AR
= tr
A-Z’ A-Z
Untuk meminimumkan nilai m
2 AR
ini, akan lebih baik kalau kedua matriks A
dan R dipusatkan terlebih dahulu di titik asal. Matriks translasi dugaan dapat
45
diperoleh dengan menyelesaikan persamaan :
~ ~
A A
R R
N
− −
− =
β τ
Γ 1
dengan ~
A dan ~
R adalah matriks data terpusat. Nilai
β dan matriks rotasi Γ diperoleh dengan meminimumkan :
tr AS R
AS R
tr A A tr
R R tr A R
~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
~ ~
− −
= +
− β
β β
β Γ
Γ Γ
Γ Γ
2
2
Misalkan penguraian nilai singular Singular Value Decomposition dari
~ ~
A R
didefinisikan :
~ ~
ULQ R
A =
maka dugaan nilai
β, matriks Γ adalah:
Γ = QU
.
Karena Q dan U adalah matriks ortogonal, maka matriks
Γ
juga merupakan matriks ortogonal, sehingga dapat digunakan sebagai matriks rotasi. Sedangkan
penduga parameter skala adalah : β
~ ~
~ ~
= tr A R
tr R R Γ
Matriks kesalahan adalah simpangan matriks dugaan terbaik Z terhadap matriks target, yaitu matriks A. Matriks kesalahan secara aljabar dapat ditulis dalam
bentuk:
E = A - Z
Dengan demikian, jumlah kuadrat galat ini adalah jumlah kuadrat unsur-unsur pada matriks simpangan. Jumlah Kuadrat Total JKT dan jumlah kuadrat galat
JKG secara aljabar dapat dituliskan :
JKT = tr A’A dan JKG = tr A-Z’ A-Z
Sedangkan R
2
yang merupakan suatu ukuran kesamaan kedua konfigurasi dapat dihitung dengan rumus :
R
2
= 1 - JKGJKT
= 1 - tr A-Z’ A-Ztr A’A
Pembandingan kedua gugus data dilakukan dengan melihat besarnya nilai R
2
. Jika nilai R
2
mendekati nilai 1 100 , berarti dua gugus data yang dibandingkan memiliki kemiripan karakteristik.
46
Dalam GENSTAT, procrustes rotasi orthogonal adalah metoda yang paling umum digunakan, dan disajikan oleh The ROTATION Directive. Anggaplah
bahwa ada dua satuan koordinat untuk n titik dengan r dimensi dalam n×r matriks X dan Y. Gugus X dijadikan acuan yang dianggap tetap, dan konfigurasi Y akan
digeser dan diputar sedemikian sehingga diperoleh kesesuaian terbaik terhadap X. Di sini “terbaik” berarti meminimumkan penjumlahan dari jarak kuadrat
antara titik-titik pada koordinat X dan koordinat “terbaik” setelah digeser dan diputar, titik-titik pada Y. Translasi terbaik pergeseran titik orogin membuat
centroids untuk keduanya koordinat secara bersamaan; ini mudah dilaksanakan dengan translasi kedua-duanya sedemikian sehingga centroids mereka adalah di
titik asal itu. Setelah translasi, dicari rotasi terbaik melalui penguraian nilai singular Lawes Agricultural Trust, 2003.
4.3 Metodologi
Kategori