Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan ke dalam model matematik persamaan linier,
caranya sebagai berikut :
1. Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan feasible maka untuk model program linier diubah menjadi suatu model
yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan artificial variable pada tiap batasan constraint serta memberi harga nol pada setiap
koefisien c-nya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut :
1 Untuk batasan bernotasi ≤ dapat dimodifikasi kepada bentuk persa maan
dengan menambahkan variabel slack ke dalamnya. 2
Untuk batasan bernotasi ≥ dapat dimodifikasi kepada bentuk persamaan dengan mengurangi variabel surplus dan kemudian menambahkan variabel
buatan artificial variable ke dalamnya. 3
Untuk batasan bernotasi = diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan artificial variable ke dalamnya.
Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel
dengan buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimasi maka dibuat – M sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel
buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar Big M Method. Penambahan variabel slack dan variabel buatan artificial variable pada tiap batasan
constraint untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut : Maksimalkan :
Dengan batasan :
0, 0, 0, 0 untuk semua harga i dan j = 0, j = 1, 2, ..., n
= , i = 1, 2, ..., m = , i = m
1 1
2. Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel awal simpleks.
+ 1, ..., m
Tabel 2.2 Bentuk Awal Tabel Simpleks Sebelum Pivoting
C C
j 1
C
r
C …
m
C …
j
C
k
Jawab Basis
Variabel Basis
Harga Basis
X …
B 1
X …
Br
X …
Bm
X …
j
X
k
X C
B 1
1
B 1
… …
… a
…
1j
a
1k
X C
Br Br
… 1
… …
a …
rj
a
rk
X C
Bm Bm
… …
1 …
a …
mj
a
mk
Z
j
- C
j
= imbalan … Z
j
– C …
j
Z
k
– C c
k B
Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut :
Langkah 1 : Mengecek nilai optimal imbalan.
Untuk persoalan maksimal : z
j
– c
j
= minimal { z
j
– c
j
: j R }. Jika z
k
– c
k
0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal. Untuk persoalan minimal z
j
– c
j
= minimal { z
j
– c
j
: j R }. Jika z
k
– c
k
Harga-harga imbalan z 0 maka selesai, berarti jawab atau solusi
sudah optimal.
j
– c
j
Untuk : c
dapat diperoleh dengan rumus :
j
a = Harga dari semua variabel dalam z.
ij
c = Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan.
Bi
= Harga dari variabel basis.
Langkah 2
: Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis. Untuk persoalan maksimalkan jika terdapat beberapa z
j
– c
j
0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z
j
– c
j
terkecil, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang akan masuk ke dalam basis.
Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa z
j
– c
j
0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z
j
– c
j
Jika pada baris z terbesar, dan variabel yang sehubungan
dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk dalam basis.
j
– c
j
terdapat lebih dari satu kolom yang mempunyai nilai negatif yang angkanya terbesar dan sama pada persoalan maksimal atau terdapat lebih
dari satu kolom yang mempunyai nilai positif terbesar dan sama pada persoalan minimal maka terdapat dua kolom yang bisa terpilih menjadi kolom pivot. Untuk
mengatasi hal ini, dapat dipilih salah satu dari z
j
– c
j
secara sembarang.
Langkah 3 : Menentukan variabel yang akan keluar dari basis.
Menetapkan variabel yang keluar dari basis yaitu : = minimum
variabel yang sehubungan dengan baris pivot yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis. Jika terdapat dua baris atau lebih nilai
maka ada beberapa baris yang dapat terpilih sebagai baris pivot. Dapat dipilih baris pivot secara bebas di antara
keduanya dan hasilnya akan sama.
Langkah 4 : Menyusun tabel simpleks baru.
Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat dicari
dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot.
Koefisien-koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
2.12 Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan
rumus sebagai berikut : -
2.13
Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.
Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.
Tabel 2.3 Bentuk Awal Tabel Simpleks Sesudah Pivoting
C C
j 1
C
r
C …
m
C …
j
C
k
Jawab Basis Variabel
Basis Harga
Basis
X …
B 1
X …
Br
X …
Bm
X …
j
X
k
X C
B 1
1
B 1
… …
… …
X C
Br Br
… …
… …
1
X C
Bm Bm
… …
1 …
…
Z
j
- C
j
=
imbalan
c
B
Contoh 2.1 :
Maksimumkan : Z = 8x
1
+ 9x
2
+ 4x Kendala :
x
3 1
+ x
2
+ 2x
3
2x 2
1
+ 3x
2
+ 4x
3
7x 3
1
+ 6x
2
+ 2x
3
x 8
1
, x
2
, x
3
Agar persamaan di atas memenuhi persyaratan penyelesaian dalam daerah kelayakan feasible, maka pada sisi kiri persamaan batasan ditambahkan variabel slack.
Sehingga bentuk bakunya sebagai berikut :
Maksimumkan : Z = 8x
1
+ 9x
2
+ 4x
3
+ 0x
4
+ 0x
5
+ 0x Kendala :
x
6 1
+ x
2
+ 2x
3
+ x
4
2x = 2
1
+ 3x
2
+ 4x
3
+ x
5
7x = 3
1
+ 6x
2
+ 2x
3
+ x
6
x = 8
1
, x
2
, x
3,
x
4
, x
5
, x
6
Model di atas dapat dibawa ke dalam tabel simpleks sebagai berikut :
Tabel 2.4 Tabel Simpleks untuk Solusi Awal Iterasi 0
C 8
j
9 4
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
x
1
x x
2
x
3
x
4
x
5 6
x
4
1 1
2 1
2 x
5
2 3
4 1
3 x
6
7 6
2 1
8 z
j
- c -8
j
-9 -4
Dari tabel 2.4, tampak bahwa penyelesaian opitimal belum dicapai di mana harga z
j
– c
j
terkecil dari tabel 2.4 adalah -9, sehingga variabel yang masuk basis adalah variabel x
2
. Kolom variabel x
2
I menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks I adalah :
min
Diperoleh I =
min
= 1, maka variabel yang akan meninggalkan basis adalah variabel x
5
kemudian digantikan dengan variabel x
2
. Angka kunci elemen pivot yang diperoleh = 3, maka tabel simpleks yang baru adalah :
Tabel 2.5 Tabel Simpleks untuk Solusi yang Baru Iterasi 1
C
j
8 9
4
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
x
1
x x
2
x
3
x
4
x
5 6
x
4
1 1
x
2
9 1
1
x
6
3 -6
-2 1
2 z
j
- c
j
-2 8
3 9
Dari tabel 2.5 tampak bahwa penyelesaian optimal belum tercapai di mana harga z
j
– c
j
terkecil dari tabel di atas adalah -2, sehingga variabel yang masuk basis adalah variabel x
1
. Kolom variabel x
1
menjadi kolom pivot dan perhitungan untuk indeks I adalah :
I
min
Diperoleh I =
min
= 0,67 maka variabel yang akan meninggalkan basis adalah variabel x
6
kemudian digantikan oleh variabel x
1
. Angka kunci elemen pivot yang diperoleh = 3, maka tabel simpleks yang baru adalah :
Tabel 2.6 Tabel Simpleks untuk Solusi Akhir Iterasi 2
Dari tabel 2.6 tidak ada lagi z
j
– c
j
x 0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian
optimal yaitu :
1
x =
= 0,67
2
x =
= 0,56
3
Z = 8 + 9
40 = 80,67 + 90,56 = 5,36 + 5,04 = 10,04 = 0
C
j
8 9
4
Harga Jawab
Variabel Basis
Harga Basis
x
1
x x
2
x
3
x
4
x
5 6
x
4
1
x
2
9 1
x
1
8 1
-2
z
j
- c
j
4
2.2 Teori Himpunan
