Definisi 2.8 Grup
Grup adalah himpunan G yang tertutup dibawah sebuah operasi biner
sehingga aksioma - aksioma di bawah ini terpenuhi :
1. Operasi biner bersifat asosiatif
2. Terdapat sebuah unsur di G sehingga
= = untuk semua G. Unsur
disebut unsur identitas untuk operasi
pada G 3.
Untuk setiap di G, terdapat di G
dengan aturan bahwa =
= . Unsur
adalah invers dari Fraleigh 1994
2.8.1 Sifat Grup
Misalkan G adalah grup. i. Hukum penghapusan berlaku : jika
= atau = maka =
ii. Unsur adalah unsur yang unik pada G
iii. Setiap G memiliki invers yang unik
iv. =
untuk semua G Rotman 2003
Selanjutnya operasi pada G didefinisikan
sebagai operasi perkalian. Definisi 2.9 Pangkat
1. =
. . . . faktor
2. =
. . . faktor
3. =
Rotman 2003
2.9.1 Hukum Eksponen
Misal G grup, , G dan misal ,
adalah bilangan bulat tidak perlu positif . i.
Jika dan komutatif, maka =
ii. =
iii. =
Rotman 2003
Definisi 2.10 Subgrup Misalkan H himpunan bagian dari grup G
yang tertutup di bawah operasi biner. Jika H itu sendiri adalah sebuah grup, maka H adalah
subgrup dari G. Fraleigh 1994
Definisi 2.11 Generator
Himpunan bagian S pada grup G disebut generator bagi G jika setiap unsur di G dapat
ditulis sebagai hasil operasi unsur-unsur S dan inversnya. Dinotasikan dengan G = S,
dikatakan G dibangun oleh S.
Dummit 1991 Berdasarkan definisi di atas, dapat dituliskan,
misal S = { ,
, .... , }, jika
G maka terdapat
, ,
,..., Z
sehingga y = .....
.
Definisi 2.12 Order
Misal G grup, dan G, order
didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil, sedemikian sehingga
= . Dalam
hal ini dikatakan berorder . Jika tidak
terdapat bilangan tersebut, order infinit dan
order dikatakan tak hingga.
Dummit 1991
Teorema 1 Jika
G adalah unsur yang memiliki order , maka
= jika dan hanya jika
kelipatan dari .
Rotman 2003
Te orema 2
Misalkan A adalah himpunan terhingga {1,2,3, . . . ,
}. Himpunan seluruh permutasi A di bawah operasi perkalian permutasi yang
didefinisikan sebagai komposisi fungsi adalah grup simetri dari
suku dan disimbolkan dengan
. Fraleigh 1994
Definisi 2.13 Homorfisma Grup
Sebuah fungsi ϕ dari grup G ke grup G’
adalah homomorfisma jika ϕ = ϕ ϕ ,
untuk setiap , G.
Fraleigh 1994
III PEMBAHASAN
Karya ilmiah
ini akan
membahas pembuktian adanya homomorfisma grup dari
grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri S
96
. Terlebih dulu akan dijelaskan bagian-bagian rubik dan pergerakannya.
3.1 Bagian-Bagian Rubik Revenge
