= jika dan hanya jika
= ;
, P. Akibatnya,
= =
= =
= =
= =
Sehingga, =
= . Unsur invers dari
. Contoh
Invers dari pergerakan adalah
. Dari pembuktian i, ii, iii, iv dapat
disimpulkan bahwa himpunan H di bawah operasi
merupakan sebuah grup. Sehingga terbukti bahwa himpunan H adalah sebuah
grup pergerakan rubik dengan operasi sebagai operasi grup.
3.3.1 Order dan Generator
Himpunan H bersifat infinit karena banyaknya pergerakan rubik tidak terbatas.
Himpunan S = { ,
} merupakan himpunan bagian dari H.
Akan dibuktikan setiap unsur pada himpunan S berorder 4. Misal
S, order adalah
, jika adalah bilangan bulat positif minimal sehingga
= e.
Bukti :
Ambil sebarang unsur S, misal . Ambil
P sehingga =
. Definisi adalah pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam.
Jika pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam dilakukan sebanyak dua kali maka sama dengan pergerakan
terhadap sejauh 180
searah jarum jam. Jika pergerakan
sejauh 90 terhadap
searah jarum jam dilakukan sebanyak tiga kali maka sama dengan pergerakan
terhadap sejauh 270
searah jarum jam. Jika pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak empat
kali maka sama dengan pergerakan
terhadap sejauh 360
searah jarum jam dikenakan terhadap
. Jika =
= a = maka
4
= .
Sehingga, dapat dibuktikan bahwa empat merupakan
bilangan terkecil
yang mengakibatkan
+4
= = . Oleh sebab itu dapat disimpulkan,
= 4, dimana adalah setiap unsur di S .
Teorema 1 berlaku dengan penjelasan sebagai berikut.
Jika pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam dilakukan sebanyak lima kali
+5
maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam .
Jika pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam dilakukan sebanyak enam kali
+6
maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90
searah jaum jam dilakukan sebanyak dua kali
2
. Jika pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak tujuh
kali
+7
maka sama dengan pergerakan terhadap
sejauh 90 searah jarum jam
dilakukan sebanyak tiga kali
+3
. Jika pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak delapan
kali
+8
maka sama dengan pergerakan terhadap
sejauh 90 searah jarum jam
+4
= . Posisi rubik
akan kembali pada posisi awal
setelah mengalami
delapan kali
pergerakan . Hal ini juga berlaku ketika
pergerakan dilakukan sebanyak 4, 8, 12, 16,
... . Maka,
4
=
8
=
12
=
16
= ... = .
Ilustrasi yang akan menunjukkan bahwa p
osisi rubik akan kembali pada posisi awal setelah mengalami empat kali pergerakan
yang sama dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa S
merupakan generator bagi H. Himpunan S disebut generator jika elemen pada H dapat
ditulis sebagai hasil dari operasi elemen pada himpunan S.
Bukti : S ={
, }. Sebelumnya
akan dijelaskan pergerakan rubik yang akan menghasilkan posisi yang sama. Misal, a
H, pergerakan
sama dengan pergerakan ,
pergerakan sama dengan pergerakan
, pergerakan
sama dengan pergerakan ,
pergerakan sama dengan pergerakan
. Sehingga, pergerakan rubik yang menjadi
