Order dan Generator Grup Pergerakan Rubik Revenge

k ombinasi dari merupakan pergerakan 90 searah jarum jam + yang dapat dilakukan sebanyak 1, 2, 3 atau 4 kali. Dengan kata lain, dapat ditunjukkan bahwa unsur-unsur pergerakan pada himpunan H dapat ditulis sebagai hasil dari operasi unsur-unsur pada himpunan S. Jadi, terdapat , , ... , sehingga = ... dengan H. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa elemen-elemen pada himpunan S dapat dikatakan sebagai generator atau pembangkit dari grup H dimana operasi yang diberikan pada himpunan S adalah operasi pada grup H. Berikut akan diberikan contoh bahwa elemen pada H dapat ditulis sebagai hasil dari operasi elemen pada himpunan S . Terdapat komposisi pergerakan L -6 , dengan L -6 = +2 + +4 -6 = +2 + +4 +2 = +2 U + D +4 L +2 sehingga pergerakan tersebut dapat dibangun oleh S. Demikian juga dengan unsur-unsur lainnya. 3.4 Grup Permutasi dan Grup Simetri S 96 Rubik revenge disusun oleh 56 cubinos. Setiap sisi cubinos diberi label dari angka 1 sampai 96 seperti pada Lampiran 3. Angka 1 sampai 96 pada sisi cubinos ini akan membentuk sebuah himpunan M. Misal himpunan M = {1, 2, 3, 4, ... , 96}. Permutasi dari M adalah fungsi bijektif dari M ke M. Beberapa contoh pemetaan bijektif dari M ke M dapat dilihat pada Lamipran 4. Himpunan M adalah himpunan tak kosong dan S M = { , , , … } adalah himpunan semua permutasi – permutasi dari M. Akan dibuktikan S M dengan operasi yang didefinisikan sebagai untuk setiap , S M dan M, berlaku ∘ = adalah grup. Bukti : Komposisi dua fungsi bijektif dari M ke M juga merupakan fungsi bijektif dari M ke M akibatnya perkalian permutasi merupakan operasi biner sehingga S M tertutup di bawah operasi perkalian permutasi. Akan dibuktikan perkalian permutasi memiliki sifat asosiatif . Fungsi memiliki sifat asosiatif jika ∘ = ∘ . Ambil , , S M dan M sehingga ∘ = ∘ = ∘ = ∘ = oleh sebab itu terbukti bahwa ∘ = ∘ . Akan dibuktikan terdapat sebuah unsur identitas yaitu permutasi dengan = , M. Sehingga, ∘ = ∘ = . Ambil S M maka ∘ = = ∘ = = oleh sebab itu, terbukti bahwa ∘ = ∘ = . Akan dibuktikan jika S M maka invers dari adalah yaitu permutasi yang didefinisikan -1 = jika dan hanya jika = , , M. Ada S M , , M ; maka ∘ = = = = ∘ = = = = Sehingga, ∘ = ∘ = . Dari urian diatas terbukti bahwa S M adalah grup di bawah operasi perkalian permutasi. Dalam grup S m , fungsi adalah unsur identitas berupa permutasi rotasi 0 . Invers dari permutasi r otasi 90 adalah permutasi r otasi 270 . Contoh = , = , dan = Invers dari permutasi rotasi 180 adalah permutasi r otasi 180 . Contoh = , = , dan = . Invers dari permutasi r otasi 270 adalah permutasi r otasi 90 . Contoh = , = dan = . Berdasarkan Teorema 2, grup S M adalah grup simetrik yang dinotasikan dengan S 96 .

3.5 Homomorfisma Grup Rubik Revenge

Grup H adalah grup pergerakan rubik dengan operasi yang didefinisikan sebagai : untuk setiap , H berlaku = , P. Grup permutasi simetri S 96 adalah grup dengan operasi ∘ yang didefinisikan sebagai perkalian permutasi yaitu untuk setiap , S 96 berlaku ∘ = , M. Didefinisikan : H → S 96 dengan = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ Dengan , , , , , , , , , , , dapat dilihat pada Lampiran 4. Akan dibuktikan adalah h omomorfisma grup dari H ke S 96 . Bukti : Ambil sebarang , H. Akan ditunjukkan = ∘ . Himpunan S = { , , , , , , , , , , , } adalah generat or dari grup H maka = dengan a i , i = 1, 2, …, 12, dan = dengan b i , i = 1, 2, … , 12. Dari definisi dan diatas maka θ = θ = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ θ = θ = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ Terlebih dulu akan dibuktikan = = = Sehingga terbukti bahwa = Selanjutnyan akan dibuktikan = ∘ . Dari definisi dan diatas maka = = = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ... i ∘ = ∘ = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ... ii Dari i dan ii dapat dibuktikan bahwa = ∘ . Sehingga, terbukti bahwa adalah homomorfisma grup H → S 96. Berikut akan diberikan c ontoh bahwa adalah h omomorfisma grup dari H ke S 96 . C ontoh. Akan ditunjukkan = ∘ dengan = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ . = 3 = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 3 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 3 ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ = ∘ 3