Order dan Generator Grup Pergerakan Rubik Revenge
k ombinasi dari
merupakan pergerakan 90 searah jarum jam + yang dapat dilakukan
sebanyak 1, 2, 3 atau 4 kali. Dengan kata lain, dapat ditunjukkan
bahwa unsur-unsur
pergerakan pada
himpunan H dapat ditulis sebagai hasil dari operasi unsur-unsur pada himpunan S. Jadi,
terdapat
,
, ... , sehingga
= ...
dengan H.
Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa elemen-elemen pada himpunan S dapat
dikatakan sebagai generator atau pembangkit dari grup H dimana operasi yang diberikan
pada himpunan S adalah operasi pada grup H.
Berikut akan diberikan contoh bahwa elemen pada H dapat ditulis sebagai hasil dari
operasi elemen pada himpunan S . Terdapat
komposisi pergerakan
L
-6
, dengan
L
-6
=
+2 +
+4 -6
=
+2 +
+4 +2
=
+2
U
+
D
+4
L
+2
sehingga pergerakan tersebut dapat dibangun oleh S. Demikian juga dengan unsur-unsur
lainnya. 3.4 Grup Permutasi dan Grup Simetri S
96
Rubik revenge disusun oleh 56 cubinos.
Setiap sisi cubinos diberi label dari angka 1 sampai 96 seperti pada Lampiran 3. Angka 1
sampai 96 pada sisi cubinos ini akan membentuk sebuah himpunan M.
Misal himpunan M = {1, 2, 3, 4, ... , 96}. Permutasi dari M adalah fungsi bijektif dari M
ke M. Beberapa contoh pemetaan bijektif dari M ke M dapat dilihat pada Lamipran 4.
Himpunan M adalah himpunan tak kosong dan S
M
= {
, ,
,
…
} adalah himpunan semua permutasi
– permutasi dari M.
Akan dibuktikan S
M
dengan operasi yang didefinisikan sebagai untuk setiap
,
S
M
dan M, berlaku
∘ =
adalah grup. Bukti :
Komposisi dua fungsi bijektif dari M ke M juga merupakan fungsi bijektif dari M ke M
akibatnya perkalian permutasi merupakan operasi biner sehingga S
M
tertutup di bawah operasi perkalian permutasi.
Akan dibuktikan perkalian permutasi memiliki sifat asosiatif . Fungsi
memiliki sifat asosiatif jika ∘
= ∘
. Ambil ,
,
S
M
dan M sehingga
∘ =
∘ =
∘ =
∘ =
oleh sebab itu terbukti bahwa ∘
= ∘
. Akan dibuktikan terdapat sebuah unsur
identitas yaitu permutasi dengan
= , M. Sehingga,
∘ =
∘ =
. Ambil S
M
maka ∘
= =
∘ =
= oleh sebab itu, terbukti bahwa
∘ =
∘ =
. Akan dibuktikan jika
S
M
maka invers dari
adalah yaitu permutasi
yang didefinisikan
-1
= jika dan hanya jika
= , , M. Ada
S
M
, ,
M ; maka ∘
= =
= =
∘ =
= =
= Sehingga,
∘ =
∘ =
. Dari urian diatas terbukti bahwa S
M
adalah grup di bawah operasi perkalian permutasi.
Dalam grup S
m
, fungsi adalah unsur
identitas berupa permutasi rotasi 0 . Invers
dari permutasi r otasi 90
adalah permutasi r
otasi 270 . Contoh
= ,
= ,
dan =
Invers dari permutasi rotasi 180
adalah permutasi r otasi 180
. Contoh =
, =
, dan =
. Invers dari permutasi r
otasi 270 adalah
permutasi r otasi 90
. Contoh =
, =
dan =
. Berdasarkan Teorema 2, grup S
M
adalah grup simetrik yang dinotasikan dengan S
96
.