Latar Belakang Bagian-Bagian Rubik Revenge

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Rubik adalah permainan berbentuk kubus yang ditemukan oleh seorang pemahat dan arsitek asal Hungaria pada tahun 1974 bernama Ern o Rubik. Pada awal diciptakannya, rubik dibuat dalam bentuk kubus berukuran 3 x 3 x 3 yang lebih dikenal dengan rubic cube. Rubik memiliki enam sisi dan tersusun atas kubus kecil berukuran 1 x 1 x 1 atau cubinos. Setiap sisi memiliki warna yang berbeda. Masing – masing sisi rubik dapat diputar secara h orizontal maupun vertikal dengan arah searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Pada perkembangannya, rubik berbentuk kubus dibuat dengan ukuran yang lebih beragam, seperti rubik berukuran 2 x 2 x 2 yang memiliki 4 persegi disetiap sisinya dan 4 x 4 x 4 yang memiliki 16 persegi di setiap sisinya. Permainan rubik ini merupakan permainan sejenis puzzle. Setiap pemain harus berusaha merapihkan p osisi rubik yang telah di acak kembali pada p osisi rapih, yaitu posisi dimana setiap sisi yang memiliki warna yang sama berkumpul menjadi satu. Karya ilmiah ini dikonstruksikan dari jurnal yang dituliskan oleh Mogens Esrom Larsen 1985 berjudul “Rubik’s Revenge : The Gr oup Theoretical Solution ”. Dalam karya ilmiah ini, tidak dif okuskan pada solusi penyelesaian rubik, melainkan pada adanya h omomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri S 96 pada rubik 4 x 4 x 4 atau yang dikenal dengan rubik revenge.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan adanya homomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri pada rubik revenge. Dengan sebelumnya akan dibuktikan bahwa himpunan pergerakan rubik adalah grup. Kemudian dilanjutkan dengan pembuktian bahwa himpunan M yang berisi label berupa angka 1 sampai 96 pada sisi cubinos adalah grup permutasi simetri . II LANDASAN TEORI Pada bab ini dijelaskan beberapa definisi serta teorema yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Definisi 2.1 Fungsi Fungsi adalah aturan yang memadankan setiap elemen dalam himpunan A secara tepat satu elemen ke himpunan B yang disebut . Stewart 2001 Definisi 2.2 Fungsi injektif Fungsi : A → B adalah fungsi injektif atau one to one jika = mengakibatkan = . Fraleigh 1994 Definisi 2.3 Fungsi Surjektif Fungsi : A → B adalah fungsi surjektif atau onto jika untuk setiap B, terdapat A sehingga = . Fraleigh 1994 Definisi 2.4 Fungsi Bijektif Fungsi adalah bijektif jika fungsi tersebut injektif dan surjektif. R otman 2003 Definisi 2.5 Permutasi Permutasi dari himpunan A adalah fungsi bijektif dari himpunan A ke himpunan A. Rotman 2003 Definisi 2.6 Operasi Biner Operasi biner pada sebuah himpunan S adalah sebuah aturan yang membawa setiap pasangan , S X S ke tepat satu unsur di himpunan S. Fraleigh 1994 Definisi 2.7 Asosiatif Operasi biner pada himpunan S bersifat asosiatif jika = untuk setiap , , S. Fraleigh 1994 Definisi 2.8 Grup Grup adalah himpunan G yang tertutup dibawah sebuah operasi biner sehingga aksioma - aksioma di bawah ini terpenuhi : 1. Operasi biner bersifat asosiatif 2. Terdapat sebuah unsur di G sehingga = = untuk semua G. Unsur disebut unsur identitas untuk operasi pada G 3. Untuk setiap di G, terdapat di G dengan aturan bahwa = = . Unsur adalah invers dari Fraleigh 1994

2.8.1 Sifat Grup

Misalkan G adalah grup. i. Hukum penghapusan berlaku : jika = atau = maka = ii. Unsur adalah unsur yang unik pada G iii. Setiap G memiliki invers yang unik iv. = untuk semua G Rotman 2003 Selanjutnya operasi pada G didefinisikan sebagai operasi perkalian. Definisi 2.9 Pangkat 1. = . . . . faktor 2. = . . . faktor 3. = Rotman 2003

2.9.1 Hukum Eksponen

Misal G grup, , G dan misal , adalah bilangan bulat tidak perlu positif . i. Jika dan komutatif, maka = ii. = iii. = Rotman 2003 Definisi 2.10 Subgrup Misalkan H himpunan bagian dari grup G yang tertutup di bawah operasi biner. Jika H itu sendiri adalah sebuah grup, maka H adalah subgrup dari G. Fraleigh 1994 Definisi 2.11 Generator Himpunan bagian S pada grup G disebut generator bagi G jika setiap unsur di G dapat ditulis sebagai hasil operasi unsur-unsur S dan inversnya. Dinotasikan dengan G = S, dikatakan G dibangun oleh S. Dummit 1991 Berdasarkan definisi di atas, dapat dituliskan, misal S = { , , .... , }, jika G maka terdapat , , ,..., Z sehingga y = ..... . Definisi 2.12 Order Misal G grup, dan G, order didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil, sedemikian sehingga = . Dalam hal ini dikatakan berorder . Jika tidak terdapat bilangan tersebut, order infinit dan order dikatakan tak hingga. Dummit 1991 Teorema 1 Jika G adalah unsur yang memiliki order , maka = jika dan hanya jika kelipatan dari . Rotman 2003 Te orema 2 Misalkan A adalah himpunan terhingga {1,2,3, . . . , }. Himpunan seluruh permutasi A di bawah operasi perkalian permutasi yang didefinisikan sebagai komposisi fungsi adalah grup simetri dari suku dan disimbolkan dengan . Fraleigh 1994 Definisi 2.13 Homorfisma Grup Sebuah fungsi ϕ dari grup G ke grup G’ adalah homomorfisma jika ϕ = ϕ ϕ , untuk setiap , G. Fraleigh 1994 III PEMBAHASAN Karya ilmiah ini akan membahas pembuktian adanya homomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri S 96 . Terlebih dulu akan dijelaskan bagian-bagian rubik dan pergerakannya.

3.1 Bagian-Bagian Rubik Revenge

Rubik revenge adalah rubik berukuran 4 x 4 x 4, memiliki 16 kotak kecil pada setiap sisinya. Keenam belas kotak tersebut diberi warna yang sama, sehingga satu buah rubik revenge memiliki enam warna yang berbeda. Sisi tepat di belakang sisi depan Sisi tepat di depan sisi belakang Sisi tepat di bawah sisi atas Sisi tepat di kanan sisi kiri Sisi tepat di kiri sisi kanan Sisi tepat di atas sisi bawah Rubik memiliki 6 sisi. Pada umumnya setiap sisi rubik diberi nama dengan Front untuk sisi rubik bagian depan, Back untuk sisi rubik bagian belakang, Right untuk sisi rubik bagian kanan, Left untuk sisi rubik bagain kiri, Up untuk sisi rubik bagian atas dan Down untuk sisi rubik bagian bawah. Gambar 1 Bagian luar sisi rubik revenge Berbeda dengan rubik 3 x 3 x 3, rubik revenge memiliki enam sisi bagian dalam. Keenam sisi bagian dalam tersebut dinotasikan dengan untuk sisi tepat di belakang sisi depan, untuk sisi tepat di depan sisi belakang, untuk sisi tepat di bawah sisi atas, untuk sisi tepat di atas sisi bawah, untuk sisi tepat disamping kiri sisi kanan, untuk sisi tepat disamping kanan sisi kiri. Gambar 2 Bagian dalam sisi rubik revenge Rubik revenge disusun oleh 56 cubinos berupa kubus berukuran 1 1 1. Cubinos pada rubik revenge terbagi menjadi tiga jenis, yaitu 8 corner-cubinos, 24 edge-cubinos, dan 24 center-cubinos. sisi kiri sisi kanan sisi atas sisi bawah sisi depan sisi belakang Gambar 3 Bagian-bagian cubinos rubik revenge

3.2 Pergerakan Rubik Revenge

Sisi rubik dapat diputar secara horizontal maupun vertikal. Perputaran sisi rubik tersebut selanjutnya disebut sebagai pergerakan. Pergerakan yang terjadi pada sisi rubik dapat terbagi atas pergerakan searah jarum jam sejauh 90 yang dinotasikan dengan + dan pergerakan berlawanan dengan arah jarum jam sejauh 90 yang dinotasikan dengan -. Notasi arah pergerakan mengikuti sisi rubik yang mengalami pergerakan. Misal, didefinisikan sebagai pergerakan sisi depan rubik sejauh 90 searah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi tepat dibawah sisi atas sejauh 90 berlawanan dengan arah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi bawah sejauh 90 sebanyak dua kali searah jarum jam. Pergerakan ini pada umumnya disimbolkan dengan 2 dan arah pergerakan tidak memiliki pengaruh karena akan menghasilkan posisi yang sama. didefinisikan sebagai pergerakan sisi depan rubik sejauh 90 sebanyak tiga kali searah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi bawah rubik sejauh 90 sebanyak empat kali berlawanan arah jarum jam. Secara umum pergerakan rubik dapat dinotasikan dengan dimana adalah sisi rubik dan . didefiniskan sebagai pergerakan sisi sejauh 90 sebanyak kali searah jarum jam jika 0 atau berlawanan arah jarum jam jika 0. Untuk = 0, didefinisikan sebagai sisi tidak mengalami pergerakan atau dapat dinotasikan dengan . Setiap posisi rubik, baik posisi sebelum mengalami pergerakan maupun setelah mengalami pergerakan akan membentuk sebuah himpunan yang dinotasikan dengan P. Sehingga, pergerakan rubik dapat didefinisikan sebagai fungsi : P → P. Ilustrasi untuk menggambarkan pergerakan rubik dapat dilihat pada Lampiran 1. Himpunan pergerakan rubik, H = { , , , , , , , , , , , , , , , ,...}. Himpunan pergerakan rubik ini bersifat infinit.

3.3 Grup Pergerakan Rubik Revenge

Didefinisikan operasi pada himpunan pergerakan H yaitu untuk setiap , H dan posisi rubik maka berlaku : = yang dapat diartikan sebagai pergerakan dilakukan terhadap kemudian dilanjutkan dengan pergerakan terhadap . Akan dibuktikan H dengan operasi membentuk suatu grup. Bukti : Misal , , H dan P. i = = Pergerakan rubik didefinisikan sebagai fungsi dengan domain himpunan posisi rubik P yang unik sehingga H tertutup di bawah operasi . ii = = = Jadi, sifat assosiatif berlaku = . iii Akan dibuktikan ada unsur identitas H untuk pada H sehingga berlaku = = , untuk setiap G. Unsur identitas didefinisikan dengan = . = = = = . Dapat disimpulkan = = . Sehingga, dapat dibuktikan ada unsur identitas H. iv Akan dibuktikan untuk setiap H. Unsur didefinisikan sebagai pergerakan sisi rubik yang berlawanan arah dengan pergerakan dengan Edge-cubinos Center-cubinos Corner-cubinos = jika dan hanya jika = ; , P. Akibatnya, = = = = = = = = Sehingga, = = . Unsur invers dari . Contoh Invers dari pergerakan adalah . Dari pembuktian i, ii, iii, iv dapat disimpulkan bahwa himpunan H di bawah operasi merupakan sebuah grup. Sehingga terbukti bahwa himpunan H adalah sebuah grup pergerakan rubik dengan operasi sebagai operasi grup.

3.3.1 Order dan Generator

Himpunan H bersifat infinit karena banyaknya pergerakan rubik tidak terbatas. Himpunan S = { , } merupakan himpunan bagian dari H. Akan dibuktikan setiap unsur pada himpunan S berorder 4. Misal S, order adalah , jika adalah bilangan bulat positif minimal sehingga = e. Bukti : Ambil sebarang unsur S, misal . Ambil P sehingga = . Definisi adalah pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam. Jika pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak dua kali maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 180 searah jarum jam. Jika pergerakan sejauh 90 terhadap searah jarum jam dilakukan sebanyak tiga kali maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 270 searah jarum jam. Jika pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak empat kali maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 360 searah jarum jam dikenakan terhadap . Jika = = a = maka 4 = . Sehingga, dapat dibuktikan bahwa empat merupakan bilangan terkecil yang mengakibatkan +4 = = . Oleh sebab itu dapat disimpulkan, = 4, dimana adalah setiap unsur di S . Teorema 1 berlaku dengan penjelasan sebagai berikut. Jika pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak lima kali +5 maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam . Jika pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak enam kali +6 maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 searah jaum jam dilakukan sebanyak dua kali 2 . Jika pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak tujuh kali +7 maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak tiga kali +3 . Jika pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak delapan kali +8 maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90 searah jarum jam +4 = . Posisi rubik akan kembali pada posisi awal setelah mengalami delapan kali pergerakan . Hal ini juga berlaku ketika pergerakan dilakukan sebanyak 4, 8, 12, 16, ... . Maka, 4 = 8 = 12 = 16 = ... = . Ilustrasi yang akan menunjukkan bahwa p osisi rubik akan kembali pada posisi awal setelah mengalami empat kali pergerakan yang sama dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa S merupakan generator bagi H. Himpunan S disebut generator jika elemen pada H dapat ditulis sebagai hasil dari operasi elemen pada himpunan S. Bukti : S ={ , }. Sebelumnya akan dijelaskan pergerakan rubik yang akan menghasilkan posisi yang sama. Misal, a H, pergerakan sama dengan pergerakan , pergerakan sama dengan pergerakan , pergerakan sama dengan pergerakan , pergerakan sama dengan pergerakan . Sehingga, pergerakan rubik yang menjadi