I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Rubik adalah permainan berbentuk kubus yang ditemukan
oleh seorang pemahat dan arsitek asal Hungaria pada tahun 1974
bernama Ern
o Rubik.
Pada awal
diciptakannya, rubik dibuat dalam bentuk kubus berukuran 3 x 3 x 3 yang lebih dikenal
dengan rubic cube. Rubik memiliki enam sisi dan tersusun atas kubus kecil berukuran
1 x 1 x 1 atau cubinos. Setiap sisi memiliki warna yang berbeda. Masing
– masing sisi rubik dapat diputar secara h
orizontal maupun vertikal dengan arah searah jarum jam atau
berlawanan arah jarum jam. Pada perkembangannya, rubik berbentuk
kubus dibuat dengan ukuran yang lebih beragam, seperti rubik berukuran 2 x 2 x 2
yang memiliki 4 persegi disetiap sisinya dan 4 x 4 x 4 yang memiliki 16 persegi di setiap
sisinya.
Permainan rubik ini merupakan permainan sejenis puzzle. Setiap pemain harus berusaha
merapihkan p osisi rubik yang telah di acak
kembali pada p osisi rapih, yaitu posisi dimana
setiap sisi yang memiliki warna yang sama berkumpul menjadi satu.
Karya ilmiah ini dikonstruksikan dari jurnal yang dituliskan oleh Mogens Esrom
Larsen 1985 berjudul “Rubik’s Revenge :
The Gr oup Theoretical Solution
”. Dalam karya ilmiah ini, tidak dif
okuskan pada solusi penyelesaian rubik, melainkan pada adanya
h omomorfisma grup dari grup pergerakan
rubik ke grup permutasi simetri S
96
pada rubik 4 x 4 x 4 atau yang dikenal dengan rubik
revenge.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan adanya homomorfisma grup
dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri
pada rubik revenge. Dengan sebelumnya
akan dibuktikan
bahwa himpunan pergerakan rubik adalah grup.
Kemudian dilanjutkan dengan pembuktian bahwa himpunan M yang berisi label berupa
angka 1 sampai 96 pada sisi cubinos adalah grup permutasi simetri
.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan beberapa definisi serta
teorema yang
digunakan dalam
penyusunan karya ilmiah ini. Definisi 2.1 Fungsi
Fungsi adalah aturan yang
memadankan setiap
elemen dalam
himpunan A secara tepat satu elemen ke himpunan B yang disebut
. Stewart 2001
Definisi 2.2 Fungsi injektif
Fungsi : A → B adalah fungsi injektif
atau one to one jika =
mengakibatkan =
. Fraleigh 1994
Definisi 2.3 Fungsi Surjektif
Fungsi : A → B adalah fungsi surjektif
atau onto jika untuk setiap B, terdapat
A sehingga = .
Fraleigh 1994
Definisi 2.4 Fungsi Bijektif
Fungsi adalah bijektif jika
fungsi tersebut injektif dan surjektif. R
otman 2003
Definisi 2.5 Permutasi
Permutasi dari himpunan A adalah fungsi bijektif dari himpunan A ke himpunan A.
Rotman 2003 Definisi 2.6 Operasi Biner
Operasi biner pada sebuah himpunan S
adalah sebuah aturan yang membawa setiap pasangan
, S X S ke tepat satu unsur di himpunan S.
Fraleigh 1994
Definisi 2.7 Asosiatif
Operasi biner pada himpunan S bersifat asosiatif jika
= untuk
setiap , , S.
Fraleigh 1994
Definisi 2.8 Grup
Grup adalah himpunan G yang tertutup dibawah sebuah operasi biner
sehingga aksioma - aksioma di bawah ini terpenuhi :
1. Operasi biner bersifat asosiatif
2. Terdapat sebuah unsur di G sehingga
= = untuk semua G. Unsur
disebut unsur identitas untuk operasi
pada G 3.
Untuk setiap di G, terdapat di G
dengan aturan bahwa =
= . Unsur
adalah invers dari Fraleigh 1994
2.8.1 Sifat Grup
Misalkan G adalah grup. i. Hukum penghapusan berlaku : jika
= atau = maka =
ii. Unsur adalah unsur yang unik pada G
iii. Setiap G memiliki invers yang unik
iv. =
untuk semua G Rotman 2003
Selanjutnya operasi pada G didefinisikan
sebagai operasi perkalian. Definisi 2.9 Pangkat
1. =
. . . . faktor
2. =
. . . faktor
3. =
Rotman 2003
2.9.1 Hukum Eksponen
Misal G grup, , G dan misal ,
adalah bilangan bulat tidak perlu positif . i.
Jika dan komutatif, maka =
ii. =
iii. =
Rotman 2003
Definisi 2.10 Subgrup Misalkan H himpunan bagian dari grup G
yang tertutup di bawah operasi biner. Jika H itu sendiri adalah sebuah grup, maka H adalah
subgrup dari G. Fraleigh 1994
Definisi 2.11 Generator
Himpunan bagian S pada grup G disebut generator bagi G jika setiap unsur di G dapat
ditulis sebagai hasil operasi unsur-unsur S dan inversnya. Dinotasikan dengan G = S,
dikatakan G dibangun oleh S.
Dummit 1991 Berdasarkan definisi di atas, dapat dituliskan,
misal S = { ,
, .... , }, jika
G maka terdapat
, ,
,..., Z
sehingga y = .....
.
Definisi 2.12 Order
Misal G grup, dan G, order
didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil, sedemikian sehingga
= . Dalam
hal ini dikatakan berorder . Jika tidak
terdapat bilangan tersebut, order infinit dan
order dikatakan tak hingga.
Dummit 1991
Teorema 1 Jika
G adalah unsur yang memiliki order , maka
= jika dan hanya jika
kelipatan dari .
Rotman 2003
Te orema 2
Misalkan A adalah himpunan terhingga {1,2,3, . . . ,
}. Himpunan seluruh permutasi A di bawah operasi perkalian permutasi yang
didefinisikan sebagai komposisi fungsi adalah grup simetri dari
suku dan disimbolkan dengan
. Fraleigh 1994
Definisi 2.13 Homorfisma Grup
Sebuah fungsi ϕ dari grup G ke grup G’
adalah homomorfisma jika ϕ = ϕ ϕ ,
untuk setiap , G.
Fraleigh 1994
III PEMBAHASAN
Karya ilmiah
ini akan
membahas pembuktian adanya homomorfisma grup dari
grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri S
96
. Terlebih dulu akan dijelaskan bagian-bagian rubik dan pergerakannya.
3.1 Bagian-Bagian Rubik Revenge
Rubik revenge adalah rubik berukuran 4 x 4 x 4, memiliki 16 kotak kecil pada setiap
sisinya. Keenam belas kotak tersebut diberi warna yang sama, sehingga satu buah rubik
revenge memiliki enam warna yang berbeda.
Sisi tepat di belakang sisi
depan Sisi tepat di
depan sisi belakang
Sisi tepat di bawah sisi
atas
Sisi tepat di kanan sisi
kiri Sisi tepat di
kiri sisi kanan
Sisi tepat di atas sisi
bawah
Rubik memiliki 6 sisi. Pada umumnya setiap sisi rubik diberi nama dengan Front
untuk sisi rubik bagian depan, Back untuk sisi rubik bagian belakang, Right
untuk sisi rubik bagian kanan, Left untuk
sisi rubik bagain kiri, Up untuk sisi rubik
bagian atas dan Down untuk sisi rubik
bagian bawah.
Gambar 1 Bagian luar sisi rubik revenge Berbeda dengan rubik 3 x 3 x 3, rubik
revenge memiliki enam sisi bagian dalam. Keenam
sisi bagian
dalam tersebut
dinotasikan dengan untuk sisi tepat di
belakang sisi depan, untuk sisi tepat di
depan sisi belakang, untuk sisi tepat di
bawah sisi atas, untuk sisi tepat di atas sisi
bawah, untuk sisi tepat disamping kiri sisi
kanan, untuk sisi tepat disamping kanan sisi
kiri. Gambar 2 Bagian dalam sisi rubik revenge
Rubik revenge disusun oleh 56 cubinos berupa kubus berukuran 1
1 1. Cubinos pada rubik revenge terbagi menjadi tiga jenis,
yaitu 8 corner-cubinos, 24 edge-cubinos, dan 24 center-cubinos.
sisi kiri sisi kanan
sisi atas sisi bawah
sisi depan sisi belakang
Gambar 3 Bagian-bagian cubinos rubik revenge
3.2 Pergerakan Rubik Revenge
Sisi rubik dapat diputar secara horizontal maupun vertikal. Perputaran sisi rubik
tersebut selanjutnya
disebut sebagai
pergerakan. Pergerakan yang terjadi pada sisi rubik dapat terbagi atas pergerakan searah
jarum jam sejauh 90 yang dinotasikan dengan
+ dan pergerakan berlawanan dengan arah jarum jam sejauh 90
yang dinotasikan dengan -.
Notasi arah pergerakan mengikuti sisi rubik yang mengalami pergerakan. Misal,
didefinisikan sebagai pergerakan sisi depan rubik sejauh 90
searah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi tepat
dibawah sisi atas sejauh 90 berlawanan
dengan arah jarum jam. didefinisikan
sebagai pergerakan sisi bawah sejauh 90 sebanyak dua kali searah jarum jam.
Pergerakan ini pada umumnya disimbolkan dengan 2 dan arah pergerakan tidak memiliki
pengaruh karena akan menghasilkan posisi yang
sama. didefinisikan
sebagai pergerakan sisi depan rubik sejauh 90
sebanyak tiga kali searah jarum jam. didefinisikan sebagai pergerakan sisi bawah
rubik sejauh 90 sebanyak empat kali
berlawanan arah jarum jam. Secara umum pergerakan rubik dapat
dinotasikan dengan dimana
adalah sisi rubik dan
. didefiniskan sebagai
pergerakan sisi sejauh 90
sebanyak kali
searah jarum jam jika 0 atau berlawanan
arah jarum jam jika 0. Untuk = 0,
didefinisikan sebagai sisi tidak mengalami
pergerakan atau dapat dinotasikan dengan .
Setiap posisi rubik, baik posisi sebelum mengalami pergerakan maupun setelah
mengalami pergerakan akan membentuk sebuah himpunan yang dinotasikan dengan P.
Sehingga, pergerakan
rubik dapat
didefinisikan sebagai fungsi : P → P.
Ilustrasi untuk menggambarkan pergerakan rubik dapat dilihat pada Lampiran 1.
Himpunan pergerakan rubik, H = { ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,...}. Himpunan pergerakan rubik ini bersifat infinit.
3.3 Grup Pergerakan Rubik Revenge
Didefinisikan operasi pada himpunan
pergerakan H yaitu untuk setiap , H dan
posisi rubik maka berlaku : = yang dapat diartikan sebagai
pergerakan dilakukan terhadap kemudian
dilanjutkan dengan pergerakan terhadap
. Akan dibuktikan H dengan operasi
membentuk suatu grup. Bukti :
Misal , , H dan P.
i =
= Pergerakan rubik didefinisikan sebagai
fungsi dengan domain himpunan posisi rubik P yang unik sehingga H tertutup di
bawah operasi .
ii =
= =
Jadi, sifat
assosiatif berlaku
= . iii Akan dibuktikan ada unsur identitas
H untuk pada H sehingga berlaku
= = , untuk setiap G. Unsur
identitas didefinisikan dengan =
. =
= =
= .
Dapat disimpulkan = = .
Sehingga, dapat dibuktikan ada unsur identitas
H. iv Akan dibuktikan untuk setiap
H. Unsur
didefinisikan sebagai
pergerakan sisi rubik yang berlawanan arah dengan pergerakan
dengan Edge-cubinos
Center-cubinos
Corner-cubinos
= jika dan hanya jika
= ;
, P. Akibatnya,
= =
= =
= =
= =
Sehingga, =
= . Unsur invers dari
. Contoh
Invers dari pergerakan adalah
. Dari pembuktian i, ii, iii, iv dapat
disimpulkan bahwa himpunan H di bawah operasi
merupakan sebuah grup. Sehingga terbukti bahwa himpunan H adalah sebuah
grup pergerakan rubik dengan operasi sebagai operasi grup.
3.3.1 Order dan Generator
Himpunan H bersifat infinit karena banyaknya pergerakan rubik tidak terbatas.
Himpunan S = { ,
} merupakan himpunan bagian dari H.
Akan dibuktikan setiap unsur pada himpunan S berorder 4. Misal
S, order adalah
, jika adalah bilangan bulat positif minimal sehingga
= e.
Bukti :
Ambil sebarang unsur S, misal . Ambil
P sehingga =
. Definisi adalah pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam.
Jika pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam dilakukan sebanyak dua kali maka sama dengan pergerakan
terhadap sejauh 180
searah jarum jam. Jika pergerakan
sejauh 90 terhadap
searah jarum jam dilakukan sebanyak tiga kali maka sama dengan pergerakan
terhadap sejauh 270
searah jarum jam. Jika pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak empat
kali maka sama dengan pergerakan
terhadap sejauh 360
searah jarum jam dikenakan terhadap
. Jika =
= a = maka
4
= .
Sehingga, dapat dibuktikan bahwa empat merupakan
bilangan terkecil
yang mengakibatkan
+4
= = . Oleh sebab itu dapat disimpulkan,
= 4, dimana adalah setiap unsur di S .
Teorema 1 berlaku dengan penjelasan sebagai berikut.
Jika pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam dilakukan sebanyak lima kali
+5
maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam .
Jika pergerakan terhadap sejauh 90
searah jarum jam dilakukan sebanyak enam kali
+6
maka sama dengan pergerakan terhadap sejauh 90
searah jaum jam dilakukan sebanyak dua kali
2
. Jika pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak tujuh
kali
+7
maka sama dengan pergerakan terhadap
sejauh 90 searah jarum jam
dilakukan sebanyak tiga kali
+3
. Jika pergerakan
terhadap sejauh 90 searah jarum jam dilakukan sebanyak delapan
kali
+8
maka sama dengan pergerakan terhadap
sejauh 90 searah jarum jam
+4
= . Posisi rubik
akan kembali pada posisi awal
setelah mengalami
delapan kali
pergerakan . Hal ini juga berlaku ketika
pergerakan dilakukan sebanyak 4, 8, 12, 16,
... . Maka,
4
=
8
=
12
=
16
= ... = .
Ilustrasi yang akan menunjukkan bahwa p
osisi rubik akan kembali pada posisi awal setelah mengalami empat kali pergerakan
yang sama dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa S
merupakan generator bagi H. Himpunan S disebut generator jika elemen pada H dapat
ditulis sebagai hasil dari operasi elemen pada himpunan S.
Bukti : S ={
, }. Sebelumnya
akan dijelaskan pergerakan rubik yang akan menghasilkan posisi yang sama. Misal, a
H, pergerakan
sama dengan pergerakan ,
pergerakan sama dengan pergerakan
, pergerakan
sama dengan pergerakan ,
pergerakan sama dengan pergerakan
. Sehingga, pergerakan rubik yang menjadi