untuk setiap di
dan untuk setiap , dengan
. Peressini et al. 1988
Definisi 22 Teorema Deret Taylor Nilai hampiran f di x untuk fungsi di a atau
sekitar a atau berpusat di a didefinisikan
Stewart 1999
2.4 Kontrol Optimum dan Sistem Dinamik Definisi 23 Kontrol Optimum
Kontrol optimum merupakan salah satu teknik untuk
menyelesaikan masalah
optimasi dinamis. Secara sederhana masalah kontrol
optimum adalah memilih peubah kontrol diantara peubah kontrol yang admissible,
yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal
pada waktu kepada state akhir
pada waktu akhir , sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau
minimum bagi fungsional objektif. Fungsional objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi
lainnya untuk
memaksimumkan atau
meminimumkan suatu permasalahan. Tu 1993
Definisi 24 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah suatu sistem yang
berubah sesuai dengan waktu. Sistem dinamik dinyatakan sebagai berikut:
, dengan
merupakan fungsi x. Kreyszig 1993
Definisi 25 Simbol
Simbol ini
merupakan cara
untuk membandingkan besarmya dua fungsi
dan untuk menuju suatu limit .
Notasi menyatakan
bahwa terbatas, untuk
. Serfling 1980
2.5 Istilah-Istilah Ekonomi Definisi 26 Aset
Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai pertukaran.
Harvey dan Gretchen 2002
Definisi 27 Aset Bebas Risiko Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki
return yang pasti di masa depan. Harvey dan Gretchen 2002
Definisi 28 Aset Berisiko Aset berisiko adalah aset yang return di masa
yang akan datang tidak pasti. Harvey dan Gretchen 2002
Definisi 29 Portofolio Portofolio adalah kumpulan dari beberapa aset
yang digabungkan dalam suatu investasi yang didalamya
termasuk beberapa
investasi berisiko dan bebas risiko dengan tujuan untuk
meminimalkan resiko dari masing-masing aset.
Bodie et al. 2005 Definisi 30 Volatilitas
Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan aset.
Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan aset. Sebaliknya semakin
kecil
nilai volatilitas,
semakin mudah
menduga aset tersebut. Harvey Gretchen 2002
III PEMBAHASAN
3.1 Asumsi
Dalam pembahasan skripsi ini akan dibahas permasalahan pemilihan portofolio
dan konsumsi individu untuk model waktu kontinu dengan asumsi pendapatan individu
diperoleh dari return beberapa aset yang bersifat stokastik. Selanjutnya, akan dibahas
mengenai permasalahan optimalitas dari model
multi-aset dengan
return yang
dibangkitkan dari gerak Wiener-Brownian. Dalam kasus khusus, dibahas persamaan
untuk model dua aset dengan constant relative risk aversion CRRA.
3.2 Model Dinamik: Persamaan Anggaran
Di bawah kondisi ketidakpastian, pada model waktu kontinu, persamaan anggaran
berbentuk persamaan diferensial stokastik. Untuk mendapatkan persamaan ini, memulai
dari bentuk persamaan waktu diskret dan
selanjutnya menyelesaikan bentuk limitnya untuk waktu yang kontinu.
Didefinisikan: Total kekayaan pada waktu t,
Harga dari aset i pada waktu t, ,
Konsumsi per unit waktu untuk waktu t,
Proporsi total
kekayaan yang
dialokasikan pada aset i untuk waktu t, dengan
. Persamaan anggaran dapat dituliskan
sebagai berikut 1
dengan dan
interval waktu antar periode.
Dengan melakukan pengurangan terhadap pada kedua sisi, maka persamaan 1
dapat ditulis kembali menjadi
2 Lihat Lampiran 1
dengan . Oleh karena
stokastik mengakibatkan juga
stokastik, maka dipilih adalah tingkat
return per unit waktu pada aset ke-i. Untuk kondisi waktu diskret, diasumsikan
bahwa ditetapkan mengikuti persamaaan
3 dimana
adalah expected rate return yang bernilai konstan.
Fungsi merupakan error yang
dibangkitkan oleh Gausian random-walk yang dinyatakan
dalam bentuk
fungsi yang
memenuhi persamaan berikut 4
dengan adalah peubah acak yang saling
bebas yang menyebar normal baku, untuk setiap t,
menyatakan ragam per unit waktu dari proses
, dan nilai tengah dari increment
sama dengan nol. Subtitusi
pada persamaan 3 ke dalam persamaan 2, diperoleh
5 Dari
persamaan 5,
nilai harapan
bersyarat di atas dengan diketahui
adalah
6 Merton 1969
7 Merton 1969
Dengan adalah nilai harapan bersyarat
dengan syarat diketahui.
Bentuk persamaan diferensial stokastik pada persamaan 4 jika
, waktu kontinu dapat dituliskan dalam bentuk
berikut. , 8
dengan dibangkitkan proses Wiener.
Jika untuk kondisi , persamaan 5
dapat ditulis menjadi
9 Merton 1969
Persamaan di atas merupakan bentuk umum dari persamaan anggaran waktu
kontinu di bawah kondisi ketidakpastian. Persamaan anggaran rata-rata dapat dihasilkan
dari persamaan 5, yaitu
. 10 Lihat Lampiran 2
Dengan mengambil
, maka
persamaan di atas menjadi rata-rata laju perubahan kekayaan.
11 Lihat Lampiran 3
3.3 Model Persamaan Anggaran Dua Aset
