kontinu di bawah kondisi ketidakpastian. Persamaan anggaran rata-rata dapat dihasilkan
dari persamaan 5, yaitu
. 10 Lihat Lampiran 2
Dengan mengambil
, maka
persamaan di atas menjadi rata-rata laju perubahan kekayaan.
11 Lihat Lampiran 3
3.3 Model Persamaan Anggaran Dua Aset
Pada bagian ini akan dibahas lebih khusus yaitu persamaan anggaran untuk model dua
aset. Didefinisikan
adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset berisiko,
adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset bebas resiko,
adalah besarnya return pada aset berisiko Var
, adalah besarnya interest rate pada
aset bebas resiko Var .
Dengan , maka
persamaan 5, 6, 7 dan 11 dapat dituliskan, sebagai berikut.
. 12 Lihat Lampiran 4
13 Lihat Lampiran 5
14 Lihat Lampiran 6
15 Lihat Lampiran 7
16 Lihat Lampiran 8
Permasalahan untuk memilih portofolio dan konsumsi yang optimal dirumuskan
sebagai berikut,
17 dengan kendala persamaan 15
. Fungsi
diasumsikan merupakan fungsi utilitas yang strictly concave
adalah peubah acak yang dibentuk proses Wiener,
adalah bequest valuation function fungsi penaksiran
harta waris yang diasumsikan concave terhadap
. Untuk mendapatkan persamaan yang
optimal, yang dilakukan selanjutnya adalah menulis ulang persamaan 17 ke dalam
bentuk pemograman dinamik.
18 dengan kendala yang dimiliki sama seperti
pada persamaan 17, yaitu persamaan 15, .
Jika diasumsikan
, maka dari persamaan 18 diperoleh
19 Sehingga dalam kasus khusus, persamaan 14
dapat dituliskan menjadi
20 Jika
dan turunan parsial ketiga dari
terbatas, maka dengan menggunakan teorema Taylor dan teorema
nilai tengah untuk integral, persamaan 19 dapat dituliskan menjadi
, 21
LihatLampiran 9 Ambil nilai harapan dari persamaan 21,
yaitu ,
dan mengurangkan dengan
pada kedua sisi, serta dengan mensubtitusikan
persamaan 13
dan 14
ke dalam
persamaan kemudian bagi dengan h. Dengan cara mengambil limit
, maka persamaan 21 menjadi
22 Persamaan di atas disebut sebagai a
continous-time version of the Bellman- Dreyfus fundamental equation of optimality
persamaan fundamental Bellman-Dreyfus yang optimal untuk waktu kontinu. Dengan
penulisan singkat untuk
, untuk setiap
. Jika didefinisikan
, 23 maka persamaan 22 dapat dituliskan menjadi
24 Kondisi orde pertama untuk persamaan
24 adalah 25
26 Kondisi orde kedua syarat cukup untuk
persamaan 24 adalah
dimana .
Jika strictly concave terhadap
, maka dan
, strictly concave terhadap . Kondisi
optimalitas dapat
dituliskan sebagai himpunan persamaan diferensial
parsial untuk
menyelesaikan
27
terhadap kendala
batas sehingga solusi untuk persamaan
14 menjadi solusi yang feasible.
3.4 Kasus Constan Relative Risk Aversion
