I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kehidupan individu sangat terkait dengan masalah ekonomi yang dilakukan sepanjang
hayatnya. Kegiatan ekonomi yang dilakukan dapat berupa konsumsi barang dan jasa.
Permasalahan yang muncul adalah bagaimana memaksimalkan pendapatan yang diperoleh
untuk
alokasi konsumsi.
Dengan mengoptimalkan pengeluaran berupa konsumsi
barang dan jasa yang menjadi prioritas, akan memungkinkan adanya sisa dari pendapatan
yang dapat disimpan dalam bentuk tabungan atau dipergunakan untuk keperluan lainnya. Di
samping
mementingkan konsumsi
yang dilakukan pada periode waktu saat ini, individu
juga dapat merencanakan kegiatan konsumsi pada masa yang akan datang. Oleh karena itu,
perlu dilakukan suatu tindakan preventif berupa tabungan atau investasi.
Seorang individu
dalam melakukan
kegiatan ekonomi mementingkan tingkat kepuasannya. Dalam ilmu ekonomi tingkat
kepuasan individu diukur dengan fungsi utilitas.
Dalam tulisan ini, akan dibahas mengenai model persamaan anggaran dalam umum dan
dalam bentuk khusus berupa model persamaan anggaran untuk dua aset. Serta permasalahan
mengenai besarnya proporsi yang akan dialokasikan seseorang yang digunakan untuk
konsumsi dan
investasi sehingga
memaksimalkan fungsi utilitas seseorang. Dari model tersebut akan didapat formulasi proporsi
optimal untuk kekayaan yang dibelanjakan untuk konsumsi dan investasi.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari penyelesaian masalah
pengambilan keputusan dalam pengalokasian kekayaan yang optimal untuk konsumsi dan
investasi.
1.3 Metode Penulisan
Metode penulisan karya ilmiah ini berupa studi literatur materi. Untuk studi literatur,
materi diperoleh dari jurnal ilmiah utama dan jurnal-jurnal ilmiah lain, serta buku-buku yang
terkait dengan penyusunan karya ilmiah ini. Materi jurnal ilmiah utama diadaptasi dari
jurnal ilmiah yang berjudul Lifetime Portofolio Selection Under Uncertainty: Continuous-time
Case Robert C. Merton 1969.
II LANDASAN TEORI
Dalam bagian ini dijelaskan konsep- konsep dasar matematis yang digunakan untuk
membantu penyelesaian
masalah dalam
pembahasan.
2.1 Ruang Contoh, Peubah Acak, dan Fungsi sebaran.
Definisi 1 Percobaan Acak Percobaan acak adalah suatu percobaan yang
dilakukan secara berulang dalam kondisi yang sama dengan kemungkinan semua hasil yang
muncul diketahui, akan tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga.
Hogg et al. 2005
Definisi 2 Ruang Contoh
Ruang contoh adalah himpunan dari semua kemungkinan hasil suatu percobaan acak, dan
di notasikan dengan Ω.
Grimmet dan Stirzaker 2001 Definisi 3 Medan-
Medan- adalah suatu himpunan ℱ yang
anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat
berikut. 1.
2. Jika A , maka
3. Jika , maka
Hogg et al. 2005
Definisi 4 Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fungsi X :
Ω dengan sifat bahwa {
} ℱ
untuk setiap x .
Grimmet dan Stirzaker 2001
Definisi 5 Fungsi Sebaran
Suatu fungsi sebaran dari peubah acak X adalah fungsi F
X
: ℝ→[0,1] yang diberikan
oleh F
X
x = P .
Misalkan adalah
gugus fungsi
kemungkinan nilai dari suatu peubah acak X, maka sifat-sifat fungsi sebaran adalah
1. 2.
Fx adalah fungsi tak turun. 3.
Fy = 0 untuk setiap y kurang dari nilai terkecil dalam .
4. Fz = 1 untuk setiap nilai z yang
lebih besar atau sama dengan nilai terbesar dalam .
Grimmet dan Stirzaker 2001
Definisi 6 Fungsi Massa Peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak
diskret X adalah fungsi p: yang
diberikan oleh x = PX= x.
Grimmet dan Stirzaker 2001
Definisi 7 Peubah Acak Kontinu Peubah acak X dikatakan peubah acak kontinu
jika fungsi sebaran dapat diekspresikan sebagai
untuk suatu fungsi yang dapat
diintegralkan. Fungsi disebut sebagai
fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu .
Hogg et al. 2005
Definisi 8 Sebaran Normal dan Normal
Baku
Suatu peubah acak X dikatakan mempunyai sebaran normal dengan parameter dan
jika fungsi kepekatannya .
Jika peubah acak X menyebar normal dengan parameter
dan serta
fungsi kepekatan peluangnya ,
maka dikatakan menyebar normal baku. Ghahramani 2005
Definisi 9 Nilai Harapan Peubah Acak
Kontinu
Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang
, maka nilai harapan dari X adalah
asalkan integral di atas konvergen mutlak. Grimmet Stirzaker 2001
Lema 1 Sifat Nilai Harapan Beberapa sifat nilai harapan, antara lain:
1. Jika k adalah suatu konstanta, maka Ek =
k, 2.
Jika k adalah suatu konstanta dan X adalah peubah acak, maka
3. Jika
adalah konstanta dan adalah peubah acak, maka
bukti lihat Hogg et al. 2005 Hogg et al. 2005
Definisi 10 Ragam Ragam dari suatu peubah acak X adalah nilai
harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai
harapannya, didefinisikan
sebagai berikut.
Lema 2 Sifat Ragam Beberapa sifat dari ragam:
1. Jika k suatu konstanta, maka
. 2.
Jika suatu konstanta dan
adalah peubah acak, maka
Hogg et al.2005 2.2 Proses Stokastik dan Gerak Brown 1-
dimensi
Definisi 11Proses Stokastik Proses stokastik
adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S.
Ross 2007
Definisi 12 Gerak Brown 1-dimensi Suatu proses stokastik Bt, t [0, dikatakan
sebagai Gerak Brown 1-dimensi, apabila Bt memiliki sifat-sifat berikut:
1. P{B0 = 0}= 1,
2. Untuk sembarang
, peubah
acak 3.
Untuk , selisih
menyebar N0, .
Oksendal 2003
Definisi 13 Proses Wiener Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan
rataan 0 dan ragam 1. Proses Wiener cocok untuk suatu peubah
acak yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
Komponen disebut sebagai komponen
deterministik dan
komponen menyatakan komponen stokastik, serta
adalah Proses Wiener, sedangkan dan
masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari .
Hull 1997
Definisi 14 Proses Ito 1-dimensi Proses Ito 1-dimensi adalah proses stokastik
Xt pada ruang peluang Ω, ℱ, P yang
memiliki bentuk:
Dengan Bt adalah Gerak Brown 1- dimensi pada Ω, ℱ, P.
Oksendal 2003
Definisi 15 Rantai Markov Rantai Markov adalah Suatu proses stokastik
dengan ruang state S yang terbatas atau tak terbatas, jika untuk semua
, dan
Ghahramani 2005 Definisi 16 Random Walk
Random Walk adalah suatu rantai markov dengan ruang state suatu himpunan bilangan
bulat, dan mempunyai peluang transisi
dengan . Dengan kata lain setiap
transisi perubahan akan bergerak satu langkah ke kanan dengan peluang atau bergerak satu
langkah ke kiri dengan peluang .
Ross 2007
Definisi 17 Gaussian Random Walk Gaussian random walk adalah suatu rantai
markov yang mempunyai transisi perubahan berdasarkan pada distribusi normal yang
digunakan dalam dunia nyata sebagai model data time series seperti pasar keuangan.
Transisi perubahannya adalah inverse dari sebaran normal kumulatif
dimana adalah jumlah acak sebaran
seragam dan adalah mean dan standar
deviasi dari sebaran normal. Ross 2007
2.3 Fungsi Kepuasan dan
Constant Relative Risk Aversion CRRA
Definisi 18 Fungsi Kepuasan Misalkan
adalah himpunan konsumsi, maka fungsi kepuasan
konsumsi U memetakan X ke bilangan real. Fishburn 1970
Definisi 19 Constant Relative Risk Aversion
CRRA Misalkan UW adalah fungsi kepuasan U dari
kekayaan W, Constant Relative Risk Aversion CRRA didefinisikan dalam bentuk:
, dengan adalah koefisien Constant Relative
Risk Aversion Anderson dan Hardeker 2003
Definisi 20 Himpunan Convex
Himpunan dikatakan
himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap
dan di
, maka ruas garis yang
menghubungkan dan juga terletak di
Dengan kata lain himpunan dikatakan
himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di dan untuk setiap dengan
, maka vektor juga
terletak di Peressini et al. 1988
Definisi 21 Fungsi Konkaf dan Konkaf sempurna
Misalkan adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks di
, maka:
1.
Fungsi dikatakan konkaf di jika
untuk setiap di
dan untuk setiap ,
dengan .
2. Fungsi f dikatakan konkaf sempurna di
jika
untuk setiap di
dan untuk setiap , dengan
. Peressini et al. 1988
Definisi 22 Teorema Deret Taylor Nilai hampiran f di x untuk fungsi di a atau
sekitar a atau berpusat di a didefinisikan
Stewart 1999
2.4 Kontrol Optimum dan Sistem Dinamik Definisi 23 Kontrol Optimum
Kategori