Algoritma Fletcher-powell dalam me nyelesaikan Kasus Optimisasi

17 Gambar 3.1 Flowchart Algoritma Fletcher-Powell

3.3 Algoritma Fletcher-powell dalam me nyelesaikan Kasus Optimisasi

Multivariabel Tak Berkendala. Untuk lebih memahami permasalahan nonlinier, khususnya optimisasi multivariabel tanpa kendala yang diselesaikan dengan metode Fletcher-powell, penulis mengambil sebuah contoh persoalan meminimumkan jarak antara pabrik minyak dan ke tiga kilang minyak. perhatikan pembahasan di bawah ini. Mulai Tentukan x, G, e Hitung α, B Tentukan l β – α ε Selesai G = G+L+M α = β B = C Ya Tidak X = x ˆ Universitas Sumatera Utara 18 Sebuah perusahaan minyak yang besar ingin membangun pabrik minyak yang akan disuplai dari 3 buah kilang minyak. Pelabuhan B terletak 300 km ke timur dan 400 km ke utara dari pelabuhan A, sedangkan pelabuhan C terletak 400 km ke timur dan 100 km ke selatan dari pelabuhan B. tentukan tempat pabrik minyak tersebut sehingga jumlah panjang pipa yang diperlukan untuk menghubungkan pabrik minyak dengan kilang minyak minimum. Dari persoalan di atas, tujuannya sama dengan meminimumkan jumlah jarak antara pabrik minyak dengan ke tiga kilang minyak. Sebagai bantuan untuk menghitung jumlah ini, penulis bentuk suatu sistem koordinat, Gambar 3.2, dengan pelabuhan A sebagai titik asal. Dalam sistem ini, pelabuhan B memiliki koordinat 300,400 dan pelabuhan C 700,300. 0, 0 300, 400 700, 300 100 200 300 400 500 100 200 300 400 500 600 700 800 Gambar 3.2 Titik-Titik Koordinat Kilang Minyak Dengan x 1 ,x 2 menunjukkan koordinat-koordinat dari kilang minyak yang ternyata belum diketahui, objektifnya adalah Minimumkan 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 300 700 400 300 - + - + - + - + + = x x x x x x Z x 1 x 2 Universitas Sumatera Utara 19 Di sini tidak ada kendala untuk koordinat-koordinat kilang minyak dan juga tidak ada persyaratan tersembunyi, misalnya suatu nilai negatif dari x 1 berarti bahwa kilang minyak harus ditempatkan di sebelah barat pelabuhan A. Persamaan di atas adalah suatu program matematis nonlinier yang tak berkendala. Gunakan metode Fletcher-powell hingga mencapai toleransi 0,25 km untuk menyelesaikan persoalan di atas. Permasalahan tersebut ekivalen dengan suatu program maksimisasi yang fungsi objektifnya adalah 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 300 700 400 300 - + - - - + - - + - = x x x x x x x f dan vektor gradien ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - + - - - - + - - - + - - + - - - - + - - - + - = Ñ 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 300 700 300 400 300 400 300 700 700 400 300 300 x x x x x x x x x x x x x x x x x x f Untuk metode Fletcher-powell ini, penulis mengambil ε = 0,25 dan ú û ù ê ë é = 1 1 G Serta memilih x ˆ = [400,200] T , yang dalam Gambar 3.1 kelihatannya suatu pendekatan yang baik bagi lokasi optimal dari pabrik penyulingan. LANGKAH 1 Hitung x f = a dan x f ˆ | Ñ = b Universitas Sumatera Utara 20 05 , 987 100000 50000 200000 100 300 200 100 200 400 300 200 700 400 400 200 300 400 200 400 200 , 400 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - = - - - = - + - - - + - + - = - + - - - + - - + - = = = a a a a a a f x f ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - + - - - - + - - - + - - + - - - - + - - - + - = Ñ = 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 300 700 300 400 300 400 300 700 700 400 300 300 ˆ x x x x x x x x x x x x x x x x x x B x f B ú û ù ê ë é- = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - - - = ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - + - - - - + - - - + - - + - - - - + - - - + - = 76344 , 39296 , 100000 100 50000 200 200000 200 100000 300 50000 100 200000 400 300 200 700 400 300 200 400 200 300 400 400 200 200 400 200 300 200 700 400 700 400 400 200 300 400 300 400 200 400 400 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B B B LANGKAH 2 Apabila l l = , maka ambil GB D l = dan tentukan l sedemikian rupa sehingga GB x f l + maksimum. Untuk memaksimumkan nilai l pada , ˆ GB x f l + penulis melakukan pencarian l dengan menggunakan proses penyelidikan tiga titik pada selang [0,700]. Iterasi 1: Bagi selang [0,700] menjadi empat bagian. Sebagai ke tiga buah titik interiornya penulis mengambil x 1 = 175, x 2 = 350, x 3 = 525 dan menghitung Universitas Sumatera Utara 21 784 , 913 175 76344 , 100 175 39296 , 300 175 76344 , 200 175 39296 , 100 175 76344 , 200 175 39296 , 400 175 ˆ ˆ 1 2 2 2 2 2 2 1 1 - = + - + - - - + - + - - + + - - = + = + = x f x f GB x f GB x f x f l 252 , 1081 350 76344 , 100 350 39296 , 300 350 76344 , 200 350 39296 , 100 350 76344 , 200 350 39296 , 400 350 ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - = + - + - - - + - + - - + + - - = + = + = x f x f GB x f GB x f x f l 387 , 1447 525 76344 , 100 525 39296 , 300 525 76344 , 200 525 39296 , 100 525 76344 , 200 525 39296 , 400 525 ˆ ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - = + - + - - - + - + - - + + - - = + = + = x f x f GB x f GB x f x f l Di sini, x 1 adalah titik interior yang menghasilkan nilai terbesar bagi fungsi objektif, penulis mengambil selang [0,350] yang berpusat di x 1 sebagai selang baru yang menjadi perhatian penulis selanjutnya. Iterasi 2: Bagi selang [0,350] menjadi empat bagian: Sebagai ke tiga buah titik interiornya penulis mengambil x 4 = 87,5; x 1 = 175; x 5 = 262,5 dan menghitung 082 , 917 5 , 262 ˆ ˆ 784 , 913 124 , 937 5 , 87 ˆ ˆ 5 1 4 - = + = + = - = - = + = + = GB x f GB x f x f x f GB x f GB x f x f l l Universitas Sumatera Utara 22 Karena x 1 masih titik interior yang menghasilkan nilai terbesar bagi fungsi objektif, penulis mengambil selang [87,5;262,5] yang berpusat di x 1 sebagai selang baru yang menjadi perhatian penulis selanjutnya. Iterasi 3: Bagi selang [87,5;262,5] menjadi empat bagian: Sebagai ke tiga buah titik interiornya penulis mengambil x 6 = 131,25; x 1 = 175; x 7 = 218,75 dan menghitung 617 , 910 75 , 218 ˆ ˆ 784 , 913 415 , 922 25 , 131 ˆ ˆ 7 1 6 - = + = + = - = - = + = + = GB x f GB x f x f x f GB x f GB x f x f l l Karena x 7 merupakan titik interior yang menghasilkan nilai terbesar bagi fungsi objektif, penulis mengambil selang [175;262,5] yang berpusat di x 7 sebagai selang baru yang menjadi perhatian penulis selanjutnya. Iterasi 4: Bagi selang [175;262,5] menjadi empat bagian: Sebagai ke tiga buah titik interiornya penulis mengambil x 8 = 196,875; x 7 = 218,75; x 9 = 240,625 dan menghitung 951 , 910 625 , 240 ˆ ˆ 617 , 910 553 , 911 875 , 196 ˆ ˆ 9 7 8 - = + = + = - = - = + = + = GB x f GB x f x f x f GB x f GB x f x f l l Karena x 7 masih sebagai titik interior yang menghasilkan nilai terbesar bagi fungsi objektif, penulis mengambil selang [196,875;240,625] yang berpusat di x 7 sebagai selang baru yang menjadi perhatian penulis selanjutnya. Iterasi 5: Bagi selang [196,875;240,625] menjadi empat bagian: Sebagai ke tiga buah titik interiornya penulis mengambil x 10 = 207,8125; x 7 = 218,75; x 11 = 229,6875 dan menghitung Universitas Sumatera Utara 23 620 , 910 229,6875 ˆ ˆ 617 , 910 927 , 910 8125 , 207 ˆ ˆ 11 7 10 - = + = + = - = - = + = + = GB x f GB x f x f x f GB x f GB x f x f l l Karena x 7 masih sebagai titik interior yang menghasilkan nilai terbesar bagi fungsi objektif, penulis mengambil selang [207,8125;229,6875] yang berpusat di x 7 sebagai selang baru yang menjadi perhatian penulis selanjutnya. Iterasi 6: Bagi selang [207,8125;229,6875] menjadi empat bagian: Sebagai ke tiga buah titik interiornya penulis mengambil x 12 = 207,8125; x 7 = 218,75; x 13 = 229,6875 dan menghitung 579 , 910 224,21875 ˆ ˆ 617 , 910 732 , 910 28125 , 213 ˆ ˆ 13 7 12 - = + = + = - = - = + = + = GB x f GB x f x f x f GB x f GB x f x f l l Sekarang x 13 adalah titik interior yang terbesar menghasilkan nilai terbesar bagi fungsi objektifnya. Karena titik tengahnya berada dalam toleransi yang diisyaratkan, yakni 25 , = e dari titik-titik lainnya dalam selang ini, penulis mengambil l = 224,21875 ú û ù ê ë é- = ú û ù ê ë é- ú û ù ê ë é = = 177 , 171 109 , 88 76344 , 39296 , 1 1 21875 , 224 D D GB D l LANGKAH 3 Ambil D x + ˆ sebagai nilai baru dari x ˆ Universitas Sumatera Utara 24 ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é- + ú û ù ê ë é = + = 177 , 371 891 , 311 ˆ 177 , 171 109 , 88 200 400 ˆ ˆ ˆ x x D x x LANGKAH 4 Hitunglah ˆ x f = b untuk nilai x ˆ yang baru ini. Jika , e a b - maka lanjutkan ke langkah 5, jika tidak, maka lanjutkan ke langkah 6 e a b a b a b b b b - = - - - - = - - = - + - - - + - - + - = = 47 , 76 05 , 987 58 , 910 58 , 910 300 177 , 371 700 891 , 311 400 177 , 371 300 891 , 311 177 , 371 891 , 311 ˆ 2 2 2 2 2 2 x f Jika , e a b - maka lanjutkan ke langkah 6 LANGKAH 6 Hitung x f C ˆ | Ñ = untuk vektor x ˆ yang baru dan ambil Y = B - C ú û ù ê ë é- = ú û ù ê ë é - - - ú û ù ê ë é- = - = ú û ù ê ë é - - = Ñ = 78501 , 35187 , 02157 , 04109 , 76344 , 39296 , 02157 , 04109 , ˆ | Y Y C B Y C x f C Universitas Sumatera Utara 25 LANGKAH 7 Hitung matriks n x n L1D T Y dan M = -1Y T GYGYY T G [ ] 378 , 165 37565677 , 134 00291383 , 31 7850 , 177 , 171 35187 , 109 , 88 78501 , 35187 , 177 , 171 ; 109 , 88 = + = ´ + - ´ - = ú û ù ê ë é- - = Y D Y D Y D Y D T T T T [ ] ú û ù ê ë é - - = - ú û ù ê ë é- = 565329 , 29301 234293 , 15082 234293 , 15082 195881 , 7763 177 , 171 ; 109 , 88 177 , 171 109 , 88 T T DD DD ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - - × = × = 179 , 177 198 , 91 198 , 91 942 , 46 565329 , 29301 234293 , 15082 234293 , 15082 195881 , 7763 378 , 165 1 1 L L DD Y D L T T [ ] 7400 , 6162407001 , 1238124969 , 78501 , 35187 , 1 1 78501 , ; 35187 , = + = ú û ù ê ë é- ú û ù ê ë é - = GY Y GY Y GY Y T T T [ ] ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - ú û ù ê ë é- ú û ù ê ë é = 6162407001 , 2762214687 , 2762214687 , 1238124969 , 1 1 78501 , ; 35187 , 78501 , 35187 , 1 1 G GYY G GYY T T Universitas Sumatera Utara 26 ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - - × - = × - = 833 , 373 , 373 , 167 , 6162407001 , 2762214687 , 2762214687 , 1238124969 , 7400 , 1 1 M M G GYY GY Y M T T LANGKAH 8 Ambil G + L + M sebagai nilai baru dari G. ambil α sama dengan nilai β yang sekarang ini. B sama dengan nilai C yang sekarang ini, dan kembali ke langkah 2 ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - - + ú û ù ê ë é - - + ú û ù ê ë é = + + = 346 , 177 825 , 90 825 , 90 775 , 47 833 , 373 , 373 , 167 , 179 , 177 198 , 91 198 , 91 942 , 46 1 1 G G M L G G ú û ù ê ë é - - = = - = = 02157 , 39296 , 58 , 910 B C B a b a LANGKAH 2 2 2 2 2 2 2 093 , 177 , 71 004 , 109 , 388 093 , 823 , 28 004 , 891 , 11 093 , 177 , 371 004 , 891 , 311 093 , 177 , 371 004 , 891 , 311 02157 , 04109 , 346 , 177 825 , 90 825 , 90 775 , 47 177 , 371 891 , 311 l l l l l l l l l l l l - + - - - - - + - - - + - - = + ÷÷ ø ö çç è æ ú û ù ê ë é - - = + ÷÷ ø ö çç è æ ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é - - + ú û ù ê ë é = + GB X f f GB X f f GB X f Universitas Sumatera Utara 27 Dengan menggunakan proses penyelidikan tiga titik, penulis dapati bahwa λ ekivalen dengan 21,875 ú û ù ê ë é - - = ú û ù ê ë é - - ú û ù ê ë é = 034375 , 2 0875 , 093 , 004 , 1 1 875 , 21 D D LANGKAH 3 Ambil x ˆ + D sebagai nilai baru dari x ˆ ú û ù ê ë é = ú û ù ê ë é - - + ú û ù ê ë é = + = 142625 , 369 8035 , 311 ˆ 034375 , 2 0875 , 177 , 371 891 , 311 ˆ ˆ ˆ x x D x x LANGKAH 4 Hitunglah β = ƒ x ˆ untuk nilai x ˆ yang baru ini. Jika β – α ε, maka lanjutkan ke langkah 5, jika tidak, maka lanjutkan ke langkah 6 e a b a b a b b b b - = - - - - = - - = - + - - - + - - + - = = 03 , 58 , 910 55 , 910 55 , 910 300 142625 , 369 700 8035 , 311 400 142625 , 369 300 8035 , 311 142625 , 369 8035 , 311 ˆ 2 2 2 2 2 2 x f Jika β - α ε, maka lanjutkan ke langkah 5 LANGKAH 5 Ambil X = x ˆ , ƒX = β dan berhenti. ú û ù ê ë é = = 143 , 369 803 , 311 ˆ X X X Dan 55 , 910 ˆ ˆ - = = X f X f b Universitas Sumatera Utara 28 Jadi pemecahannya adalah 1 X = 311,803 km, 2 X = 369,143 km dengan Z = +910,55 km

3.4 Imple mentasi Algoritma Fletcher-powell Dalam Penyelesaian Permasalahan