8
2.4 Matriks
Matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam
matriks atau disebut juga elemen unsur. Bentuk penulisan angka-angkanya dikenal sebagai bentuk atau notasi matriks. Untuk batasnya biasanya digunakan: , [ ],
atau || ||.
2.4.1 Notasi Matriks
Pada umumnya matriks disimbolkan dengan huruf kapital A, B, C dan lain- lain. Secara lengkap ditulis matriks A =
ij
, artinya, suatu matriks A yang elemen-elemen a
ij
, di mana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut. Pandangan sebuah matriks A =
ij
di mana i = 1,2,….,m dan j = 1,2,….,n. Maka dapat ditulis:
A = ú
ú ú
ú
û ù
ê ê
ê ê
ë é
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a
K M
M M
K K
2 1
2 22
21 1
12 11
Dapat ditulis juga
ij mxn
a A
=
, di mana mxn disebut ordo dari matriks A. Ukuran matriks atau ordo matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris m,
dan banyaknya kolom n yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris baris dan n kolom disebut matriks berordo mxn.
Universitas Sumatera Utara
9
2.4.2 Ope rasi Matriks
1. Penjumlahan Matriks Jika ke dua matriks mempunyai ordo ukuran yang sama, maka penjumlahan
pada akan matriks terpenuhi. Misalkan matriks C adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan matriks A dan B, sehingga elemen-elemen
dari C adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen yang seletakbersesuaian dari matriks A dan matriks B. Dari penjelasan tersebut dapat ditulis A
m xn
+ B
m xxn
= C
m xn
.
Misalkan, jika terdapat matriks:
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
= ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ë
é =
33 32
31 23
22 21
13 12
11 33
32 31
23 22
21 13
12 11
3 3
3 3
; b
b b
b b
b b
b b
x B
a a
a a
a a
a a
a A
x
,
maka A3x3 + B3x3 = C3x3, atau:
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
+ ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ë
é
33 33
32 32
31 31
23 23
22 22
21 21
13 13
12 12
11 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11 33
32 31
23 22
21 13
12 11
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b b
b b
b b
b b
b a
a a
a a
a a
a a
2. Pengurangan Matriks Sama halnya pada kasus penjumlahan, pada pengurangan matriks tetap berlaku
aturan bahwa ke dua matriks yang dioperasikan harus memiliki ordo yang sama. Sehingga berlaku A
3x3
– B
3x3
= C
3x3
Misalkan, jika terdapat matriks:
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
= ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ë
é =
33 32
31 23
22 21
13 12
11 33
32 31
23 22
21 13
12 11
3 3
3 3
; b
b b
b b
b b
b b
x B
a a
a a
a a
a a
a A
x
,
Universitas Sumatera Utara
10
maka A
3x3
- B
3x3
= C
3x3
, atau:
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
- -
- -
- -
- -
- =
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
- ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ë
é
33 33
32 32
31 31
23 23
22 22
21 21
13 13
12 12
11 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11 33
32 31
23 22
21 13
12 11
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b b
b b
b b
b b
b a
a a
a a
a a
a a
3. Perkalian Skalar dengan Matriks Jika terdapat matriks A
m xn
dan skalar k, di mana k
Î
R, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entrielemen dari A dengan
skalar k. Dari penjelasan tersebut:
4. Perkalian Matriks dengan Matriks Pada umumnya matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian yaitu AB
BA. Pada perkalian matriks AB, A disebut sebagai matriks pertama dan B adalah matriks ke dua. Syarat dua buah matriks dapat dilakukan operasi
perkalian yaitu kolom matriks pertama sama dengan baris pada matriks ke dua. Jika A adalah matriks mxr dan B adalah matriks rxn, maka hasil kali AB adalah
matriks mxn yang elemen-elemennya ditentukan sebagai berikut.
Untuk mencari entri dalam baris I dan kolom j dari AB, pilihlah baris I dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Lakukan perkalian elemen-elemen
yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut kemudian jumlahkan hasil- hasil dari perkalian tersebut.
Sehingga, dapat dituliskan sebagai berikut A
m xr
x B
rxn
= AB
m xn
. ú
ú ú
ú
û ù
ê ê
ê ê
ë é
= ú
ú ú
ú
û ù
ê ê
ê ê
ë é
× =
mn m
m n
n
mn m
m n
n
a k
a k
a k
a k
a k
a k
a k
a k
a k
a a
a a
a a
a a
a k
kA .
. .
. .
. .
. .
2 1
2 22
21 1
12 11
2 1
2 22
21 1
12 11
K M
M M
K K
K M
M M
K K
Universitas Sumatera Utara
11 Jika terdapat matriks
. 23
22 21
13 12
11 3
2 ;
32 31
22 21
12 11
2 3
ú û
ù ê
ë é
= ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ë
é =
b b
b b
b b
x B
a a
a a
a a
A
x
,
maka A
mxr
- B
rxn
= AB
m xn
, atau:
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
ú û
ù ê
ë é
ú ú
ú û
ù ê
ê ê
ë é
23 32
13 31
22 32
12 31
21 32
11 31
23 22
13 21
22 22
12 21
21 22
11 21
23 12
13 11
22 12
12 11
21 12
11 11
23 22
21 13
12 11
32 31
22 21
12 11
. b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b b
b b
b a
a a
a a
a
2.4.3 Transpose Matriks
Kategori