6 tersebut, proses akan bergerak sampai kondisi optimum tercapai atau kriteria
penghentian proses terpenuhi.
2.2 Pemrograman Nonlinear Tak Berkendala
Pada umumnya pemrograman nonlinear tanpa kendala berbentuk
Optimisasi: Z = fx x E
n
di mana fx adalah fungsi objektif. Untuk sebuah masalah pemrograman nonlinear tanpa kendala kondisi penting untuk x
i
untuk menjadi lokal minimum dari persamaan di atas adalah:
1. fx dapat diturunkan differentiable x 2.
fx = 0 : sebuh titik stasioner stationary point pada x Kondisi cukup sufficient conditions untuk x
untuk menjadi lokal minimum dari persamaan tersebut yaitu penambahan untuk kondisi 1 dan 2 di atas.
3. fx
i
0 definit positif matriks Hessian kondisi untuk maksimum adalah sama, kecuali matriks Hessian dan fx
i
harus definit negatif.
Sebuah pemrograman nonlinear satu variabel tanpa kendala berbentuk:
Optimisasi: Z = fx
di mana fx adalah sebuah fungsi nonlinear dari variabel tunggal x, dan pencarian nilai optimumnya maksimum dan minimum ditinjau dari selang tak terhingga
- , .
Untuk kasus multivariabel tanpa kendala berbentuk:
Optimisasi : Z = fx di mana x = x
1
, x
2
, ……,x
n T
Universitas Sumatera Utara
7 Sebagai maksimisasi, jika fx diganti dengan –fx, maka semua hasilnya
dapat diterapkan pada pemrograman minimisasi. Dalam masalah pemrograman nonlinear, fungsi nonlinear yang akan dioptimalkan disebut fungsi objektif. Setiap
titik x
1
, x
2
,……,x
n
yang akan koordinatnya tidak negatif yang memenuhi sistem dari tanpa kendala disebut nilai akhir.
Jadi masalahnya adalah menentukan satu titik nilai akhir yang meminimumkan atau memaksimumkan fungsi objektif.
2.3 Algoritma Fletcher-Powell
Perkembangan teknik turunan berkembang dengan pengenalan metode variabel metrik oleh Davidon 1963. Metode ini dilanjutkan oleh Fletcher dan Powell 1965. Pada
umumnya metode tersebut adalah metode yang terbaik untuk teknik optimisasi fungsi nonlinear tanpa kendala.
Metode ini mula-mula dikembangkan untuk fungsi kuadratik definit positif. Untuk fungsi- fungsi tersebut, metode ini akan konvergen menuju optimum paling
banyak dalam n- iterasi, dengan n adalah banyaknya variabel fungsi. Hal ini tidak berlaku untuk fungsi objektif umum akan menyerupai fungsi kuadratik definit positif
pada saat berada di dekat titik minimum. Jadi kelakuan yang sama dapat diharapkan untuk fungsi- fungsi tersebut pada saat berada dekat titik minimum. Jika fungsi yang
tidak konveks, maka tidak ada jaminan konvergensi dalam n-iterasi. Jika metode ini tidak konvergen, maka secara umum dapat dimulai lagi pada setiap iterasi ke n+1.
Metode Fletcher-powell didasarkan pada ide metode Newton Raphson:
1
1
k k
k k
k
c H
x x
-
- =
+
a
Invers matiks
1 -
k
H didekati dengan hanya menggunakan turunan pertama. Dengan
memanfaatkan informasi yang diperoleh dari sebelumnya, konvergensi menuju minimum menjadi lebih cepat.
Universitas Sumatera Utara
8
2.4 Matriks
