Contoh : 35 mod 8 = 3, dimana 35 = 48 + 3
2.5 Greatest Common Divisor GCD
Greatest common divisor GCD merupakan bilangan bulat terbesar yang merupakan pembagi yang sama dari dua bilangan bulat. Misalkan a dan b adalah 2 dua bilangan
bulat yang tidak nol. Greatest common divisor GCD dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar c sedemikian sehingga c|a dan c|b. Greatest common divisor GCD dari
a dan b dapat dinotasikan dengan gcda,b. Contoh :
GCD60,45 adalah : 60 mod 45 = 15
30 mod 15 = 0 Karena telah menghasilkan sisa pembagian sama dengan 0, maka proses berakhir dan
didapatlah GCD60,45 = 15.
2.6 Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif a, dimana a ≥ 2 hanya dapat dibagi
dengan 1 dan bilangan itu sendiri. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap. Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, …. Untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau bukan, kita cukup
membagi n dengan sejumlah bilangan prima, dengan syarat bilangan prima ≤ √n. Jika
n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n bukan bilangan prima, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n
adalah bilangan prima. Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu bilangan
bulat yaitu Rabin Miller, Pilih nilai p sebarang, lakukan perhitungan b dengan nilai b
adalah nilai jumlah perkalian 2 dibagi p-1 kemudian hitung nilai m dengan rumus:
p = 1 + 2 b m
1. pilih nilai random, a kurang dari p 2. set j = 0 set z = a
m
mod p
Universitas Sumatera Utara
3. jika = - 1 atau jika z = p -1 maka p valid akan kemungkinan prima 4. jika j 0 dan z = 1 maka p bukan prima
5. set j = j + 1, jika j b dan z p -1, set z = z
2
mod p dan lakukan proses 4 jika z = p-1, maka p valid kemungkinan prima
6. jika j=b dan z p-1 maka p bukan prima
2.7 Relatif Prima
Dua bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika GCDa,b = 1. Bilangan- bilangan
a1, a2, …, an adalah relatif prima berpasangan pairwise relatively prime jika GCDai, aj =
1 untuk 1 ≤ i j ≤ n. Dengan demikian, sekumpulan bilangan bisa ditunjukkan apakah relatif prima
atau tidak dengan mengevaluasi GCD dari semua pasangan bilangan yang mungkin. Jika GCD pasangan-pasangan tersebut semuanya bernilai 1, maka syarat pairwise
relatively prime dipenuhi. Sebaliknya, jika salah satu GCD dari pasangan bilangan tersebut tidak sama dengan 1, maka kumpulan bilangan tersebut bukan pairwise
relatively prime. Dan 2 dua bilangan prima pasti adalah pairwise relatively prime. Contoh :
GCD27,15 adalah : 27 mod 15 = 12
15 mod 12 = 3 12 mod 3 = 0
Bilangan-bilangan 27 dan 15 adalah bukan pairwise relatively prime karena GCD27,15 = 3.
GCD11,7 adalah : 11 mod 7 = 4
7 mod 4 = 3 4 mod 3 = 1
3 mod 1 = 0 Bilangan
– bilangan prima 11 dan 7 adalah pairwise relatively prime karena GCD11,7 = 1.
Universitas Sumatera Utara
2.8 Algoritma Euclid
Kategori