32
3.2 Jaringan Hopfield Modifikasi
Jaringan Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier, menggunakan prinsip jaringan Hopfield kontinu, karena nilai input dan output
yang diharapkan pada jaringan tidak hanya biner 0 atau 1, tetapi juga bilangan riil antara 0 sampai 1.
Jumlah neuron pada jaringan sama dengan jumlah variabel yang akan dicari solusinya. Hubungan antar neuron pada jaringan Hopfield modifikasi untuk
menyelesaikan persamaan nonlinier bergantung pada hubungan antar variabel persamaan dengan koefisien, yang diturunkan sebagai bobot pada jaringan.
Hubungan antar variabel pada persamaan nonlinier merupakan hubungan nonlinier, karena itulah jaringan Hopfield harus dimodifikasi. Arsitektur jaringan
Hopfield modifikasi untuk menyelesaikan persamaan nonlinier ditunjukkan pada gambar 3.3.
Gambar 3.3 Arsitektur Hopfield untuk menyelesaikan persamaan nonlinier
33
Gambar 3.3 menunjukkan sistem sebanyak neuron yang saling berhubungan
nonlinier. Unit-unit pengolah atau neuron dimodelkan sebagai amplifier dengan hubungan input-output nonlinier, yang ditunjukkan pada gambar sebagai fungsi
aktivasi, Fungsi ini diasumsikan dapat diturunkan, dan monoton
naik. Fungsi aktivasi yang paling umum adalah fungsi sigmoid, yaitu: 3.9
dengan potensial atau tegangan masuk, tegangan keluar. Setiap amplifier
mempunyai sebuah hambatan R, dan sebuah kapasitor C, yang terhubung dengan ke tanah. Pada rangkaian RC juga terdapat arus dari luar, dapat menjadi nilai bias,
yang secara efektif sebagai nilai masalah yang spesifik yang sesuai data pada masalah.
Hubungan nonlinier pada neuron, yaitu menggabungkan perkalian dan penjumlahan linier. Hal ini dilihat pada gambar, proses product perkalian
menghasilkan fungsi , dimana . Fungsi adalah
kombinasi dari peubah Output dari neuron perkalian secara
linier dikalikan dengan bobot , yang merupakan arus-arus masuk,
melalui resistor-resistor konduktansi , yang menghubungkan antara
neuron i dan neuron j, atau kekuatan sinapsis. Berdasarkan Hukum Kirchoff I [19], jumlah arus listrik yang masuk ke
suatu titik simpul sama dengan jumlah arus listrik yang keluar dari titik simpul tersebut. Hukum Kirchoff I secara matematis dapat dituliskan sebagai
. 3.10
34
Arus listrik adalah gerakan atau aliran muatan listrik. Muatan listrik dalam rangkaian, didefinisikan sebagai
, 3.11
dengan muatan listrik, kapasitansi, dan tegangan listrik. Dalam suatu selang
waktu , arus listrik yang mengalir
3.12 Karena pada rangkaian terdapat hambatan
, maka berlaku Hukum Ohm [20] atau
. 3.13
Jadi, arus listrik total yang bergerak pada rangkaian RC tersebut adalah ,
3.14
maka perubahan arus listrik I dalam setiap satuan waktu t .
3.15 Pada permasalahan ini, tegangan V adalah
, yang merupakan input pada neuron- j, dan berdasarkan persamaan 3.7, arus yang masuk ke amplifier, yang
merupakan input jaringan . 3.16
Output dari jaringan adalah . Fungsi aktivasi mempunyai invers
. Sehingga persamaan 3.16 dapat dituliskan kembali menjadi 3.17
Sama halnya dengan jaringan Hopfield biasa yang mempunyai fungsi energi, dimana fungsi energi akan menjadi semakin kecil
, seiring
35
pembaharuan kondisi pada jaringan. Oleh karena itu, dalam rangka memecahkan masalah, yang berupa persamaan atau sistem persamaan nonlinier, dengan metode
Hopfield modifikasi, masalah harus diformulasikan ke fungsi energi. Fungsi energi jaringan Hopfield pada masalah ini didefinisikan:
. 3.18 Persamaan 3.18 dapat ditulis
, 3.19 karena
merupakan persamaan atau sistem persamaan nonlinier, persamaan 2.7,
, dan , dengan
, maka persamaan 3.19 menjadi
3.20 dengan
, yang merupakan fungsi energi, untuk memformulasikan persamaan atau sistem
persamaan nonlinier. Jika formulasi fungsi energi tepat, maka fungsi energi dapat digunakan untuk mendapatkan nilai bobot dan bias dari jaringan, dengan cara
membandingkan persamaan 3.20 dengan persamaan 3.16. Perubahan kondisi jaringan dalam rangka mencari solusi, sesuai perubahan
kondisi input ke neuron-j terhadap waktu, yang ditunjukkan oleh persamaan diferensial berikut:
3.21
36
Simulasi numerik jaringan dengan bobot dan bias yang telah didapatkan, akan menghasilkan solusi yang diinginkan hingga prosedur konvergen terpenuhi.
Secara numerik, simulasi jaringan menggunakan metode Euler: 3.22
3.3 Algoritma Hopfield untuk Penyelesaian Persamaan dan Sistem Persamaan Nonlinier
Kategori