7
BAB II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Linier
Sebuah garis dalam dimensi dua dapat disajikan dalam bentuk aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk
. 2.1
Persamaan ini disebut persamaan linier dalam peubah dan [10]. Secara lebih
umum, persamaan linier didefinisikan dalam peubah
sebagai suatu persamaan yang dapat disajikan dalam bentuk
. 2.2
dengan koefisien, dan konstanta, .
Contoh persamaan linier: a.
, b.
. Penyelesaian dari persamaan 2.2 adalah barisan
bilangan sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, jika disubstitusikan nilai
. Sebuah sistem dari
buah persamaan-persamaan linier disebut sistem persamaan linier. Sistem persamaan linier dengan
peubah dinyatakan sebagai:
8
2.3
dengan koefisien, , dan konstanta,
. Dalam notasi matriks, persamaan 2.3 ditulis sebagai persamaan matriks
2.4 dengan
= matriks berukuran n x n,
= matriks berukuran n x 1, dan
= matriks berukuran n x 1
yaitu
. =
.
Solusi 2.3 adalah himpunan nilai yang memenuhi n buah
persamaan [2]. Contoh sistem persamaan linier: ,
, dalam bentuk matriks, sistem persamaan linier tersebut menjadi
. =
9
dengan penyelesaian , karena nilai-nilai ini memenuhi
kedua persamaan di atas.
2.2 Persamaan Nonlinier
Persoalan mencari solusi persamaan nonlinier dapat dirumuskan sebagai berikut:
adalah himpunan solusi dari 2.5
jika untuk setiap sedemikian sehingga sama dengan nol.
Persamaan nonlinier yang melibatkan fungsi transenden, diantaranya sinus, cosinus, eksponensial, logaritma, misalnya:
a. b. dalam bidang fisika, kecepatan ke atas sebuah roket dapat dihitung dengan
persamaan:
dengan kecepatan ke atas, kecepatan saat bahan bakar dikeluarkan,
massa awal roket, laju pemakaian bahan bakar, percepatan gravitasi,
waktu, c. suatu arus osilasi dalam rangkaian listrik
dengan waktu, dan arus.
Selain itu, persamaan nonlinier juga melibatkan fungsi non transenden, yaitu persamaan polinomial. Bentuk umum persamaan polinomial satu variabel
. 2.6
10
Contoh persamaan polinomial: a. satu variabel,
, ,
b. dua variabel, dan ,
. Sistem dengan n buah persamaan nonlinier, yang harus diselesaikan secara
simultan dalam suatu sistem disebut sitem persamaan nonlinier. Dalam matematika, salah satu masalah penyelesaian sistem persamaan nonlinier
diaplikasikan dalam mencari titik potong antara 2 kurva, misalnya kurva parabola dan elips
. Hingga diperoleh solusi -0.2, 1 dan 1.9, 0.3, yang memenuhi 2 kurva tersebut. Bentuk umum sistem
persamaan nonlinier dapat ditulis sebagai berikut: .
2.7 Pada persamaan 2.7,
. adalah fungsi dari variabel-variabel dan
adalah bilangan real konstan. Penyelesaian sistem persamaan 2.7 adalah himpunan
dimana dan memenuhi
, untuk setiap .
2.3 Solusi Persamaan Nonlinier
Kategori