b Jika = { , , } dan
1
= { , , }, ,
1
adalah pemutu
s , sehingga
,
1
= , + , + , = 2 + 1 + 3 = 6
1
, = , = 1
,
= ,
1
−
1
, = 6
− 1 = 5 dengan kapasitas
,
1
= , + , + , = 5 + 2 + 4 = 11 terlihat bahwa
,
1
−
1
, ,
1
,
1
. Dari Contoh 4.3, menunjukkan bahwa aliran
,
dari ke akan sama meskipun melalui pemutus-
, yang berbeda. Dalam hal ini, nilai aliran
,
dari ke sama dengan 5 melalui dua pemutus-
, , yaitu
, , { , , , } dan
, , , { , , } . Terlihat bahwa
,
= ,
1
−
1
, ,
1
,
1
.
4.2 Konsep Aliran Maksimum pada Jaringan
Definisi 4.1
Misalkan adalah sebuah aliran dari titik sumber ke titik tujuan pada jaringan , dan misalkan adalah graf dasar , maka terdapat lintasan pada .
adalah inkremen lintasan peningkatan , menurut Clark Holton 1995: 268, didefinisikan sebagai berikut,
= min adalah busur yang bersesuaian dengan sisi di mana
adalah inkremen pada busur , didefinisikan sebagai berikut, =
− , jika busur maju
, jika busur balik
sebuah lintasan dengan
= 0 dikatakan jenuh f saturated, sedangkan lintasan dengan
0 dikatakan tak jenuh f unsaturated disebut lintasan augmentasi. Selanjutnya, lintasan augmentasi dari titik sumber ke titik tujuan
dinamakan sebuah lintasan peningkatan.
Lemma 4.2
Misalkan sebuah aliran bernilai
,
dari titik sumber ke titik tujuan pada jaringan . Jika terdapat lintasan dari titik ke titik dengan
= 0, definisikan fungsi
1
pada himpunan Γ sebagai berikut:
1
= + , jika busur maju terhadap ,
1
= − jika busur balik terhadap ,
1
=
, jika busur
yang lainnya. Maka
1
adalah aliran dari titik ke titik pada N dengan nilai
,
+ Budayasa, 2007: 236.
Bukti:
Berdasarkan definisi = 0, dan = min{ }, maka positif.
Oleh sebab = −
jika busur maju , dan = jika busur
balik terhadap , berakibat:
1
= +
= −
= 0
Jelas
1
.
Karena positif, maka adalah lintasan augmentasi.
Selanjutnya, lintasan augmentasi dari titik sumber ke titik tujuan dinamakan sebuah lintasan
peningkatan dimana aliran pada busur yang melewati titik-titik pada lintasan peningkatan boleh berubah. Untuk memeriksa bahwa aliran
1
memenuhi sifat
+ −
+ +
+ −
− −
konservasi aliran, maka aliran pada busur yang terkait dengan titik-titik antara titik selain dan perlu dicek.
Misalkan, dipunyai titik titik antara pada lintasan peningkatan , maka dua busur yang terkait dengan titik diilustrasikan sebagai berikut.
Gambar 4.4. Ilustrasi aliran pada busur maju dan busur balik. Dari ilustrasi di atas, aliran yang masuk ataupun keluar dari titik tidak berubah,
dengan demikian memenuhi sifat konservasi aliran sebagai berikut: =
�
,
�
∀ � −
,
.
Akan ditunjukkan lintasan peningkatan yang alirannya ditingkatkan oleh . Lintasan peningkatan ini dimulai dari titik sumber , misalkan busur
1
adalah busur yang terkait dengan titik sumber pada lintasan peningkatan . Sehingga,
1 1
=
1
+ , jika
1
busur maju terhadap ,
1 1
=
1
− , jika
1
busur balik terhadap ,
1 1
=
1
,
jika busur
1
bukan busur yang terdapat pada lintasan . Dari definisi aliran untuk titik sumber , pada persamaan 4 sebagai berikut
, − , =
,
, diperoleh
1
− 0 =
,
artinya
1
=
,
. Sehingga diperoleh nilai
1
=
1
−
1
=
1 1
− 0
=
1
+ syarat positif
=
,
+ .
x x
x x
Teorema 4.3 Teorema Maximal Flow-Minimal Cut
Misalkan sebuah jaringan dengan titik sumber dan titik tujuan . Maka terdapat sebuah aliran maksimum pada Budayasa, 2007: 238-239.
Bukti: Misalkan sebuah aliran dengan nilai dari ke pada jaringan .
Definisikan himpunan sebagai berikut: sedemikian hingga
= atau ada lintasan , pada graf dasar yang
inkremennya positif. Maka ada dua kemungkinan letak titik , yaitu � atau
�
1
= − .
Jika � , berdasarkan definisi , terdapat lintasan dari titik ke titik dengan
= 0. Sehingga berdasarkan lemma 4.2, aliran dapat direvisi menjadi aliran
1
, sedemikian hingga
1
= + jika busur maju pada
,
1
= − jika busur balik pada ,
1
= jika busur yang
tidak terletak pada . Aliran
1
bernilai +
karena 0. Jadi
1
adalah aliran dari ke di yang nilainya lebih besar dari nilai aliran . Dikatakan,
aliran
1
adalah revisi aliran . Selanjutnya menggunakan aliran
1
pada , cari himpunan seperti sebelumnya. Jika titik tujuan menjadi anggota , maka
berdasarkan definisi , terdapat lintasan
1
dari ke dengan
1
=
1
0. Berdasarkan lemma 4.2, bentuk aliran
2
dari
1
sedemikian hingga:
2
=
1
+
1
jika busur maju pada
1, 2
=
1
−
1
jika a busur balik pada
1,
dan
2
=
1
untuk busur yang lainnya. Aliran
2
bernilai +
+
1
, lebih besar dari nilai aliran
1
karena
1
0. Jadi aliran
2
merupakan revisi dari
aliran
1
didasarkan atas lintasan peningkatan
1
. Proses merevisi aliran seperti itu dapat dilanjutkan sampai diperoleh suatu aliran, katakan aliran
∗
, sedemikian hingga terhadap aliran
∗
pada , himpunan tidak memuat titik , atau .
Ini berarti, tidak ada lagi lintasan pada graf dari ke yang inkremennya
positif. Selanjutnya, akan ditunjukkan
∗
adalah aliran maksimum pada . Untuk itu cukup ditunjukkan bahwa nilai aliran
∗
sama dengan kapasitas sebuah pemutus-
, pada . Klaim 1. Jika
� , �
1
= − , dan
, � Γ , maka
∗
, = , .
Andaikan
∗
, , . Karena
, busur maju, maka
, 0. Selanjutnya, karena
� , maka ada lintasan
′
dari ke dengan
′
0 dan karena
, 0, maka ada lintasan dari ke lewat yang inkremennya positif. Berdasarkan definisi , maka
� kontradiksi dengan .
Klaim 2. Jika � , �
1
= − , dan
, � Γ , maka
∗
, = 0.
Andaikan
∗
, 0. Karena
, busur balik maka
, =
∗
, 0. Seperti sebelumnya, karena
� , maka ada lintasan ′ dari ke dengan
′
0 dan karena , 0, maka pada graf dasar ada lintasan dari ke lewat
yang inkremennya positif. Berdasarkan definisi , maka � kontradiksi bahwa
titik terletak di dalam
1
= − .
Berdasarkan klaim 1 dan klaim 2, secara berturut-turut diperoleh
∗
,
1
= ,
1
dan
∗ 1
, = 0.
Berdasarkan teorema 4.1 Nilai aliran
∗
=
∗
,
1
−
∗ 1
, =
,
1
− 0 = ,
1
.
Karena ,
1
sebuah pemutus- , pada dan nilai
∗
= ,
1
, maka
∗
adalah aliran maksimum di dan
,
1
adalah sebuah pemutus- , minimum pada jaringan .
Contoh 4.4: Diberikan graf N sebagai berikut.
Gambar 4.5. Jaringan dengan aliran bernilai 9. Graf
adalah jaringan dengan aliran bernilai 9 dengan pemutus-
, minimum, yaitu
,
1
= , , , , , = { , , , , , } ,
1
= , + , + , = 4 + 2 + 3 = 9
,
1
= , + , + , = 4 + 2 + 3 = 9. Menurut teorema Maximal Flow-Minimal Cut aliran maksimum dari ke
dalam sama dengan kapasitas pemutus-
, minimum. Dari contoh 4.4, diperoleh
,
1
= ,
1
atau =
,
1
= 9, terlihat bahwa semua busur dalam himpunan
,
1
adalah jenuh karena ,
1
= ,
1
.
4;4 a
b c
d t
s 6;5
3;0 5;4
2;2
3;3 4;0
8;6
3;3
4.3 Algoritma Ford-Fulkerson
