26
pembobotan k
i
yang kecil, berbeda dengan metode jackknife biasa dimana pembobotnya merupakan konstanta k
i
= 1 untuk semua area. Kedua metode tersebut, jackknife terboboti maupun jackknife biasa
memiliki sifat approximately unbiased untuk m yang besar Chen dan Lahiri, 2005.
Berbagai pengembangan model taraf area,
T i
i i
i
y x
e
, telah
banyak dibahas dalam berbagai literatur meliputi model dengan correlated sampling errors
i
e
, spatially correlated model errors
i
, dan time series serta cross-sectional models Rao, 2003. Beberapa
penelitian yang membahas pengembagan model spasial dalam SAE seperti Petrucci, Pratesi dan Salvati 2005 serta Petrucci dan Salvati
2006. Rao 2003 menyajikan berbagai perkembangan model pendugaan area kecil dengan memanfaatkan data-data dari survei
yang dilakukan secara berulang data deret waktu, walaupun kajian ini masih terbatas pada penggunaan model AR atau random walk.
Namun demikian model yang banyak digunakan untuk SAE dengan data deret waktu adalah model yang dikembangkan oleh Rao dan Yu
1994.
2.4. Konsep dan Sifat Statistik Penduga Bayes
Pada sub-bab berikut disajikan ulasan tentang inferensi pada model pendugaan area kecil dengan metode Bayes.
2.4.1. Review Metode Bayes
Perhatikan fungsi kepekatan peluang fkp atau fungsi massa peluang fmp peubah acak Y dengan syarat
diketahui, Y ~ f
Y
y| . Jika
adalah parameter yang diasumsikan sebagai peubah acak tidak diobservasi unobservational random variable dengan prior fkpfmp
, maka fungsi fkpfmp bersama dari Y dan adalah fy, = f
Y
y|
. Untuk kasus Y dan kontinu, fkp marginal bagi Y adalah fy =
fy, d, dan fkp posterior bagi dengan syarat Y = y adalah
27
|y = fy
θ fy,
. Misalkan dy adalah suatu fungsi keputusan yaitu suatu fungsi yang
memetakan semua kemungkinan keputusan berdasarkan contoh acak. L
, d adalah fungsi kerugian lost function yang berupa bilangan nyata sedemikian sehingga L
, d 0 d dan L , d = 0 hanya untuk d dimana
ˆ
= . Fungsi resiko risk function adalah nilai
tengah dari kemungkinan kerugian, R , d = E
Y
[L , d] dan Resiko
Bayes didefinisikan R = E
[R , d].
Penduga Bayes diperoleh dengan meminimumkan resiko Bayes, R ,
sehingga : R
= E
[R , d]
= R , d d
= L , d fy| dy d
= L , d fy , dy d
= L , d |y fy dy d
= fy [ L , d |y d] dy .
Untuk meminimumkan fungsi di atas sebenarnya cukup dengan meminimumkan fungsi
L , d |y d.
Jika kita ambil L , d = - d
2
adalah galat kuadrat, maka L , d |y d = - d
2
|y d =
2
|y d - 2d |y d + d
2
|y d =
2
|y d - 2d |y d + d
2
1
d δ
δ
2
|y d - 2d |y d + d
2
1 = 0 2d – 2 |y d = 0
d = |y d
d = E |y adalah penduga bayes bagi .
Dengan demikian jika kita menggunakan fungsi kerugian kuadratik L
, d = - d
2
28
dimana d adalah fungsi keputusan, maka penduga bagi adalah
B
ˆ = E|y =
|y d, 2.6
sedangkan ragam dari
B
ˆ , Var
B
ˆ , adalah Var|y.
2.4.2. Empirical Bayes pada Model SAE
Perhatikan
i
θˆ
BP
=
i
θˆ
y
i
| ,
2
juga adalah penduga Bayes bagi
i
berdasarkan model Bayes berikut: i
y
i
|
i
~ N
i
,
2 i
ii
i
~ N
2
,
T i
x
adalah sebaran prior bagi
i
untuk i = 1, 2, ..., m.
Penjabaran model Bayes di atas adalah: fy
i
|
i
=
2
2 1
i 2
2
1 exp -
2
i
i i
y
dan
i
| ,
2
=
2
2 1
i 2
2
1 exp -
2
T i
x
, sehingga
fy, |,
2
=
2 2
m 2
2 1
1 i
i 2
2 2
2 i 1
1 1
exp - exp -
2 2
i
T i
i i
y x
untuk y = y
1
, y
2
, ..., y
m T
, =
1
,
2
, …,
m T
. Kita perhatikan dua bentuk fungsi eksponensial tanpa faktor -12
dari fy, |,
2
,
2 2
i i
2 2
1 1
T i
i i
y x
=
2 2
2 2
i i
i 2
2
1 1
2 - 2
T T
i i
i i i
i
y y
x x
=
2 i
i 2
2 2
2
1 1
- 2
T i
i i
i i
y x
29
=
i 2
2 2
2 2
2 2
i 2
2 2
2 2
2 2
2
2 1
1 -
x 1
1 1
1 1
1
T T
T i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
y x
y x
y x
=
2 2
2 i
2 2
2 2
1 1
- 1
1
T i
i i
i i
i
y x
dengan
i
adalah suatu konstanta yang bebas dari
i
. Dengan demikian aproksimasi sebaran posterior bagi
i
jika y
i
, dan
2
masing-masing diketahui adalah
i
|y
i
, ,
2
~ N
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
,
T i
i i
i i
y x
~ N
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
,
T i
i i
i i
i i
i
y x
~ N
2 2
2 2
2 2
2 2
,
T i
i i
i i
i
y x
~ N
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
,
T i
i i
i i
i i
y x
~ N
2 2
2 2
1 ,
T i
i i
i i
i
y x
dengan
i
=
2
2
+
2 i
.
Jadi dapat diperlihatkan bahwa
B i
θˆ
= E
i
|y
i
, ,
2
=
1
T i
i i
i
y x
; dengan
i
=
2
2
+
2 i
.
Berdasarkan uraian di atas, dapat diperlihatkan bahwa penduga
B i
θˆ
dan
BP i
θˆ
adalah identik untuk kasus normal. Namun kelebihan metode
30
Bayes dapat diterapkan secara lebih umum untuk berbagai sebaran gabungan dari y
i
dan
i
.
Lebih lanjut, jika
2
dan terlebih dulu diduga dari data, penduga
Bayes kemudian dikenal sebagai penduga empirical Bayes,
EB i
θˆ
. Menurut Rao 1999, pendekatan empirical Bayes tidak berbeda
dengan pendekatan frequentis karena hanya digunakan untuk menghubungkan model percontohan yang kemudian divalidasi oleh
data pengamatan. Pada pendekatan ini tidak ada sebaran prior untuk parameter model seperti pada pendekatan hierarki Bayes.
Perhatikan MSE
i
θˆ
EB
yang diperoleh dari ragam sebaran posterior untuk kasus normal, yaitu
i
|y
i
, ,
2
~ N
1 1
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
,
T i
i i
i i
y x
,
sehingga MSE
i
θˆ
EB
= Var
i
|y
i
, , A =
2 2
2 2
i i
= g
1i 2
. Penduga MSE
i
θˆ
EB
ini jelas bersifat underestimate karena pengaruh pendugaan
2
dan .
Jika
2
adalah suatu bilangan tidak negatif yang diketahui dan
E
adalah suatu fungsi indikator yaitu bernilai 1 jika kejadian E terjadi dan bernilai 0 untuk kondisi lainnya, maka metode momen terboboti
menurut Chen 2001 untuk menduga
2
adalah
2
ˆ
=
2
2
0
+
2
2
dengan :
2
= - c
= m – p
-1
m 2
i OLS
i=1
ˆ y - x
T i
c = m – p
-1
2 1
m i
i i
w
OLS
ˆ
= X‟X
-1
X
T
Y w
i
= 1 - h
ii
31
h
ij
= x
i T
X
T
X
-1
x
j
, untuk i, j = 1, 2, ..., m. Adapun β biasanya disubstitusi oleh penduganya yang diperoleh
berdasarkan metode kuadrat terkecil terboboti
ˆ =
ˆ
2
ˆ
= X
T
V ˆ
-1
X
-1
X
T
V ˆ
-1
Y dengan
V ˆ
= Diag
2
ˆ
+
2 1
,
2
ˆ
+
2 2
, ...,
2
ˆ
+
2 m
.
Chen 2001 serta Chen dan Lahiri 2005 mengusulkan suatu metode yang diberi nama weighted jackknife yang merupakan pengembangan
dari teknik jackknife Wan 1999 untuk menduga MSE dari
i
θˆ
y
i
|
2
ˆ
, yaitu
MSE[
i
θˆ
y
i
|
2
ˆ
]
WJ
= h
1i WJ
+ h
2i WJ
dengan h
1i WJ
= H
1i 2
ˆ
-
m 2
2 1i
1i 1
ˆ ˆ
H -H
u u
u
w
h
2i WJ
=
2 2
2 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
| |
m u
i i
u i
i u
w y
y
, dan
2
ˆ
u
=
2
2 u
0
+
2 u
2 u
0 2
u
=
u
- c
u
= m – p – 1
-1 2
i OLS,-u
i u
ˆ y - x
T i
OLS,-u
ˆ
= X
T u
X
u -1
X
T u
Y
u
i
θˆ
y
i
|
2 u
=
OLS,-u
ˆ x
T i
+ 1 –
i,-u
B ˆ
i OLS,-u
ˆ y - x
T i
u -
ˆ
=
u -
ˆ
2
ˆ
u
= X
T u
V ˆ
-1 u
X
u -1
X
T u
V ˆ
-1 u
Y
u
i,-u
B ˆ
=
2 i
2
ˆ
u
+
2 i
Dalam persamaan di atas X
u
diperoleh dari matriks data X dengan menghapus baris ke-u u = 1, 2, ..., m, begitu pula dengan Y
u
.
V ˆ
u
diperoleh dengan menghapus baris ke-u dan kolom ke-u dari
V ˆ
dan substitusikan
2
ˆ
u
terhadap
2
ˆ
untuk u = 1, 2, ..., m.
32
2.4.3. Bayes Berhierarkhi pada Model SAE
