STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 7

C. Elips

Titik pusat (0, 0)

Titik pusat (h, k)

2 2 2 x 2 y − x h  − y k  Persamaan elips

a b  a   b  Sumbu utama

Sumbu x

Garis y = k

Fokus

(c+h, k) dan ( −c+h, k) Puncak

(c, 0) dan ( −c, 0)

(a+h, k) dan ( −a+h, k) Garis singgung

(a, 0) dan ( −a, 0)

xx 1 yy 1 ( x − h )( x 1 − h )( y − k )( y −

1 k = ) = 1 di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 a 2 b a b

Gradien m

2 2 2 2 2 y 2 = mx ± a m + b y − k = m ( x − h ) ± a m + b

2 Bentuk Umum persamaan elips 2 : A x + B y + C x + D y + E = 0

Titik pusat (0, 0)

Titik pusat (h, k)

2 2 2 y 2 x − y k  − x h  Persamaan elips

a 2 b 2  a   b  Sumbu utama

Sumbu y

Garis x = h

Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, c+k) dan (h, −c+k) Puncak

(0, a) dan (0, −a) (h, a+k) dan (h, −a+k) Garis singgung

yy 1 xx 1 ( y − k )( y − k )( x − h )( x − h )

di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 a 2 b a b

2 2 2 2 2 y 2 = mx ± b m + a y − k = m ( x − h ) ± b m + a

Gradien m

• Hubungan antara a, b, dan c :

2 2 2 a = b + c a = 1 sumbu panjang(mayor)

b= 1 sumbu pendek (minor)

2 2c = jarak dua fokus

• Kedudukan garis terhadap elips, sama seperti pada lingkaran dan parabola

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar elips

Misal :

2 2 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik ( −2, −1) pada elips 5 x +y = 5 Penyelesaian :

• Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−2, −1) adalah :

y+ 1 = m (x + 2) y = mx + 2m −1

2 2 • Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips 5 x +y = 5 adalah

( 3 m + 2 )( m − 2 ) = 0

∴Jadi persamaan garis singgungnya :

2 x +y 3 + 7 = 0 atau y =x 2 + 3

Latihan dan Pembahasan

2 1. Salah satu koordinat fokus elips 2 9 x + 25 y + 18 x − 100 y = 116 adalah ….

( x + 2 x + 1 )( + 25 y − 4 y + 4 ) = 116 + 9 + 100

Koordinat fokus ( −1 + 4, 2) dan (−1−4, 2)

= (3, 2) dan ( −5, 2)

Kunci : C

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2. Elips yang berpuncak di titik (0, ± 6) melalui titik (3, 2) persamaannya adalah….

Elips dengan puncak (0, ±6), persamaannya :

36 b 2

Melalui (3, 2), maka :

36 b 2

∴Persamaan elips :

Kunci :B

2 3. Salah satu persamaan garis singgung pada elips 2 x + 4 y − 4 x − 8 y − 92 = 0 yang bersudut 0 135 dengan sumbu X positif adalah ….

( x − 4 x + 4 )( + 4 y − 2 y + 1 ) = 92 + 4 + 4

x − 2 ) + 4 ( y − 1 ) = 100

Persamaan garis singgung dengan m = −1 adalah

y − 1 = − 1 ( x − 2 ) ± 100 . 1 + 25

y − 1 = − x + 2 ± 5 5 y =x − + 3 + 5 5 atau y =x − + 3 − 5 5

Kunci : A

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

D. Hiperbola

Titik pusat O(0,0)

Titik pusat (h, k)

Persamaan

hiperbola

Sumbu utama

Sumbu x

y=k

(c+h, k) dan ( −c+h, k) Puncak

Fokus

(c, 0) dan ( −c, 0)

(a+h, k) dan ( −a+h, k) Asimtot

(a, 0) dan ( −a, 0)

xx 1 yy 1 ( x − h )( x − h )( y − k )( y − k )

Garis singgung

di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 2

Gradien m

2 2 2 2 2 y 2 = mx ± a m − b y − k = m ( x − h ) ± a m − b

2 Bentuk Umum persamaan hiperbola 2 : A x + B y + C x + D y + E = 0

Titik pusat (0, 0)

Titik pusat (h, k)

2 2 2 Persamaan 2 y x (

= 1 hiperbola

Sumbu utama

Sumbu y

x=h

Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, k+c) dan (h, k −c) Puncak

(0, a) dan (0, −a) (h, k+a) dan (h, k−a)

Asimtot

yy 1 xx 1 ( y − k )( y 1 − k )( x − h )( x 1 − h )

Garis singgung

di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 −

a b a b Gradien m

2 2 2 2 2 y 2 = mx ± a − b m y − k = m ( x − h ) ± a − b m

• Hubungan antara a, b, dan c :

e = > 1 , e = eksentrisitas

• Kedudukan garis terhadap hiperbola, sama seperti pada lingkaran, parabola, dan elips.

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar hiperbola

Misal :

2 2 Tentukan persamaan garis singgung di titik ( −1, 1) pada hiperbola 4 x −y 8 = 32

Penyelesaian : Hiperbola 4 x −y 8 = 32 − = 1

•Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah: y −1 = m(x + 1) atau y = mx+ m +1

2 x 2 y •Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola

adalah 2 y = mx ± 8 m − 4

2 2 mx + m + 1 = mx ± 8 m − 4 7 m −m 2 − 5 = 0

7 m + 5 )( m − 1 ) = 0

5 m = − atau m = 1

Persamaan garis singgungnya :

y = − 5+ atau 7 y = − 5 x + 2

7 7 dan y =x + 2

Latihan dan Pembahasan

1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X, dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 30 0 dengan sumbu X

positip adalah …. 2 2 2 2 2 x 2 y x y y x

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2 2 100 = 3 b + b a = 5 3 ; sumbu utama adalah sumbu X

b = 25 Persamaan hiperbola adalah :

b=5

Kunci : C

2 2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 2 9 x − 16 y − 72 x + 32 y = 16 adalah ….

( x − 8 x + 16 )( − 16 y − 2 y + 1 ) = 16 + 144 –16

Kunci :D

3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola

yang tegak lurus garis x −y + 7 = 0 adalah ….

Gradien garis x −y + 7 = 0 adalah m 1 = 1

Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah m 2 = − 1 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

x − 1 ) ± 8 . () − 1 − 4

y − 2 = − x + 1 ± 2 y =x − + 5 atau y =x − + 1

Kunci :C

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

VII.2. Transformasi

1. Jenis-jenis transformasi

a. Translasi (pergeseran)

b. Refleksi (pencerminan)

c. Rotasi (perputaran)

d. Dilatasi (perkalian atau perbesaran)

2. Setiap matriks transformasi dapat ditentukan dengan mencari hasil suatu transformasi titik (1, 0) dan (0, 1). Peta (bayangan) titik (1, 0) sebagai kolom pertama matriks, sedangkan peta (bayangan) titik (0, 1) sebagai kolom kedua. Contoh : Karena refleksi terhadap sumbu X maka peta titik (1, 0) petanya

adalah (1, 0), sedangkan peta titik (0, 1) adalah (0, −1). Jadi matriks  1 0 

yang bersesuaian dengan refleksi terhadap sumbu X adalah 

3. Komposisi transformasi

a. Komposisi dua translasi berturutan T 1 dilanjutkan T 2 dapat diganti dengan translasi tunggal.

T 1 o T 2 ( x , y )( = T 1 o T 2 )( x , y )

Misal : T 1 =   , T 2 =   maka T 1 o T 2 =

b 

 b + d  

b. Komposisi dua refleksi berturutan menghasilkan translasi dua kali jarak antara dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi.

Jika M 1 = refleksi terhadap garis x = a M 2 = refleksi terhadap garis x = b

maka : P ( x , y )   2    1 → P ′ ( 2 ( b − a ) + x , y )

Jika M 1 = refleksi terhadap garis y = c M 2 = refleksi terhadap garis y = d

maka : P ( x , y )   2    1 → P ′ ( x , 2 ( d − c ) + y )

c. Komposisi dua refleksi berturutan terhadap dua sumbu yang berpotongan (tegak lurus atau tidak tegak lurus) dapat diganti dengan suatu rotasi yang :

1. Berpusat pada titik potong dua sumbu

2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu

3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Misal :

X = refleksi terhadap sumbu X berpotongan tegak lurus Y = refleksi terhadap sumbu Y

H = Rotasi sebesar π pusat O

X o Y () a b , = Y o X () a b , = H () a , b

d. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar θ 1 dilanjutkan θ 2 dapat diganti

dengan rotasi sebesar ( θ 1 + θ 2 ) dengan pusat yang sama.

Contoh :

0 Tentukan peta titik (2, 4) karena rotasi pusat O sebesar 20 dilanjutkan 0 40 .

e. Komposisi transformasi dengan matriks. Contoh :

Tentukan peta titik (2, 4) karena refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan π

terhadap garis y = x dan dilanjutkan rotasi pusat O bersudut .

= R () σ, π

o ( M y = x ) o ()

Jawab :

4 X    4 

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Suatu bangun A ditransformasikan dengan matriks   , hasilnya  c d 

A′ dengan luas A ′ = ad − bc luas A

Contoh : Hitung luas ∆ ABC dengan A(3, 1), B(7, 1), dan C(7, 4) karena

transformasi oleh matriks 

Jawab :L= ⋅ 3 ⋅ 4 = 6

2 L= A ′ B ′ C ′ = 6 - 2 ⋅ 6 = 24 satuan luas

g. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi.

Contoh : Tentukan persamaan bayangan garis x +y 3 + 2 = 0 oleh  2 3 

transformasi yang berkaitan dengan matriks 

Jawab : Misal : (a, b) pada kurva x +y 3 + 2 = 0 , maka a +b 3 + 2 = 0

Jika ( a ′ , b ′ ) adalah peta (a, b) karena tranformasi 

sehingga : a + 3b + 2 = 0

( 2 a ′ − 3 b ′ )( + 3 − a ′ + 2 b ′ ) + 2 = 0

− a ′ + 3 b ′ + 2 = 0 ∴Petanya adalah : − x + 3 y + 2 = 0

Contoh :

1. Tentukan bayangan titik (4, 2) karena rotasi pusat O sebesar π, dilanjutkan dilatasi pusat (1, 2) dengan faktor skala 2.

Jawab : (4, 2) R(0, π ) ( − 4, − 2 )

Titik ( −4, −2) karena [ A(1, 2), 2 ] adalah 

∴Petanya adalah (−9, −6)

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2. Tentukan bayangan titik (2, −3) karena refleksi terhadap garis x = 3, dilanjutkan x = 5.

Jawab : M 1 = refleksi terhadap x = 3

M 2 = refleksi terhadap x = 5