STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 7
C. Elips
Titik pusat (0, 0)
Titik pusat (h, k)
2 2 2 x 2 y − x h − y k Persamaan elips
a b a b Sumbu utama
Sumbu x
Garis y = k
Fokus
(c+h, k) dan ( −c+h, k) Puncak
(c, 0) dan ( −c, 0)
(a+h, k) dan ( −a+h, k) Garis singgung
(a, 0) dan ( −a, 0)
xx 1 yy 1 ( x − h )( x 1 − h )( y − k )( y −
1 k = ) = 1 di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 a 2 b a b
Gradien m
2 2 2 2 2 y 2 = mx ± a m + b y − k = m ( x − h ) ± a m + b
2 Bentuk Umum persamaan elips 2 : A x + B y + C x + D y + E = 0
Titik pusat (0, 0)
Titik pusat (h, k)
2 2 2 y 2 x − y k − x h Persamaan elips
a 2 b 2 a b Sumbu utama
Sumbu y
Garis x = h
Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, c+k) dan (h, −c+k) Puncak
(0, a) dan (0, −a) (h, a+k) dan (h, −a+k) Garis singgung
yy 1 xx 1 ( y − k )( y − k )( x − h )( x − h )
di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 a 2 b a b
2 2 2 2 2 y 2 = mx ± b m + a y − k = m ( x − h ) ± b m + a
Gradien m
• Hubungan antara a, b, dan c :
2 2 2 a = b + c a = 1 sumbu panjang(mayor)
b= 1 sumbu pendek (minor)
2 2c = jarak dua fokus
• Kedudukan garis terhadap elips, sama seperti pada lingkaran dan parabola
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar elips
Misal :
2 2 Tentukan persamaan garis singgung melalui titik ( −2, −1) pada elips 5 x +y = 5 Penyelesaian :
• Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−2, −1) adalah :
y+ 1 = m (x + 2) y = mx + 2m −1
2 2 • Persamaan garis singgung dengan gradien m pada elips 5 x +y = 5 adalah
( 3 m + 2 )( m − 2 ) = 0
∴Jadi persamaan garis singgungnya :
2 x +y 3 + 7 = 0 atau y =x 2 + 3
Latihan dan Pembahasan
2 1. Salah satu koordinat fokus elips 2 9 x + 25 y + 18 x − 100 y = 116 adalah ….
( x + 2 x + 1 )( + 25 y − 4 y + 4 ) = 116 + 9 + 100
Koordinat fokus ( −1 + 4, 2) dan (−1−4, 2)
= (3, 2) dan ( −5, 2)
Kunci : C
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Elips yang berpuncak di titik (0, ± 6) melalui titik (3, 2) persamaannya adalah….
Elips dengan puncak (0, ±6), persamaannya :
36 b 2
Melalui (3, 2), maka :
36 b 2
∴Persamaan elips :
Kunci :B
2 3. Salah satu persamaan garis singgung pada elips 2 x + 4 y − 4 x − 8 y − 92 = 0 yang bersudut 0 135 dengan sumbu X positif adalah ….
( x − 4 x + 4 )( + 4 y − 2 y + 1 ) = 92 + 4 + 4
x − 2 ) + 4 ( y − 1 ) = 100
Persamaan garis singgung dengan m = −1 adalah
y − 1 = − 1 ( x − 2 ) ± 100 . 1 + 25
y − 1 = − x + 2 ± 5 5 y =x − + 3 + 5 5 atau y =x − + 3 − 5 5
Kunci : A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
D. Hiperbola
Titik pusat O(0,0)
Titik pusat (h, k)
Persamaan
hiperbola
Sumbu utama
Sumbu x
y=k
(c+h, k) dan ( −c+h, k) Puncak
Fokus
(c, 0) dan ( −c, 0)
(a+h, k) dan ( −a+h, k) Asimtot
(a, 0) dan ( −a, 0)
xx 1 yy 1 ( x − h )( x − h )( y − k )( y − k )
Garis singgung
di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 2
Gradien m
2 2 2 2 2 y 2 = mx ± a m − b y − k = m ( x − h ) ± a m − b
2 Bentuk Umum persamaan hiperbola 2 : A x + B y + C x + D y + E = 0
Titik pusat (0, 0)
Titik pusat (h, k)
2 2 2 Persamaan 2 y x (
= 1 hiperbola
Sumbu utama
Sumbu y
x=h
Fokus (0, c) dan (0, −c) (h, k+c) dan (h, k −c) Puncak
(0, a) dan (0, −a) (h, k+a) dan (h, k−a)
Asimtot
yy 1 xx 1 ( y − k )( y 1 − k )( x − h )( x 1 − h )
Garis singgung
di titik ( x 1 , y 1 ) 2 2 2 −
a b a b Gradien m
2 2 2 2 2 y 2 = mx ± a − b m y − k = m ( x − h ) ± a − b m
• Hubungan antara a, b, dan c :
e = > 1 , e = eksentrisitas
• Kedudukan garis terhadap hiperbola, sama seperti pada lingkaran, parabola, dan elips.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
• Persamaan garis singgung melalui suatu titik di luar hiperbola
Misal :
2 2 Tentukan persamaan garis singgung di titik ( −1, 1) pada hiperbola 4 x −y 8 = 32
Penyelesaian : Hiperbola 4 x −y 8 = 32 − = 1
•Persamaan garis dengan gradien m melalui titik (−1, 1) adalah: y −1 = m(x + 1) atau y = mx+ m +1
2 x 2 y •Persamaan garis singgung dengan gradien m pada hiperbola
adalah 2 y = mx ± 8 m − 4
2 2 mx + m + 1 = mx ± 8 m − 4 7 m −m 2 − 5 = 0
7 m + 5 )( m − 1 ) = 0
5 m = − atau m = 1
Persamaan garis singgungnya :
y = − 5+ atau 7 y = − 5 x + 2
7 7 dan y =x + 2
Latihan dan Pembahasan
1. Persamaan hiperbola dengan jarak dua fokus = 20, sumbu utama adalah sumbu X, dengan pusat O dan asimtot membentuk sudut 30 0 dengan sumbu X
positip adalah …. 2 2 2 2 2 x 2 y x y y x
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2 2 100 = 3 b + b a = 5 3 ; sumbu utama adalah sumbu X
b = 25 Persamaan hiperbola adalah :
b=5
Kunci : C
2 2. Salah satu persamaan asimtot hiperbola 2 9 x − 16 y − 72 x + 32 y = 16 adalah ….
( x − 8 x + 16 )( − 16 y − 2 y + 1 ) = 16 + 144 –16
Kunci :D
3. Salah satu persamaan garis singgung pada hiperbola
yang tegak lurus garis x −y + 7 = 0 adalah ….
Gradien garis x −y + 7 = 0 adalah m 1 = 1
Gradien garis singgung yang tegak lurus garis tersebut adalah m 2 = − 1 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :
x − 1 ) ± 8 . () − 1 − 4
y − 2 = − x + 1 ± 2 y =x − + 5 atau y =x − + 1
Kunci :C
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
VII.2. Transformasi
1. Jenis-jenis transformasi
a. Translasi (pergeseran)
b. Refleksi (pencerminan)
c. Rotasi (perputaran)
d. Dilatasi (perkalian atau perbesaran)
2. Setiap matriks transformasi dapat ditentukan dengan mencari hasil suatu transformasi titik (1, 0) dan (0, 1). Peta (bayangan) titik (1, 0) sebagai kolom pertama matriks, sedangkan peta (bayangan) titik (0, 1) sebagai kolom kedua. Contoh : Karena refleksi terhadap sumbu X maka peta titik (1, 0) petanya
adalah (1, 0), sedangkan peta titik (0, 1) adalah (0, −1). Jadi matriks 1 0
yang bersesuaian dengan refleksi terhadap sumbu X adalah
3. Komposisi transformasi
a. Komposisi dua translasi berturutan T 1 dilanjutkan T 2 dapat diganti dengan translasi tunggal.
T 1 o T 2 ( x , y )( = T 1 o T 2 )( x , y )
Misal : T 1 = , T 2 = maka T 1 o T 2 =
b
b + d
b. Komposisi dua refleksi berturutan menghasilkan translasi dua kali jarak antara dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah translasi.
Jika M 1 = refleksi terhadap garis x = a M 2 = refleksi terhadap garis x = b
maka : P ( x , y ) 2 1 → P ′ ( 2 ( b − a ) + x , y )
Jika M 1 = refleksi terhadap garis y = c M 2 = refleksi terhadap garis y = d
maka : P ( x , y ) 2 1 → P ′ ( x , 2 ( d − c ) + y )
c. Komposisi dua refleksi berturutan terhadap dua sumbu yang berpotongan (tegak lurus atau tidak tegak lurus) dapat diganti dengan suatu rotasi yang :
1. Berpusat pada titik potong dua sumbu
2. Bersudut dua kali sudut antara dua sumbu
3. Arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Misal :
X = refleksi terhadap sumbu X berpotongan tegak lurus Y = refleksi terhadap sumbu Y
H = Rotasi sebesar π pusat O
X o Y () a b , = Y o X () a b , = H () a , b
d. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar θ 1 dilanjutkan θ 2 dapat diganti
dengan rotasi sebesar ( θ 1 + θ 2 ) dengan pusat yang sama.
Contoh :
0 Tentukan peta titik (2, 4) karena rotasi pusat O sebesar 20 dilanjutkan 0 40 .
e. Komposisi transformasi dengan matriks. Contoh :
Tentukan peta titik (2, 4) karena refleksi terhadap sumbu X dilanjutkan π
terhadap garis y = x dan dilanjutkan rotasi pusat O bersudut .
= R () σ, π
o ( M y = x ) o ()
Jawab :
4 X 4
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Suatu bangun A ditransformasikan dengan matriks , hasilnya c d
A′ dengan luas A ′ = ad − bc luas A
Contoh : Hitung luas ∆ ABC dengan A(3, 1), B(7, 1), dan C(7, 4) karena
transformasi oleh matriks
Jawab :L= ⋅ 3 ⋅ 4 = 6
2 L= A ′ B ′ C ′ = 6 - 2 ⋅ 6 = 24 satuan luas
g. Peta suatu kurva oleh suatu transformasi.
Contoh : Tentukan persamaan bayangan garis x +y 3 + 2 = 0 oleh 2 3
transformasi yang berkaitan dengan matriks
Jawab : Misal : (a, b) pada kurva x +y 3 + 2 = 0 , maka a +b 3 + 2 = 0
Jika ( a ′ , b ′ ) adalah peta (a, b) karena tranformasi
sehingga : a + 3b + 2 = 0
( 2 a ′ − 3 b ′ )( + 3 − a ′ + 2 b ′ ) + 2 = 0
− a ′ + 3 b ′ + 2 = 0 ∴Petanya adalah : − x + 3 y + 2 = 0
Contoh :
1. Tentukan bayangan titik (4, 2) karena rotasi pusat O sebesar π, dilanjutkan dilatasi pusat (1, 2) dengan faktor skala 2.
Jawab : (4, 2) R(0, π ) ( − 4, − 2 )
Titik ( −4, −2) karena [ A(1, 2), 2 ] adalah
∴Petanya adalah (−9, −6)
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Tentukan bayangan titik (2, −3) karena refleksi terhadap garis x = 3, dilanjutkan x = 5.
Jawab : M 1 = refleksi terhadap x = 3
M 2 = refleksi terhadap x = 5