Selesaikan ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) dx ∫ Jawab 2 : ( 2 ∫ x + 3 ) ( x − 5 ) dx = ( 2 x − 7 x ∫ 15 − ) dx

1. Selesaikan ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) dx ∫ Jawab 2 : ( 2 ∫ x + 3 ) ( x − 5 ) dx = ( 2 x − 7 x ∫ 15 − ) dx

= x − x − 15 x + C

2. dx = ( x + 4 x + 4 x ) x dx ∫

= ( x 2 + 4 x + 4 x 2 ) dx ∫

= x 2 2 + 8 2x + x 2 + C

= x x + 2x + x x + C

B. Penerapan Integral tak tentu

Contoh :

1. Tentukan persamaan kurva dengan gradien garis singgung di titik (x, y) sama dengan 2x − 3, dan kurva melalui titik (1, −3)!

dy Jawab :

=x ( 2 − 3 )

dx dy = 2x − 3 dx

dy = ( 2 x − 3 ) dx ∫ ∫

2 y=x − 3x + C Kurva melalui (1, −3), maka −3 = 1 − 3 + C → C=1

2 ∴Persamaan kurvanya adalah : y = x – 3x – 1

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan V m per detik. Pada saat t detik persamaan kecepatannya adalah V = 8 t − 1. Pada saat t = 1, posisi benda yaitu S = 6 m.

a. Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t!

b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4?

2 Jawab 2 : a. S

( t ) = ( 8 t − 1 ) dt = 4 t − t + C ∫ b. S (4) = 4 (4) – 4 + 3 = 63 m Diketahui : S (l) = 6, jadi :

2 4(1) – (1) + C = 6 C=3

maka : S = 4t 2 –t+3

C. Integral tertentu Teorama Dasar Integral

f ( x ) dx = [] F (x) a = F (b) − F

(a)

a dengan F ′(x) = f (x)

Sifat −sifat Integral Tertentu

(i)

f ( x ) dx = − f ( x ) dx ∫ ∫

a (ii)

f ( x ) dx = 0 ∫

(iii)

f ( x ) dx = f ( x ) dx ∫ ∫ + f ( x ) dx ∫ , dengan a < c < b

(iv) k , f ( x ) dx = k f ( x ) dx k ∫ = konstanta ∫

{ f ( x ) ± g ( x ) ∫ } dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx ∫ ∫

(v)

(vi) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka f ( x ) ∫ dx ≥0

(vii) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka f ( x ) ∫ dx ≤0

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Contoh :

1. ( 6 x + 4 x ) dx = 2 x + 2 x

x ) dx ∫

2. ( x − ) dx = ( x

= x + 1 = () 2 + − + 1 = + − =

D. Beberapa penggunaan Integral

a. Luas daerah

L = f ( x dx

Luas = f ( y ) dy ∫

d L = f ( x ) dx + f ( x ) dx

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

L = ( f 1 1 () 2 x − f ( )) dx ∫ x ∫ 2

atau a

b b L L = = (y ( f

1 1 -y ( x ) 2 ) dx − f 2 (x))dx (x)) dx

Latihan dan Pembahasan

3 1. Hitung luas daerah antara kurva y = x 2 –x – 6x dan sumbu X

Pembahasan :

3 2 Titik potong dengan sumbu X → y = 0 maka x –x – 6x = 0

2 x(x – x – 6) = 0 x(x – 3)(x + 2) = 0

Koordinat titik potong dengan sumbu X : (0, 0), ( −2, 0), dan (3, 0)

untuk x = −1 →(−2 < x < 0),

I maka y + -2

untuk x = 2 →(0 < x < 3),

II maka y –

Luas I =

(3x –x – 6x) dx = x – x −x 3 =

Luas II = ∫ (x –x – 6x) dx = x – x − 3x =

satuan luas

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2 2. Hitung luas daerah antara kurva y = x 2 – 5x dan y = −x + 3x – 6

Pembahasan : Batas integral yaitu titik potong dua kurva

1 2 3 (x – 3)(x – 1) x = 3 atau x = 1

0 xX

5 Grafik y = x – 5x adalah parabola terbuka ke atas memotong sumbu X di (0, 0) dan (5, 0)

2 Grafik y = −x + 3x – 6 parabola terbuka kebawah tidak memotong sumbu X karena D <0

3 memotong sumbu Y di (0, −6) dan sumbu simetri x =

2 -6

2 Luas daerah yang diarsir = 2 {( −x + 3x – 6) – (x – 5x)} dx ∫

2 = ( −2x ∫ + 8x – 6) dx

8 = − x + 4 x − 6 x = satuan luas

b Volum benda putar

y=f (x) 1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = f(x),

garis x = a, garis y = b, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X adalah

(f(x)) dx

2. Volum benda putar yang terjadi

x = f (y)

jika daerah antara kurva x = f(y),

garis y = c, garis y = d dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y adalah

2 V= π ∫

{f(y)} dy

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

3. Volum benda putar yang terjadi

jika daerah antara dua kurva y 1 =f 1 (x)

dan y 2 =f 2 (x), garis x = a, garis x = b

y 1 =f 1 (x)

diputar mengelilingi sumbu X adalah

y 2 =f 2 (x)

dx [ ( f 1 () x ) − ( f 2 () x ) ] x

2 2 V= π ∫

(dengan catatan f 1 (x) > f 2 (x), dimana a < x < b)

4. Volum benda putar yang terjadi

f ( ) Jika daerah antara dua kurva x

2 1 y y dan x 2 =f 2 (y), garis y = c, garis y = d

1 =f (y)

diputar mengelilingi sumbu Y adalah

[ ( f 1 () y ) − ( f 2 () y ) ] ∫ dy

2 2 V= π

(dengan catatan f 1 (y) > f 2 (y)

dimana c < y < d x

Latihan dan Pembahasan

1. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 1, sumbu y, garis x = 2 dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh

2 Pembahasan : 2 V= ∫ π(x + 1)

dx = π ∫ (x + 2x + 1) dx

2. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara xy 2 = 2, y = 1, y = 4 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y.

2 Pembahasan : x = 2

− 4 Volume = π

2 dy = π 4 y dy ∫ 

y 

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

π  − = y   = 1 π satuan volum

3. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva y=x 2 , y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X.

2 4 = π (x + 4x ) dx ∫ −+4–x

14 π satuan volum =

E. Aturan Rantai

Misal : y = f(x) dan u = g(x) atau y = f(g(x)), maka

y ′ = f ′ (g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)) . g ′ (x) Dengan notasi Leibniz dapat ditulis :

dy du dy = . dx du dx

Contoh : Tentukan turunan pertama dari :

2 1. y = (x 7 + 2x) Jawab :

2 Cara 1 : y 6 ′ = 7(x + 2x) (2x + 2)

2 6 = (14x + 14)(x + 2x)

7 Cara 2 : y = u 2 ,u=x + 2x dy

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2 6 = 7(x + 2x) (2x + 2)

2 6 = (14x + 14)(x + 2x)

2. y = sin 3 x Jawab :

3 Cara 1 : y = sin 3 x = (sin x)

2 y ′ = 3 sin x cos x

sin x sin 2x

Cara 2 : y = u 3 , u = sin x dy

F. Integral fungsi Trigonometri

∫ cos x dx = sin x + C ∫ sin x dx = − cos x + C

sec x dx = tan x + C

2 cosec x dx = ∫ − cotan x + C

∫ sec x tan x dx = sec x + C

cosec x cotan x dx = ∫ − cosec x + C

Latihan dan Pembahasan

1. Selesaikanlah ! ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx

Pembahasan :

( 3 sin x – 5 cos x) dx = ∫ −3 cos x − 5 sin x + C

3 2. 2 (x + sec ∫ x) dx

Pembahasan :

∫ (x + sec x) dx = x + tan x + C

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

3. ∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx

Pembahasan :

∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx = sec x + 2 cos x + C

a. ∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + C

∫ sin (ax + b) dx = − cos (ax + b) + C

∫ sec (ax + b) dx = tan (ax + b) + C

∫ cos ec (ax + b) dx = − cotan (ax + b) + C

∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = sec (ax + b) + C

∫ cos ec(ax + b) cotan (ax + b) dx = − cosec (ax + b) + C

Latihan dan Pembahasan

Selesaikan !

sec (4x + π) dx

sin x dx

3. ∫ ( 3 sin 2x + cos 3x) dx

4. ∫ sin 3x cos 4x dx

sin x dx

Jawab :

tan (4x + ∫ π) + C

1. sec (4x + π) dx

2. sin x dx = ( 1− ∫ cos 2x) dx ∫

= x − . sin 2x + C

1 1 = x − sin 2x + C

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

3. ∫ ( 3 sin 2x + 4 cos 3x) dx

= − cos 2x +

sin 3x + C

4. ∫ sin 3x cos 4x dx

1 = {(sin 7x + sin ( ∫ −x) )} dx

1 = ( sin 7x − sin x) dx

= − cos 7x + cos x + C

5. 3 sin ∫ x dx

2 = sin x(sin ∫ x)dx

= sin x( 1− ∫ cos 2x) dx

(sin 3x – sin x) dx

= − cos x − cos 3x + cos x + C

G. Integral Substitusi

∫ f (x) dx = F(x) + C

Jika u = g(x) maka :

∫ f (g(x)) o g ′ (x) dx = F(g(x)) + C

Contoh :

1. 8 ( 4x + 5) ∫ dx

cara a : misal u = 4x + 5 du

→ ∫ ( 4x + 5) dx = ∫ u . = u +C

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

(4x + 5) +C

2 3 2. -4 ∫

cara a : misal u = (x 3 − 1) du

cara b : 3 5 (x − 1) d(x − 1) ∫

3. -4 ∫

cos x

4 dx = cos

∫ x sin x dx

sin x

cara a : misal u = sin x du

→ cos x u . ∫

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

− cara b : 4 ∫ cos x sin x dx = ∫ sin x d sin x

H. Integral Parsial

∫ u dv = uv − v du ∫

Contoh : Selesaikan !

1. ∫ x sin 3x dx

u dv u =x

dv = sin 3x dx

du = dx v = sin 3x dx = − cos 3x ∫

sin 3x dx = ∫ cos 3x dx − xcos 3x +

= − xcos 3x + sin 3x + C

2. x 4 x + 3 dx = x ( 4 x + 3 ) 2 dx ∫ ∫

v = ( 4 x + 3 ) 2 dx = ( 4 x + 3 ) 2 d ( 4 x + 3 ) ∫

x ( 4 x + 3 ) 2 dx = x ( 4 x + 3 ) 2 − ( 4 x + 3 ) 2 dx ∫

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

2 = x . sin x −2 x sin x dx ∫

v= −cos x

2 = x sin x −2 (−x + ∫

cos x dx)

2 = x sin x + 2x cos x − 2 sin x + C

Catatan : Jika fungsi u turunan ke–k nya sama dengan nol (0) dan integralnya ada, maka dapat diselesaikan dengan cara praktis dari Tanzalin.

Contoh : 2 x cos x dx = ∫

x 2 cos x

sin x

2 -cos x

didiferensialkan

diintegralkan

di-diferensial-kan di-integral-kan

0 -sin x

2 2 ∴Jadi x cos x dx = x sin x + 2x cos x − 2 sin x + C

4. ∫

dx = ∫ x ( x + 1 ) 2 dx

= ∫ x . x ( x + 1 ) 2 dx

u dv

2 2 misal : u=x dv = x(x +1 ) dx 2

2 du = 2x dx v = (x +1 ) 2

x (x +1 ) 2 dx = x (x +1 ) 2 (x +1 ) . 2x dx ∫ 2 − ∫

2 2 2 2 = x (x +1 ) 2 − (x +1 ) d(x 2 ∫ + 1)

2 2 2 2 = x (x +1 ) 2 − (x +1 )+C 2

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan