Selesaikan ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) dx ∫ Jawab 2 : ( 2 ∫ x + 3 ) ( x − 5 ) dx = ( 2 x − 7 x ∫ 15 − ) dx
1. Selesaikan ( 2 x + 3 ) ( x − 5 ) dx ∫ Jawab 2 : ( 2 ∫ x + 3 ) ( x − 5 ) dx = ( 2 x − 7 x ∫ 15 − ) dx
= x − x − 15 x + C
2. dx = ( x + 4 x + 4 x ) x dx ∫
= ( x 2 + 4 x + 4 x 2 ) dx ∫
= x 2 2 + 8 2x + x 2 + C
= x x + 2x + x x + C
B. Penerapan Integral tak tentu
Contoh :
1. Tentukan persamaan kurva dengan gradien garis singgung di titik (x, y) sama dengan 2x − 3, dan kurva melalui titik (1, −3)!
dy Jawab :
=x ( 2 − 3 )
dx dy = 2x − 3 dx
dy = ( 2 x − 3 ) dx ∫ ∫
2 y=x − 3x + C Kurva melalui (1, −3), maka −3 = 1 − 3 + C → C=1
2 ∴Persamaan kurvanya adalah : y = x – 3x – 1
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Sebuah benda bergerak dengan kecepatan V m per detik. Pada saat t detik persamaan kecepatannya adalah V = 8 t − 1. Pada saat t = 1, posisi benda yaitu S = 6 m.
a. Tentukan persamaan posisi benda sebagai fungsi t!
b. Berapa jauh posisi benda pada saat t = 4?
2 Jawab 2 : a. S
( t ) = ( 8 t − 1 ) dt = 4 t − t + C ∫ b. S (4) = 4 (4) – 4 + 3 = 63 m Diketahui : S (l) = 6, jadi :
2 4(1) – (1) + C = 6 C=3
maka : S = 4t 2 –t+3
C. Integral tertentu Teorama Dasar Integral
f ( x ) dx = [] F (x) a = F (b) − F
(a)
a dengan F ′(x) = f (x)
Sifat −sifat Integral Tertentu
(i)
f ( x ) dx = − f ( x ) dx ∫ ∫
a (ii)
f ( x ) dx = 0 ∫
(iii)
f ( x ) dx = f ( x ) dx ∫ ∫ + f ( x ) dx ∫ , dengan a < c < b
(iv) k , f ( x ) dx = k f ( x ) dx k ∫ = konstanta ∫
{ f ( x ) ± g ( x ) ∫ } dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx ∫ ∫
(v)
(vi) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka f ( x ) ∫ dx ≥0
(vii) Jika f(x) ≥ 0 dalam interval [a, b], maka f ( x ) ∫ dx ≤0
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Contoh :
1. ( 6 x + 4 x ) dx = 2 x + 2 x
x ) dx ∫
2. ( x − ) dx = ( x
= x + 1 = () 2 + − + 1 = + − =
D. Beberapa penggunaan Integral
a. Luas daerah
L = f ( x dx
Luas = f ( y ) dy ∫
d L = f ( x ) dx + f ( x ) dx
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
L = ( f 1 1 () 2 x − f ( )) dx ∫ x ∫ 2
atau a
b b L L = = (y ( f
1 1 -y ( x ) 2 ) dx − f 2 (x))dx (x)) dx
Latihan dan Pembahasan
3 1. Hitung luas daerah antara kurva y = x 2 –x – 6x dan sumbu X
Pembahasan :
3 2 Titik potong dengan sumbu X → y = 0 maka x –x – 6x = 0
2 x(x – x – 6) = 0 x(x – 3)(x + 2) = 0
Koordinat titik potong dengan sumbu X : (0, 0), ( −2, 0), dan (3, 0)
untuk x = −1 →(−2 < x < 0),
I maka y + -2
untuk x = 2 →(0 < x < 3),
II maka y –
Luas I =
(3x –x – 6x) dx = x – x −x 3 =
Luas II = ∫ (x –x – 6x) dx = x – x − 3x =
satuan luas
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2 2. Hitung luas daerah antara kurva y = x 2 – 5x dan y = −x + 3x – 6
Pembahasan : Batas integral yaitu titik potong dua kurva
1 2 3 (x – 3)(x – 1) x = 3 atau x = 1
0 xX
5 Grafik y = x – 5x adalah parabola terbuka ke atas memotong sumbu X di (0, 0) dan (5, 0)
2 Grafik y = −x + 3x – 6 parabola terbuka kebawah tidak memotong sumbu X karena D <0
3 memotong sumbu Y di (0, −6) dan sumbu simetri x =
2 -6
2 Luas daerah yang diarsir = 2 {( −x + 3x – 6) – (x – 5x)} dx ∫
2 = ( −2x ∫ + 8x – 6) dx
8 = − x + 4 x − 6 x = satuan luas
b Volum benda putar
y=f (x) 1. Volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = f(x),
garis x = a, garis y = b, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X adalah
(f(x)) dx
2. Volum benda putar yang terjadi
x = f (y)
jika daerah antara kurva x = f(y),
garis y = c, garis y = d dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y adalah
2 V= π ∫
{f(y)} dy
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
3. Volum benda putar yang terjadi
jika daerah antara dua kurva y 1 =f 1 (x)
dan y 2 =f 2 (x), garis x = a, garis x = b
y 1 =f 1 (x)
diputar mengelilingi sumbu X adalah
y 2 =f 2 (x)
dx [ ( f 1 () x ) − ( f 2 () x ) ] x
2 2 V= π ∫
(dengan catatan f 1 (x) > f 2 (x), dimana a < x < b)
4. Volum benda putar yang terjadi
f ( ) Jika daerah antara dua kurva x
2 1 y y dan x 2 =f 2 (y), garis y = c, garis y = d
1 =f (y)
diputar mengelilingi sumbu Y adalah
[ ( f 1 () y ) − ( f 2 () y ) ] ∫ dy
2 2 V= π
(dengan catatan f 1 (y) > f 2 (y)
dimana c < y < d x
Latihan dan Pembahasan
1. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x + 1, sumbu y, garis x = 2 dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh
2 Pembahasan : 2 V= ∫ π(x + 1)
dx = π ∫ (x + 2x + 1) dx
2. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah antara xy 2 = 2, y = 1, y = 4 dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu Y.
2 Pembahasan : x = 2
− 4 Volume = π
2 dy = π 4 y dy ∫
y
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
π − = y = 1 π satuan volum
3. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah antara dua kurva y=x 2 , y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X.
2 4 = π (x + 4x ) dx ∫ −+4–x
14 π satuan volum =
E. Aturan Rantai
Misal : y = f(x) dan u = g(x) atau y = f(g(x)), maka
y ′ = f ′ (g(x)), maka y ′ = f ′ (g(x)) . g ′ (x) Dengan notasi Leibniz dapat ditulis :
dy du dy = . dx du dx
Contoh : Tentukan turunan pertama dari :
2 1. y = (x 7 + 2x) Jawab :
2 Cara 1 : y 6 ′ = 7(x + 2x) (2x + 2)
2 6 = (14x + 14)(x + 2x)
7 Cara 2 : y = u 2 ,u=x + 2x dy
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2 6 = 7(x + 2x) (2x + 2)
2 6 = (14x + 14)(x + 2x)
2. y = sin 3 x Jawab :
3 Cara 1 : y = sin 3 x = (sin x)
2 y ′ = 3 sin x cos x
sin x sin 2x
Cara 2 : y = u 3 , u = sin x dy
F. Integral fungsi Trigonometri
∫ cos x dx = sin x + C ∫ sin x dx = − cos x + C
sec x dx = tan x + C
2 cosec x dx = ∫ − cotan x + C
∫ sec x tan x dx = sec x + C
cosec x cotan x dx = ∫ − cosec x + C
Latihan dan Pembahasan
1. Selesaikanlah ! ∫ ( 3 sin x – 5 cos x) dx
Pembahasan :
( 3 sin x – 5 cos x) dx = ∫ −3 cos x − 5 sin x + C
3 2. 2 (x + sec ∫ x) dx
Pembahasan :
∫ (x + sec x) dx = x + tan x + C
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
3. ∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx
Pembahasan :
∫ ( sec x tan x – 2 sin x) dx = sec x + 2 cos x + C
a. ∫ cos (ax + b) dx = sin (ax + b) + C
∫ sin (ax + b) dx = − cos (ax + b) + C
∫ sec (ax + b) dx = tan (ax + b) + C
∫ cos ec (ax + b) dx = − cotan (ax + b) + C
∫ sec (ax + b) tan (ax + b) dx = sec (ax + b) + C
∫ cos ec(ax + b) cotan (ax + b) dx = − cosec (ax + b) + C
Latihan dan Pembahasan
Selesaikan !
sec (4x + π) dx
sin x dx
3. ∫ ( 3 sin 2x + cos 3x) dx
4. ∫ sin 3x cos 4x dx
sin x dx
Jawab :
tan (4x + ∫ π) + C
1. sec (4x + π) dx
2. sin x dx = ( 1− ∫ cos 2x) dx ∫
= x − . sin 2x + C
1 1 = x − sin 2x + C
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
3. ∫ ( 3 sin 2x + 4 cos 3x) dx
= − cos 2x +
sin 3x + C
4. ∫ sin 3x cos 4x dx
1 = {(sin 7x + sin ( ∫ −x) )} dx
1 = ( sin 7x − sin x) dx
= − cos 7x + cos x + C
5. 3 sin ∫ x dx
2 = sin x(sin ∫ x)dx
= sin x( 1− ∫ cos 2x) dx
(sin 3x – sin x) dx
= − cos x − cos 3x + cos x + C
G. Integral Substitusi
∫ f (x) dx = F(x) + C
Jika u = g(x) maka :
∫ f (g(x)) o g ′ (x) dx = F(g(x)) + C
Contoh :
1. 8 ( 4x + 5) ∫ dx
cara a : misal u = 4x + 5 du
→ ∫ ( 4x + 5) dx = ∫ u . = u +C
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
(4x + 5) +C
2 3 2. -4 ∫
cara a : misal u = (x 3 − 1) du
cara b : 3 5 (x − 1) d(x − 1) ∫
3. -4 ∫
cos x
4 dx = cos
∫ x sin x dx
sin x
cara a : misal u = sin x du
→ cos x u . ∫
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
− cara b : 4 ∫ cos x sin x dx = ∫ sin x d sin x
H. Integral Parsial
∫ u dv = uv − v du ∫
Contoh : Selesaikan !
1. ∫ x sin 3x dx
u dv u =x
dv = sin 3x dx
du = dx v = sin 3x dx = − cos 3x ∫
sin 3x dx = ∫ cos 3x dx − xcos 3x +
= − xcos 3x + sin 3x + C
2. x 4 x + 3 dx = x ( 4 x + 3 ) 2 dx ∫ ∫
v = ( 4 x + 3 ) 2 dx = ( 4 x + 3 ) 2 d ( 4 x + 3 ) ∫
x ( 4 x + 3 ) 2 dx = x ( 4 x + 3 ) 2 − ( 4 x + 3 ) 2 dx ∫
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2 = x . sin x −2 x sin x dx ∫
v= −cos x
2 = x sin x −2 (−x + ∫
cos x dx)
2 = x sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
Catatan : Jika fungsi u turunan ke–k nya sama dengan nol (0) dan integralnya ada, maka dapat diselesaikan dengan cara praktis dari Tanzalin.
Contoh : 2 x cos x dx = ∫
x 2 cos x
sin x
2 -cos x
didiferensialkan
diintegralkan
di-diferensial-kan di-integral-kan
0 -sin x
2 2 ∴Jadi x cos x dx = x sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
4. ∫
dx = ∫ x ( x + 1 ) 2 dx
= ∫ x . x ( x + 1 ) 2 dx
u dv
2 2 misal : u=x dv = x(x +1 ) dx 2
2 du = 2x dx v = (x +1 ) 2
x (x +1 ) 2 dx = x (x +1 ) 2 (x +1 ) . 2x dx ∫ 2 − ∫
2 2 2 2 = x (x +1 ) 2 − (x +1 ) d(x 2 ∫ + 1)
2 2 2 2 = x (x +1 ) 2 − (x +1 )+C 2
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan