Matematika 24
TAHUN PELAJARAN 2004/2005 SMA/MA
MATEMATIKA
PROGRAM STUDI IPA DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN
KATA PENGANTAR
Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan persiapan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah Tahun Pelajaran 2004/2005, Pusat Penilaian Pendidikan Balitbang Depdiknas menyiapkan panduan materi untuk setiap mata pelajaran yang diujikan pada Ujian Nasional dan Ujian Sekolah. Panduan tersebut mencakup:
1. Gambaran Umum Format dan Bentuk Ujian
2. Standar Kompetensi Lulusan (SKL) dan Ruang Lingkup Materi
3. Contoh Spesifikasi Soal
4. Pedoman Penskoran
Panduan ini dimaksudkan sebagai pedoman bagi sekolah/madrasah dalam mempersiapkan penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah, serta sebagai informasi dan acuan bagi peserta didik, guru, dan pihak-pihak terkait dalam menghadapi Ujian Nasional dan Ujian Sekolah/Madrasah.
Semoga panduan ini digunakan sebagai acuan oleh semua pihak yang terkait dalam penyelenggaraan Ujian Nasional dan Ujian Sekolah Tahun Pelajaran 2004/2005.
Jakarta, Januari 2005
Kepala Pusat Penilaian Pendidikan,
Balitbang Depdiknas
Bahrul Hayat, Ph.D. NIP. 131 602 652
DEPDIKNAS
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
GAMBARAN UMUM
• Pada ujian nasional tahun pelajaran 2004/2005, bentuk tes Matematika
tingkat SMA/MA berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda,
sebanyak 30 soal dengan alokasi waktu 120 menit.
• Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalah
kurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.
• Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi:
eksponen, logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma,
persamaan kuadrat, pertidaksamaan kuadrat, sistem persamaan liniear,
matriks, program liniear, vektor, notasi sigma, barisan dan deret
bilangan, fungsi komposisi, fungsi invers, suku banyak, dan teorema
sisa, lingkaran ellips, parabola, hiperbola, transformasi, bangun ruang,
ukuran pemusatan, ukuran penyebaran, peluang, fungsi trigonometri,
persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, logika matematika, limit,
diferensial, dan integral.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Standar Kompetensi Lulusan
Standar Kompetensi Lulusan (SKL) Ruang Lingkup Materi
1. Siswa mampu melakukan operasi hitung • Bentuk pangkat dan akar aljabar, menyelesaikan persamaan dan • Eksponen dan logaritma pertidaksamaan, serta menggunakannya • Persamaan kuadrat dalam kehidupan sehari-hari.
• Pertidaksamaan kuadrat • Sistem persamaan linear dan kuadrat • Program linear • Matriks • Vektor • Suku banyak
2. Siswa mampu menyatakan dan mengkaji • Fungsi linear dan fungsi kuadrat hubungan antara dua himpunan yang dapat • Fungsi komposisi dan fungsi invers dirumuskan sebagai fungsi atau barisan • Barisan dan deret bilangan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
3. Siswa mampu memahami sifat dan konsep • Ruang dimensi tiga kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
4. Siswa mampu mengolah, menyajikan, • Statistika menafsirkan data, dan menggunakan kaidah • Peluang pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
5. Siswa mampu memahami konsep dan • Trigonometri mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
6. Siswa mampu memahami dasar-dasar • Logika matematika logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
7. Siswa mampu memahami konsep irisan • Irisan kerucut kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi • Transformasi serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
8. Siswa mampu memahami konsep dan • Limit mampu menghitung limit fungsi di suatu • Turunan titik, turunan, dan integral.
• Integral
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
RUANG LINGKUP DAN RINGKASAN MATERI
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 1
Siswa mampu melakukan operasi hitung aljabar, menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
Ruang Lingkup
• Bentuk pangkat dan akar • Eksponen dan logaritma • Persamaan kuadrat • Pertidaksamaan kuadrat • Sistem persamaan linear dan kuadrat • Program linear • Matriks • Vektor • Suku banyak
Ringkasan Materi
I. 1. Eksponen, Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma.
A. Sifat-sifat eksponen
4. q ()
a . b = a p . b p 8. a p = a
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
B. Sifat-sifat logaritma
C. Bentuk persamaan eksponen
1. Jika a f () x = 1 maka f () x =0
f () x 2. Jika p a = a maka f () x =p
3. Jika a ()
= a () maka f () x = g () x
4. Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.
D. Pertidaksamaan eksponen
1. Untuk 0 <a < 1
f () x g () x
a. Jika a ≥ a maka f () x ≤ g () x
b. Jika a f () x ≤ a g () x maka f () x ≥ g () x
2. Untuk a > 1
a. Jika a () ≥ a () maka f () x ≥ g () x
b. Jika a f () x ≤ a g () x maka f () x ≤ g () x
E. Bentuk persamaan logaritma
1. Jika a log f ( x ) = a log p maka f () x = p
2. Jika log f ( x ) = log g ( x ) maka f () x = g () x
dengan syarat : f () x > 0 dan g () x > 0
3. Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.
F. Pertidaksamaan logaritma
1. Untuk 0 <a < 1
a. Jika a log f ( x ) ≥ a log g ( x ) maka f () x ≤ g () x
b. Jika log f ( x ) ≤ log g ( x ) maka f () x ≥ g () x
2. Untuk a > 1
a. Jika a log f ( x ) a ≥ log g ( x ) maka f () x ≥ g () x
b. Jika log f ( x ) ≤ log g ( x ) maka f () x ≤ g () x
dengan syarat : f () x > 0 dan g () x > 0
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Latihan dan Pembahasan
Contoh:
1. Nilai x yang memenuhi persamaan 4x+ = 8+ adalah ….
2 x + 3 () 3 2 = () 2 4
Kunci : A
Contoh:
2. Himpunan penyelesaian 2 log( x 2 −x 3 + 2 ) < 2 log( 10 −,xR x ) ∈ adalah ….
a. { x | − 2 < x < 1 atau 2 <x < 4 }
b. { x | x < 1 atau x > 2 }
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Pembahasan : syarat :
2 log( x 2 3 x 2 ) − 2 + < log( 10 − x ) ⊗ x 2 −x 3 + 2 > 0
x 2 − 3 x + 2 < 10 − x ( x − 2 ) ( x − 1 ) > 0
x 2 −x 2 − 8 < 0 x < 1 atau x > 2
( x − 4 ) ( x + 2 ) < 0 ⊗ 10 −x > 0
− 2 < x < 4 x < 10
x < 1 atau x > 2
x < 10
10 − 2 < x < 1 atau 2 <x < 4
Kunci : A
3. Nilai x yang memenuhi 3 x 3 x + 4 < 9− x 1 adalah ….
3 x −x 3 + 4 < 3 2 ( x − 1 )
x 2 − 3 x + 4 < 2 x − 2 x 2 −x 5 + 6 < 0
( x − 2 )( x − 3 ) < 0
2 <x < 3
Kunci : B
4. Jika x 1 dan x
2 adalah akar-akar persamaan : log x
− 3 . log x + 2 = 0 ,
maka x 1 . x 2 = ….
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Pembahasan : 3 3 log x − 3 . log x + 2 = 0
3 log x − 3 2 log x − 1 = 0
log x = 2 atau log x = 1
x = 9 atau x = 3 x 1 . x 2 = 9 . 3 = 27
Kunci : E
I. 2. Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat .
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum : ax + bx + c = 0 ,, a ,b dan c ∈ R dan a ≠ 0
2. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
a. memfaktorkan
b. melengkapi kuadrat sempurna
b ± b − 4 ac
c. menggunakan rumus ABC : x 1 . 2 =
3. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat : ax 2 + bx + c = 0 mempunyai : akar real berlainan jika D > 0
akar real sama jika D = 0 akar tidak real jika D < 0
D adalah diskriminan ax 2 bx + c + 2 = 0 , D = b − 4 ac
4. Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :
Akar-akar persamaan ax 2 + bx + c = 0 adalah x 1 dan x 2 .
x 1 + x 2 = − dan x 1 . x 2 =
5. Menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya dengan cara :
a. perkalian faktor : ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) =0
b. menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut :
6. Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
B. Pertidaksamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum : ax 2 + bx + c < 0 , bisa juga menggunakan tanda >, ≤
atau ≥, a ,b , dan c ∈ R , a ≠ 0
2. Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan atau grafik fungsi kuadrat.
3. Pemakaian diskriminan persamaan kuadrat . Menentukan koefisien persamaan kuadrat yang akarnya memenuhi sifat tertentu. misal : akar real, akar tidak real, akar berkebalikan, dan sebagainya.
Latihan dan Pembahasan
1. Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan x + px + 1 = 0 , maka persamaan kuadrat
yang akar-akarnya
dan x 1 + x 2 adalah ….
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β.
1 2 = − 2 p dan β = x
Jadi persamaan kuadrat baru : ( x − α )( x − β ) = 0 ( x − ( − 2 p ) ) ( x − () − p ) = 0
( x + 2 p )( x + p ) = 0
x 2 + 3 px + 2 p 2 = 0
Kunci : C
2. Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x + x − p = 0 , p konstanta
positif, maka
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Pembahasan :
x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 − p = − 1− 2
Kunci : A
3. Persamaan kuadrat x + ( m − 2 ) x + 9 = 0 mempunyai akar-akar nyata. Nilai m
yang memenuhi adalah ….
a. m ≤ − 4 atau m ≥ 8 c. m ≤ − 4 atau m ≥ 10 e. − 8 ≤ m ≤ 4
b. m ≤ − 8 atau m ≥ 4 d. − 4 ≤ m ≤ 8
Pembahasan :
Persamaan kuadrat mempunyai akar-akar nyata jika D ≥ 0
( m − 8 )( m + 4 ) ≥ 0
m ≤ − 4 atau m ≥ 8
Kunci : A
4. Persamaan x 2 ( 1 − m )( + x 8 − 2 m ) + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai
Persamaan kuadrat mempunyai akar kembar jika D = 0 D=0
b 2 − ac 4 = 0
2 ( 2 8 − 2 m ) − 4 ( 1 − m ) . 12 = 0 m +m 4 + 4 = 0
64 − 32 m + 4 m 2 − 48 + 48 m = 0 ( m 2 + 2 ) = 0
4 m 2 +m 16 + 16 = 0 m = − 2
Kunci : A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
I. 3. Sistem Persamaan Linear.
Bentuk Umum :
A. Sistem Persamaan Linear 2 peubah
B. Sistem Persamaan Linear 3 peubah
C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Dengan cara :
Latihan dan Pembahasan
1. Himpunan penyelesaian : y + z = 6
adalah { ( x , y , z ) } . Nilai dari x +z = ….
Kunci : E
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
x y
2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan :
3 − 2 = 21 x y
adalah { ( x 0 , y 0 ) } . Nilai x 0 − y 0 = ….
Nilai x 0 − y 0 = − ( − ) =
Kunci : C
I. 4. Program linear
Program linear adalah suatu metode untuk mencari nilai optimum suatu bentuk linear (bentuk atau fungsi obyektif atau fungsi tujuan) pada daerah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
Nilai optimum tersebut dapat ditentukan dengan cara :
1. Menggambar daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
2. Menentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah tersebut.
3. Menentukan nilai optimum bentuk linear pada titik-titik sudut tersebut.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Latihan dan Pembahasan
1. Nilai minimum fungsi objektif ( 5 x 10 + y ) pada himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan pada daerah terasir gambar di bawah adalah…
Persamaan garis yang melalui (16, 0) dan (32, 0)
2 x +y = 32 ……. ( garis g 1 )
Persamaan garis yang melalui (36, 0) dan (0, 24)
2 x +y 3 = 72 ……( garis g 2 )
Persamaan garis yang melalui (48, 0) dan (0, 16)
48 x +y 3 = ……..( garis g) 3
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
A adalah titik potong garis g 1 dan g 2 B adalah titik potong garis g 2 dan g 3
Koordinat titik A (6, 20)
Koordinat titik B (24, 8)
Koordinat titik sudut pada daerah penyelesaian (0, 32), (6, 20), (24, 8), dan (48, 0)
Nilai optimum : Bentuk obyektif : 5x + 10y
Pada titik (0, 32)
Nilai minimum
∴ Nilai minimum = 200
Kunci : D
2. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp 200,00 dengan keuntungan 40%, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp 300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp 100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut dari modalnya adalah ….
Misal banyaknya kue jenis I = x buah dan kue jenis II = y buah
200 x + 300 y ≤ 100000
Sistem pertidaksamaan linear :
x +y ≤ 400
Laba kue I = 40% =
30 × 300 = 90 100 ⊗ Bentuk obyektif : 80 x + 90 y
Laba kue II = 30% =
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Daerah himpunan penyelesaian :
Garis 1000 2 x +y 3 =
1000 Titik potong dengan sumbu X adalah (500, 0) dan sumbu Y adalah (0,
3 Garis x + y = 400 Titik potong dengan sumbu X adalah (400, 0) dan sumbu Y adalah (0, 400)
Titik potong : 1000 Y 2 x +y 3 = ×1
(200, 200) 2 x +y 2 = 800 Hp y = 200
0 400 X 500
x = 200 (200, 200)
Bentuk obyektif : 80x + 90y Koordinat titik-titik sudut dan nilai optimum bentuk obyektif
Laba maksimum Rp 34.000,0 = × 100 % = 34 %
Kunci : C
3. Nilai maksimum fungsi sasaran z = 6x + 8y dari sistem pertidaksamaan :
60 4 x +y 2 ≤
2 x +y 4 ≤ 48 x ≥ 0 , y ≥ 0 adalah ….
Daerah himpunan penyelesaian :
garis 4 x +y 2 = 60
Titik potong dengan sumbu X adalah (15, 0) dan sumbu Y adalah (0, 30)
garis 2 x +y 4 = 48
Titik potong dengan sumbu X adalah (24, 0) dan sumbu Y adalah (0, 12)
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Titik potong garis
12 x = 12 y = 6 (12, 6)
0 15 X 24
⊗ Bentuk obyektif : z = 6 x + 8 y
Koordinat titik sudut- titik sudut : (0, 0), (15, 0), (0, 12), (12, 6)
Nilai optimum : z = 6 x + 8 y pada titik :
z = 6.12 + 8.6 = 120 maksimum
Kunci : A
I. 5. Matriks
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.
Misal : Matriks A =
Matriks B =
g h
1. Transpose Matriks A = A =
3. k ⋅ A, = k = k = konstanta
4. A ⋅ B = =
5. Determinan matriks A = Det. A = A = ad − bc
Matriks A disebut Matriks Singular jika det. A = 0
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
− 1 1 d − b 6. Invers Matriks A = A =
ad − bc − c a 1 1
7. A . I=I .
A = A, I =
, I adalah matriks identitas 0 0
8. A . A = A . A = I
9. Jika B -1 A X = B , maka X = A . Jika -1 X A = B , maka X = B A .
X adalah matriks
Latihan dan Pembahasan
1. Diketahui matriks A =
Matriks C yang memenuhi ABC = I dengan I matriks identitas adalah ….
Kunci : D
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
5p − 5
2. Diketahui matriks A =
matriks A – B = C− 1 , nilai 2p = ….
A–B= C− 1
− 60 p + 32 –8 = 240p – 128 240p = 120
p=
2 2p = 1
Kunci : D
4 3 a b 16 3
3. Diketahui hasil kali matriks
c d
Nilai a+b+c+d = ….
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Kunci : B
I.6. Vektor
1. Vektor adalah besaran yang mempunyai panjang (besar) dan arah.
2. Jika suatu titik A( a 1 , a 2 , 3 a ) dalam ruang (juga pada bidang) dan O titik pangkal, a 1
maka OA = adalah vektor posisi dari titik A dan dapat ditulis a OA = a = a 2 atau
OA = a = a 1 i + a 2 j + a 3 k
3. Vektor dapat dijumlahkan dengan aturan jajar genjang atau aturan segitiga.
2 − a 2 dan AB = ( b 1 − a 1 )( + b 2 − a 2 )( + b 3 − a 3 )
2 2 2 AB = b
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
4. Jika a = a 2 dan b = b 2 , maka:
(i). a + b = a 2 + b 2
(ii). Untuk m = bilangan real (skalar)
5. Jika OA = a = a 1 i + a 2 j + a 3 k ,
OB = b = b 1 i + b 2 j + b 3 k dan P terletak pada AB dengan perbandingan :
AP : PB = m : n atau ( m PB = n AP )
n OA + m OB maka : OP = p =
6. Jika a = a 2 dan b = b 2 , maka a . b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
atau a . b = a b cos ∠ () a , b
∠ cos () a , b = 2 2 2 2 2 2
Untuk cos ∠ () a , b = 1
a dan b berimpit searah
cos ∠ () a , b = –1
a dan b berimpit berlawanan
cos ∠ () a , b = 0
a . b =0
7. Jika c = proyeksi vektor a pada vektor b
a a . b maka c =
2 b . (Proyeksi vektor)
dan c =
. (Proyeksi skalar)
Contoh :
Diketahui vektor a = 2 , b = 4 , dan c = 6 , maka 2 a − 3 b + c = ….
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Jawab : 2 a = 4 , − 3 b = − 12 , dan c = 6
2 a − 3 b + c = 4 − 12 + 6 = − 2
Latihan dan Pembahasan
1. Diketahui titik A(5, 7, 2) dan B( −3, −1, 6). Titik D membagi AB di luar dengan perbandingan −1 : 3. Panjang AD = ….
AD : DB = −1 : 3, sehingga d =
Kunci : C
2. Jika vektor a dan vektor b membuat sudut 0 60 , a = 4 dan b = 10 , maka
a . () b + = …. a
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Pembahasan :
a. () b + a = a . b + a a .
0 = a b cos 60 + a
Kunci :C
3. Proyeksi skalar vektor a pada b adalah 6. x
Vektor a = − 4 dan b = 1 serta a = 89 , maka nilai x = ….
2 2 89 = x + 16 + (
11 + x )
2 2 89 = x + 16 + 121 + 22 x + x
2 2 2 x + 22 x + 48 = 0 x +x 11 + 24 = 0
( x + 3 ) ( x + 8 ) =0
x = –3 atau x = –8
Kunci : B
I. 7. Suku banyak Bentuk Umum Suku banyak :
+ a n n − 1 x − + a n 2 x n − − +….+ a 1 x + a 0
a = konstanta n = bilangan cacah
Suku banyak sering dinyatakan dengan f () x Nilai suku banyak f () x untuk x = k adalah f () k
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Teorema Sisa
⊗ Jika suku banyak f () x dibagi ( x − a ) maka sisanya adalah f () a .
Suku banyak f () x dapat ditulis dalam bentuk :
f (x) = (x – a) . H(x) + S
(x – a) = pembagi H(x) = hasil bagi S = sisa S = f(a)
⊗ Jika f () x dibagi oleh pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n –1. Misal : pembagi = fungsi kuadrat
Sisa = fungsi linear
Teorema faktor
⊗ Suku banyak f () x mempunyai faktor ( x − a ) jika dan hanya jika f () a =0
Latihan dan Pembahasan
1. Jika suku banyak P(x) = 2x 4 + ax 3 – 3x 2 + 5x + b dibagi oleh x 2 −1
memberi sisa ( 6 x + 5 ) maka a . b = ….
Pembahasan : Sisa = S = f(x) = 6x + 5
Pembagi x 2 −1 = ( x + 1 ) ( x − 1 )
dibagi ( x + 1 ) , maka sisa f(–1) = –1 dibagi ( x − 1 ) , maka sisa f(1) = 11
P(x) dibagi ( x + 1 ) sisanya P(–1) = f(–1) = –1
P(x) = 2x 4 + ax 3 – 3x 2 +5+b
P(–1) = 2 – a – 3 – 5 + b = –1
– a + b = 5 ……….(1)
P(x) dibagi ( x − 1 ) sisanya P(1) = f(1) = 11
P(1) = 2 + a – 3 + 5 + b = 11
a + b = 7 ……….(2)
Persamaan 1 : – a + b = 5 Persamaan 2 : a + b = 7
2b = 12
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
a = 1 a.b= 1.6 = 6
Kunci : D
2. Diketahui ( x + 1 ) salah satu faktor dari suku banyak :
= 2x 4 – 2x 3 + px f 2 () x – x – 2. Salah satu faktor yang lain adalah ….
a. ( x − 2 ) c. ( x − 1 ) e. ( x + 3 )
b. ( x + 2 ) d. ( x − 3 )
Pembahasan :
Jika ( x + 1 ) faktor dari f () x , maka f () − 1 =0
f () x = 2x 4 – 2x 3 + px 2 –x–2
f () − 1 = 2+2+p+1–2=0
p = –3
f 2 ()
x = 2x 4 – 2x 3 + 3x –x–2
∴ faktor yang lain adalah ( x − 2 )
Kunci : A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 2
Siswa mampu menyatakan dan mengkaji hubungan antara dua himpunan yang dapat dirumuskan sebagai fungsi atau barisan bilangan, serta menggunakannya dalam
kehidupan sehari-hari.
Ruang Lingkup
• Fungsi linear dan fungsi kuadrat • Fungsi komposisi dan fungsi invers • Barisan dan der et
Ringkasan Materi
II. 1. Notasi Sigma, Barisan Bilangan, dan Deret
A. Notasi Sigma
Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk menyatakan operasi penjumlahan bilangan berurutan. Sifat-sifat Notasi ∑ :
1. ∑ i = ∑ p
2. ∑ k . i = k ∑ i , k = konstanta
3. ∑ i + ∑ k . i = ∑ k . i
4. ∑ ( i − a ) = ∑ ( i + a )
5. ∑ ai ±∑ bi = ∑ ( ai ± bi )
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
B. Barisan dan Deret Aritmetika ⊗ Barisan Aritmetika
⊗ Deret Aritmetika
a = suku pertama
b = U 2 –U 1 = beda
a + ( n − 1 ) b = suku ke– n
S = n { 2 a + ( n − 1 ) b } = ( a + U n ) = Jumlah n suku pertama
2 2 U = n S n− S n - 1
C. Barisan dan Deret Geometri ⊗ Barisan Geometri
a , ar , ar 2 … , ar n − 1
⊗ Deret Geometri
a = suku pertama
= rasio
ar n − 1 = suku ke– n
a − r n 1
, 0 <r < 1
1 − r n S = Jumlah n n suku pertama
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
D. Deret Geometri tak hingga Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika − 1 < r < 1 , r ≠ 0
1 − r S ∞ = Jumlah sampai tak hingga
a = suku pertama r = rasio
Latihan dan Pembahasan
1. Nilai dari ∑ 2 k + ∑ ( 3 k + 2 ) = ….
∑ ( 2 k + 3 k + 2 ) = ∑ ( 5 k + 2 ) = 7 + 12 + 17 + … + 502
selanjutnya penjumlahan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika.
a + ( n − 1 ) b = 502
7 +n ( − 1 ) 5 = 502
n = 100 (n dapat ditentukan dari indeks atas ∑ )
S 100 = 50 ( 7 + 502 )
Kunci :A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Suku kedua suatu barisan geometri adalah 2 dan suku kelima adalah . Suku
27 ketujuh adalah ….
U 7 = ar 6 = 3 ⋅ =
Kunci : C
3. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah S n 2 n 5 = + n . Beda dari deret
aritmetika tersebut adalah ….
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Kunci : C
4. Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46 dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah ….
Misal bilangan tersebut , a a + b , a + 2 b , a + 3 b .
a ( a +b 3 ) = 46 a 2 + ab 3 = 46
a + b ) ( a +b 2 ) = 144 a 2 + 3 ab + 2 b = 144
( a + 23 )( a − 2 ) = 0
∴ ke-4 bilangan tersebut 2, 9, 16, 23 Jumlah ke-4 bilangan tersebut = 2+9+16+23 = 50
Kunci : B
5. Pertambahan penduduk suatu kota tiap tahun mengikuti aturan barisan geometri. Pada tahun 1996 pertambahannya sebanyak 6 orang, tahun 1998 sebanyak 54 orang. Pertambahan penduduk pada tahun 2001 adalah ….
a. 324 orang
c. 648 orang
e. 4.374 orang
b. 486 orang
d. 1.458 orang
U 6 = ar 5 = 6 ⋅ 3 5 = 1 . 458 orang
Kunci : D
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah 3. Suku pertama deret tersebut adalah ….
Misal deret tersebut , a ar , ar 2 , ar 3 , ar 4 , ar 5 … , , ar −
a =1 7 ( − r ) 7 r − 7 r 2 = 3 − 3 r 2
S ∞genap = 3 4 r 2 −r 7 + 3 = 0
ar
= 3 ( 4 r − 3 )( r − 1 ) = 0
1 −r 2
a = 7 − 1 = 7 . =
Kunci : A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
II. 2. Fungsi kuadrat, Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers.
A. Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Umum : f () 2 x = ax + bx + c , a , b dan c ∈ R dan a ≠ 0
2. Grafik fungsi kuadrat disebut parabola, dengan persamaan :
y = ax 2 + bx + c
3. Nilai maksimum atau nilai minimum y = ax 2 + D bx + c adalah y = −
untuk x = −
4. Persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya :
a. mempunyai titik balik maksimum/minimum () p , q
adalah y = f () x = α ( x − p ) 2 + q
b. memotong sumbu X di ( x 1 , 0 ) dan ( x 2 , 0 ) adalah y = f () x = α ( x − x 1 )( x − x 2 )
B. Komposisi Fungsi :
1. Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi (lebih) secara berturutan.
2. Notasi Komposisi Fungsi :
f g x ∈ A , y ∈ B , dan z ∈ C
f ( x ) =, y g ( y ) = dan z h ( x ) = z
h ( x ) = g ( f () x )( = g o f )( ) x
go f () x = komposisi fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g.
3. Sifat Komposisi Fungsi :
f o I =o I f = f , I adalah fungsi identitas
C. Fungsi Invers
f x ∈ A dan B y ∈
f () x = y 1 , f () y = x
f − 1 adalah fungsi invers dari f.
f -1
Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f korespondensi satu-satu. Sifat Fungsi Invers :
1. − f o f 1 = f 1 o f = I
2. ( g o f ) = f 1 o − g 1
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Latihan dan Pembahasan
1. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum 2 − untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi itu 16. Fungsi kuadrat itu adalah ....
() 2 = x + 6 x + 8 d. f () 2 x = 2 x − 12 x + 16
a. f x
() 2 = x − 6 x + 8 e. f () x 2 x = 2 − 12 x − 16
b. f x
c. f () x 2 x = 2 + 12 x + 16
Pembahasan :
Fungsi kuadrat dengan nilai minimum 2 − untuk x = 3
adalah f () x
f 0 () 2 = 16 f () 0 = α ( 0 − 3 ) − 2 = 16
∴ Fungsi kuadrat f ()( x =x 2 − 3 ) 2 − 2
f () x = 2 x 2 − 12 x + 16
Kunci : D
2. Nilai maksimum dari fungsi f () x = − 2 x + ( k + 5 ) x + 1 − 2 k adalah 5.
Nilai k yang positif adalah .…
Nilai maksimum adalah y =
f () x = − 2 x 2 + ( k + 5 ) x + 1 − 2 k
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
b 2 − 4 ac
Nilai maksimum : y = −
( k + 5 ) 2 − 4 ( )( − 2 1 − 2 k )
( k +k 1 )( − 7 ) = 0
k = − 1 atau k = 7
Kunci : C
3. Diketahui fungsi f () x =x 6 − 3 dan g () x =x 5 + 4 Jika ( fo g )( ) a = 81 maka nilai a = ….
f ( g () a ) = 81
f ( 5 a + 4 ) = 81
6 ( 5 a + 4 ) − 3 = 81
30 a = 60
Kunci : D
4. Diketahui f ( x − 1 ) =
dan f1 − () x adalah invers dari f () x .
Rumus f − ( 2 x − 1 ) = ….
a. , x ≠ − c. , x ≠ − e. , x ≠ 2
b. , x ≠ − d. , x ≠ −
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Pembahasan :
f ()( x =
f () x =
2 x + 1 Misal :
maka f f −1 () x = y () y = x
− = 1 f () y =
2 xy + y = x f − 1 () x =
xy − x = − y f ( 2 x − 1 ) =
x ( 2 y −1 ) = − y =
Kunci : D
5. Ditentukan g ( f () x ) = f ( g () x ) . Jika f () x =2 x + p dan g () x =x 3 + 120 , maka nilai p = ….
g ( f () x ) = f ( g () x )
g ( 2 x + p ) = f ( 3 x + 120 )
3 ( 2 x + p ) + 120 = 2 ( 3 x + 120 ) + p
6 x + 3 p + 120 = 6 x + 240 + p
2 p = 120 p = 60
Kunci : B
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
6. Fungsi f : R → didefinisikan sebagai R f () x =
Invers dari fungsi f adalah f1 − () x = ….
Misal : f () −1 x = y , maka f ( y = x )
Cara I :
Cara II :
f () x =
Menggunakan rumus :
f () x =
2 x − 1 ax + b
3 x + 4 cx + d
3 xy + 4 y = 2 x − 1 f −1 () x =
− dx + b
cx − a
3 xy − 2 x = − 4 y − 1 f () x =
x ( 3 y − 2 ) = − 4 y − 1 f − 1 () x =
f − 1 4 x + () 1 x =
− 1 − 4 y − f 1 () y = Kunci : C
f − 1 () x =
Kunci : C
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 3
Siswa mampu memahami sifat dan konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang, dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan sudut, garis dan
bidang dalam ruang, serta menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
Ruang Lingkup
• Ruang dimensi tiga
Ringkasan Materi
Dimensi Tiga.
A. Irisan : Irisan bidang α dengan bangun ruang adalah bidang datar yang dibatasi oleh garis potong-garis potong bidang α dengan sisi-sisi bangun ruang tersebut.
Irisan bidang dapat digambarkan dengan cara :
1. Menggunakan sumbu Afinitas
2. Menggunakan diagonal bidang irisan
B. Garis tegak lurus bidang
g g Garis g tegak lurus pada bidang α, jika garis g tegak lurus pada dua garis yang berpotongan
h h yang terletak pada bidang α.
C. Jarak
1. Jarak antara dua titik Jarak titik A dan titik B = panjang ruas
A B garis AB
2. Jarak antara titik dan garis
Jarak titik A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus g)
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
3. Jarak antara titik dan bidang
Jarak titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α)
4. Jarak antara dua garis sejajar
g g Garis g sejajar h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB
(AB tegak lurus g dan h)
5. Jarak antara dua garis bersilangan
Garis g bersilangan dengan garis h. Jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB.
A h h (AB tegak lurus garis g dan garis h)
6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
g g Garis g sejajar dengan bidang α. Jarak antara garis g dan bidang α = panjang
ruas garis AB. (AB tegak lurus garis g dan bidang α)
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar
A Bidang α sejajar dengan bidang β. α
Jarak bidang α dan bidang β = panjang ruas garis AB. (AB tegak lurus bidang α dan bidang β)
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
D. Proyeksi
1. Proyeksi titik pada garis
A Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g. (AB tegak lurus g)
2. Proyeksi titik pada bidang
Titik B adalah proyeksi titik A pada bidang α. (AB tegak lurus bidang α)
3. Proyeksi garis pada bidang
1. Garis g menembus bidang α
Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B ′ adalah proyeksi titik B pada bidang α.
B Proyeksi garis BA pada bidang α = ruas garis
AB ′.
2. Garis g sejajar bidang α
A B g g Titik A dan B pada garis g. Titik A ′ dan B′ berturut-turut proyeksi titik
A dan B pada bidang α. Proyeksi garis g pada bidang α = ruas garis
A ′ B′
E. Sudut
1. Sudut antara dua garis yang bersilangan
g g g g' Garis g dan h bersilangan. ∠ (g, h) = ∠ (g', h) = ∠ (g, h')
= ∠ (g', h') dimana g' // g dan h' // h
h h'
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Sudut antara garis dan bidang
Garis BA menembus bidang α di titik A. Titik B ′ adalah proyeksi titik B pada bidang α, garis AB ′ proyeksi AB pada bidang α.
B ∠ (BA, bidang α) = ∠ (BA, AB′)
3. Sudut antara dua bidang. α
A ( α, β) garis potong bidang α dengan bidang β.
AB tegak lurus ( α, β) (α, β) BC tegak lurus ( α, β)
B Sudut antara bidang α dan bidang β adalah :
∠ (AB, BC) = ∠ ABC
Latihan dan Pembahasan
1. Panjang rusuk kubus ABCD. EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ….
H G HS tegak lurus DH S HS tegak lurus AS
E Jadi HS = jarak DH ke AS
2 2 HF = 6 + 6 = 72 = 6 2 cm
HS = HF = . 6 2 = 3 2 cm
Kunci : C
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Pada kubus ABCD. EFGH, jika θ adalah sudut antara bidang ACF dan ACGE, maka sin θ = ….
a. c. 2 e. 6
b. 3 d. 3
Pembahasan : AC adalah garis potong bidang ACF dan ACGE
H G FM tegak lurus AC
MN tegak lurus AC
E F Sudut antara bidang ACF dan ACGE adalah ∠ FMN. ∆ FMN siku-siku di N
A B Misal : AB = a cm
FH =a 2 cm
NF = a 2 cm
Perhatikan : ∆ FBM
Kunci :B
3. Pada kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah ….
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Pembahasan :
H G AE // CG
∠ (CG, AFH) = ∠ (AE, AFH)
AP = proyeksi AE ke AFH
E F ∠ (AE, AFH) = ∠ (AE, AP) = ∠ EAP atau ∠ EAN.
tan C EN D 1 ∠ EAN = = = 2
AN
Kunci : D
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 4
Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan nilai peluang kejadian, serta menggunakannya dalam
kehidupan sehari-hari.
Ruang Lingkup
• Statistika • Peluang
Ringkasan Materi
III. 1. Statistika.
Rumus ukuran pemusatan (rata-rata, modus, median, dan kuartil) dan ukuran penyebaran (simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam antar varians, dan simpangan baku)
A. Untuk data tunggal :
Dari data : x 1 , x 2 , x 3 , … , x n x
1 + x 2 + .... x n 1
1. Rata-rata = Mean = x
2. Modus adalah ukuran yang paling banyak muncul.
3. Median adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 2 bagian sama banyak.
4. Kuartil adalah ukuran yang membagi data terurut menjadi 4 bagian sama banyak.
Kuartil terdiri atas Q 1, Q 2, dan Q 3 . Q 2 = median
5. Jangkauan = ukuran terbesar – ukuran terkecil.
6. Jangkauan antar kuartil = Q 3 –Q 1
7. Jangkauan semi interkuartil = Simpangan kuartil
= Simpangan kuartil = Qd = ( Q 3 - Q 1 )
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
8. Simpangan rata-rata = S r =
9. Ragam (Variansi) = S = ∑ ( x i − x )
10. Simpangan baku = S = S =
B. Untuk data kelompok :
1. Mean = rata-rata = rataan = x i = = 1
2. Modus = M
t b = tepi bawah kelas modus
S 1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya S 2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
i = interval kelas modus = kelas dengan frekuensi terbesar
n = 1, 2, 3 Q = kuartil ke-n n
tb n = tepi bawah kelas Q n
∑f = jumlah frekuensi
f kn = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q n
f Qn = frekuensi di kelas Q n i= interval
n ∑ k =1
4. Simpangan rata-rata = S R =
5. Ragam = (Varians) = S =
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
6. Simpangan baku = S = S =
Latihan dan Pembahasan
1. Nilai Frekuensi Median data pada tabel adalah …. 19 - 27
Nilai Frekuensi Frekuensi ∑ = 40 f
Kumulatif Kelas Median pada frekuensi
4 6 kumulatif untuk ( ∑ f = 20)
6 10 ⇒ kelas interval 46 – 54
t b 2 = 46 – 0,5 = 45,5
Jadi Median = Q 2 = t b 2 +
Kunci : D
2. Modus dari histogram di samping adalah ….
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Pembahasan : S
frekuensi terbesar = 12
Modus = M
.i S 1 + S 2
4 t b = 44,5
Kunci : B
3. Histogram pada gambar menunjukkan nilai test matematika di suatu kelas.
18 Nilai rata-rata = ….
Titik tengah
Nilai rata-rata =
∑ f ⋅ x 3500
77 12 924 ∑ = 50 f ∑ fx = 3500
Kunci: C
III. 2. Peluang
A. Kaidah Pencacahan Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat terjadi dalam q cara berlainan, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p × q) cara.
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Faktorial :
n !=1×2×3×…×n
B. Permutasi Banyak permutasi (susunan berurutan) k unsur dari n unsur adalah
P () n , k = n P k =
, k ≤n
Permutasi dengan beberapa unsur sama Banyak susunan dari n unsur dengan p unsur sama, q unsur sama, dst, …
adalah …
p × ! ! q × ...
C. Kombinasi Banyak kombinasi (susunan) k unsur dari n unsur adalah
C () n , k = n C k =
, k ≤n
D. Teorema Binomial Newton (x+y) n = C(n,0) n x + C(n,1) n − 1 x − y + C(n,2) x n 2y 2 +….. + C(n,n) n y .
E. Peluang suatu kejadian
Peluang suatu kejadian A = P(A) =
atau
n n (A)
P(A) =
n (S)
k = hasil kejadian A n = seluruh hasil yang mungkin terjadi n (A) = banyak anggota himpunan A n (S) = banyak anggota himpunan ruang sampel
F. Kisaran Nilai Peluang
0 ≤ P(A) ≤ 1
G. Frekuensi Harapan Kejadian A = F h (A) (A) F h = P(A) ×N P(A) = peluang kejadian A
N = banyak percobaan Peluang komplemen kejadian A = P(A ′) = 1–P(A)
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
H. Peluang Kejadian Majemuk
1. Peluang gabungan dua kejadian
P(A U B) = P(A) + P(B) − P(A I B)
2. Peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas
B) P(A U = P(A) + P(B)
3. Peluang kejadian yang saling bebas stokastik
P(A I B) = P(A) × P(B)
4. Peluang kejadian bersyarat (peluang kejadian A setelah B terjadi)
P(A I B)
P(A | B) =
atau P(A I B) = P(A | B) × P(B)
P(B)
Latihan dan Pembahasan \
1. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke
A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A ia tidak mau menggunakan bus yang sama, banyak cara perjalanan orang tersebut adalah …
Banyak cara perjalanan orang tersebut adalah 4 ×3×2×3 = 72
Kunci : C
2. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus tes fisika adalah 0,2. Banyak siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah ….
a. 6 orang
c. 14 orang
e. 32 orang
b. 7 orang
d. 24 orang
10 m dan f kejadian saling lepas,
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Banyak siswa yang lulus =
× 40 = 24 orang
Kunci : D
3. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama. Peluang muncul jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah ….
Pembahasan : Misal : A kejadian muncul jumlah mata dadu 9
B kejadian muncul jumlah mata dadu 10
4 A= { (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) } → P(A) =
3 B= { (4, 6), (5, 5), (6, 4) } → P(B) =
A dan B kejadian saling lepas,
P(A U B) = P(A) + P(B) =
Kunci : B
4. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan rupiah dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan rupiah dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah ….
Pembahasan : Misal : A kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet pertama
B kejadian terambilnya uang ratusan rupiah di dompet kedua
A dan B kejadian saling bebas, P(A I B) = P(A) . P(B)
Kunci : B
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 5
Siswa mampu memahami konsep dan mampu menghitung unsur-unsur yang terkait dengan segitiga, khususnya sudut dan identitas trigonometri, serta menggunakannya
untuk menyelesaikan masalah.
Ruang Lingkup
• Trigonometri
Ringkasan Materi
V.1. Rumus-rumus segitiga dalam trigonometri
A. Hubungan antara sin a, cos a, dan tan a
B. Pada setiap segitiga berlaku :
1. Aturan sinus :
sin A sin B sin C
b 2. Aturan kosinus :
3. Luas segitiga ABC
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
V.2. Rumus-rumus Trigonometri
Rumus trigonometri untuk
1. Jumlah dan selisih dua sudut
2. Sudut rangkap
3. Perkalian sinus dan kosinus
4. Penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus
1 1 cos a + cos b = 2 cos (
a + b ) cos ( a − b )
1 1 cos a − cos b = − 2 sin (
a + b ) sin ( a − b )
1 1 sin a + sin b = 2 sin (
a + b ) cos ( a − b )
1 1 sin a − sin b = 2 cos (
a + b ) sin ( a − b )
V.3. Grafik fungsi trigonometri
1. f(x) = a cos (kx + b) = a cos k + x
2. f(x) = a sin (kx + b) = a sin k + x
b Untuk menggambar grafik y = f(x) = a cos k + x atau k
b y= f(x) = a sin k + x digunakan langkah-langkah sebagai berikut :
a. gambar grafik y = cos x atau y = sin x
b. kalikan semua ordinatnya dengan k
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
jika
positif,
geser grafik ke kanan sejauh
jika
negatif
d. periode grafik adalah
V.4. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri ⊗ Persamaan trigonometri
1. Persamaan dasar trigonometri
2. Persamaan yang dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan Misal : sin 2x + cos x =0
2 sin x cos x + cos x =0 cos x (2 sin x + 1) = 0 …. dan seterusnya.
3. Persamaan yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat
Misal : 2 2 cos x − sin x − 1 = 0
( 1 − sin x ) − sin x − 1 = 0
2 2 sin x + sin x − 1 = 0 …. dan seterusnya.
4. Persamaan berbentuk a cos x + b sin x = C,
2 2 2 dapat diselesaikan dengan a +b ≥ C
⊗ Pertidaksamaan trigonometri Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan
1. Menggambar grafiknya
2. Menggunakan garis bilangan
Latihan dan Pembahasan
1. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang sisinya 5 cm, 6 cm, dan 21 cm adalah .…
a. 21 c. 5 e. 5
b. 21 d. 5
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Kunci : E
2. Diketahui A adalah sudut lancip dan cos A = . 2 2 x
Nilai sin
A adalah ….
Kunci : A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
3. Persamaan grafik di samping adalah ….
e. y = 2 sin ( 2 x + π )
Pembahasan : Grafik pada gambar tersebut dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik
y = sin x sejauh ke kiri, dan mengalikan setiap y dengan 2, periodenya
tetap 2 π.
∴ Jadi y = 2 sin x +
Kunci : C
0 3. Untuk 0 0 ≤ x < 360, himpunan penyelesaian dari sin x − 3 cos x − 3 = 0 adalah ….
a. {120, 180} c. {30, 270} e. {0, 300, 360}
b. {90, 210} d. {0, 300}
tan α = − α di kwadran II
0 0 sin x − 3 cos x = 3
0 2 cos (
x − 150 ) = 3
cos 0 (
x 150
2 − 150 = 30 atau 330 x
x = 180 atau 120
Kunci : A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
( x + 20 ) + sin ( x − 70 ) − 1 ≤ 0
0 4. Himpunan penyelesaian 0 sin
0 Untuk 0 0 ≤x ≤ 360 adalah ….
{ x 0 | ≤ x ≤ 70 atau 160 ≤ x ≤ 360 }
0 0 0 a. 0
{ x 25 | ≤ x ≤ 70 atau 135 ≤ x ≤ 160 }
0 0 0 b. 0
{ x x | ≤ 70 atau x ≥ 160 }
0 c. 0
{ x 70 | ≤x ≤ 160 }
0 d. 0
{ x 20 | ≤x ≤ 110 }
0 e. 0
Pembahasan :
( x + 20 ) + sin ( x − 70 ) − 1 ≤ 0
0 sin 0
( x + 20 ) + sin ( x − 70 ) ≤ 1
0 sin 0
( x − 25 )() cos 45 ≤ 1
0 sin 0 2
sin ( x − 25 ) ≤ 2
0 0 x 0 − 25 = 45 atau 135
0 x 0 = 70 atau 160
Yang diminta : sin ( x − 25 ) − 2 ≤ 0
Yang memenuhi adalah daerah I dan III
{ x 0 | ≤ x ≤ 70 atau 160 ≤ x ≤ 360 }
Kunci : A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 6
Siswa mampu memahami dasar-dasar logika dan mampu menarik kesimpulan dari serangkaian premis yang diberikan.
Ruang Lingkup
• Logika matematika
Ringkasan Materi
VI.1. Pernyataan kalimat terbuka serta ingkarannya
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Contoh : 7 adalah bilangan ganjil (benar)
Malang adalah ibu kota Jawa Timur (salah). Pernyataan dinotasikan dengan huruf p, q, r, s, … Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah/variabel dan belum dapat ditentukan nilai benar atau salah. Jika peubah/variabel diganti dengan konstanta maka menjadi suatu pernyataan.
Contoh :3 + x = 8, Jika x diganti dengan 5 maka kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar .
Ingkaran adalah pernyataan baru dengan nilai kebenaran berlawanan dengan nilai pernyataan semula, dinotasikan dengan ″~″ Contoh : Pernyataan p : 6 > 2 (B) maka ~ p : 6 ≤ 2 (S)
: 4 + 1 = 5 (B) maka ∼ p : 4 + 1 ≠ 5 (S) p
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
VI.2. Operasi logika (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi).
A. Konjungsi
Konjungsi dari pernyataan p dan q ditulis p ∧ q. Dua pernyataan p dan q (p ∧ q) bernilai benar, hanya jika komponen p dan q
bernilai benar.
Tabel kebenaran dari p ∧q pq p ∧q BB B BS S
SB S SS S
B. Disjungsi Disjungsi dari pernyataan p atau q dinotasikan dengan p ∨q Disjungsi dua pernyataan p atau q bernilai salah, hanya jika komponen- komponennya bernilai salah.
Tabel kebenaran dari p ∨q pqp ∨q
BB B BS B SB B SS S
C. Implikasi
Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p → q″ Implikasi p → q bernilai salah, hanya jika p benar dan q salah
Tabel kebenaran implikasi p →q pq p →q BB B BS S
SB B SS B
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
D. Biimplikasi
Biimplikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan lambang ″p ↔ q″.
Biimplikasi dua pernyataan benar, hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama
Tabel kebenaran biimplikasi p ↔q pq p ↔q BB B BS S
SB S SS B
VI.3. Pernyataan Majemuk
A. Pernyataan Majemuk yang ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh :
1. Tunjukkan bahwa : p →q≡~p∨q
Jawab : pq ∼p
sama terbukti
2. Tunjukkan bahwa : p ∧ ∼ q ≡ ∼ (q ∨ ∼p)
Jawab : pq ∼p
sama terbukti
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
B. Negasi Pernyataan Majemuk
• Negasi Konjungsi dan Disjungsi ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q
Hukum De Morgan
∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q
Dapat ditunjukan pada tabel berikut : pq ∼p
∼q p ∧q ∼(p ∧ q)
∼p ∨ ∼q
BS B S S BSSB S B B SBBS S B
Tentukan Negasi dari :
1. 2 Jika 9 3 = maka 6 + 2 > 7 Jawab : ~(p → q) ≡ p ∧ ∼q
2 2 Negasi dari jika 3 = maka 6 + 2 > 7 adalah 9 3 = dan 6 + 2 ≤ 7 9
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Jika Mandor tidak datang maka semua kuli senang Jawab :
Negasi nya adalah : Mandor tidak datang dan ada kuli yang tidak senang.
VI.4. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari implikasi p → q dapat dibentuk implikasi lain yaitu : q → p, yang disebut konvers dari p → q ∼p → ∼q , disebut invers dari p → q ∼q → ∼p , disebut kontraposisi dari p → q
Hubungan tersebut dapat ditunjukan dalam tabel berikut : P q
sama sama
Contoh : Tentukan konvers, invers, dan kontroposisi dari implikasi Jika harga BBM naik, maka semua harga barang naik.
Jawab : Konversnya ialah
Jika semua harga barang naik, maka harga BBM naik. Invers nya adalah Jika harga BBM tidak naik, maka ada harga barang yang tidak naik
Kontraposisi nya adalah Jika ada harga barang yang tidak naik maka harga BBM tidak naik.
VI.5. Penarikan Kesimpulan
1. Prinsip Modus Ponens Premis 1 : p q benar
Premis 2 : p benar
Konklusi :
∴ q benar
Contoh : Jika 3x = 12 maka x = 4 benar
3x = 12
benar ∴ x = 4 benar
2. Prinsip Modus Tollens
Premis 1 : p q benar
Premis 2 :
∼q benar
Konklusi :
∴ ∼ p benar
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Contoh : Jika segitiga ABC sama kaki, maka ∠Α=∠B
benar
∠A≠∠B
benar
∴Segitiga ABC bukan segitiga sama kaki
benar
3. Prinsip Silogisma Premis 1 : p
q benar
Premis 2 : q r benar
Konklusi ∴ p
r benar
Contoh : Selidikilah sah tidaknya argumentasi berikut :
p ∼q
∼q
Jawab : Untuk menyelidikinya dibuat tabel kebenaran dari {(p → ∼q) ∧ p} → ∼q
Cara 1. pq ∼q
B → nilai selalu benar jadi argumentasi sah Cara 2. pq ∼q p → ∼q BBS S BSB B
SBS B SSB B
Pada baris ke-2 Premis 1 → benar Premis 2 → benar
Konklusi → benar → argumentasi sah
Contoh :
1. Invers dari pernyataan (p ∧ ∼q) → p adalah ….
Jawab :
p → q inversnya adalah ∼p → ∼q
Jadi invers dari (p ∧ ∼q) → p adalah ∼(p ∧ ∼q) → ∼p atau (∼p ∨ q) → ∼p
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Ingkaran pernyataan “Beberapa peserta UAN membawa kalkulator “ adalah …
Jawab : “Semua peserta UAN tidak membawa kalkulator“
Latihan dan Pembahasan
1. Diketahui p dan q adalah suatu pernyataan dari penarikan kesimpulan berikut
1. p → q 2. p → q 3. p → q ∼q p → r p
∴ ∼p ∴ q → r ∴q
Argumentasi yang sah adalah ….
a. hanya 1
c hanya 2 dan 3
e. 1, 2, dan 3.
b. hanya 1 dan 2
d. hanya 1 dan 3
BBS S B BSSB S
SBBS B SB B
sah
2. pqrp →qp→rq→r BBB B
Tidak sah
(Modus Ponens)
SB B SS B
Kunci : D
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 7
Siswa mampu memahami konsep irisan kerucut dan sifat-sifatnya, efek transformasi serta mampu menggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
Ruang Lingkup
• Irisan kerucut • Transformasi
Ringkasan Materi
VII.1. Irisan Kerucut
A. Lingkaran
1. Persamaan lingkaran
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dengan jari-jari r adalah
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dengan jari-jari r adalah
x − a )( + y − b ) = r
2 c. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah 2 x + y + A x + B y + C = 0 ,
pusatnya − A, − B dan R = − A + − B − C
2. Jari-jari lingkaran Y y
M (a, b) Lingkaran menyinggung sumbu X maka R = b
M (a, b)
Lingkaran menyinggung sumbu Y maka R = a
Lingkaran menyinggung garis Ax + By + C = 0,
maka R = 2 2
Ax +
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
P (c, d )
Titik P(c, d) pada lingkaran,
2 2 maka R = (
c − a )( + d − b )
M (a, b)
B 1 R = AB
3. Kedudukan garis terhadap lingkaran
a. Garis memotong lingkaran di dua titik berlainan, maka D > 0
b. Garis menyinggung lingkaran, maka D = 0
c. Garis tidak memotong lingkaran, maka D < 0
4. a. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran.
Persamaan garis singgung di titik ( x 1 , y 1 ) pada lingkaran
2 2 2 2 (i) x + y = r adalah xx
1 + yy 1 = r
(ii) 2 ( x − a )( + y − b ) = r adalah ( x − a )( x 1 − a )( + y − b )( y 1 − b ) = r
2 (iii) 2 x + y + A x + B y + C = 0 adalah
xx 1 + yy 1 + A ( x + x 1 ) + B ( y + y 1 ) + C = 0
b. Persamaan garis singgung dengan gradien tertentu. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran
2 2 2 (i) 2 x + y = r adalah y = mx ± r 1 + m
2 2 2 (ii) 2 (
x − a )( + y − b ) = r adalah y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m
2 (iii) 2 x + y + A x + B y + C = 0 adalah
x + a ) ± ( 1 + m )( 4 A + 1 4 B − C )
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–1, 7) pada
2 lingkaran 25 2 x +y = Jawab :
Persamaan garis yang melalui (–1, 7) dengan gradien m adalah :
y − 7 = m ( x + 1 ) y = mx + m + 7
2 Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran 2 x +y = 25
adalah y = mx ± 5 1 + m 2 .
4 3 m 1 = atau m 2 = −
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
∴ 4 x −y 3 + 25 = 0 atau 3 x +y 4 − 25 = 0
Latihan dan Pembahasan
1. Persamaan lingkaran yang melalui titik (3, 4) dengan pusat ( −4, 1) adalah ….
- 4 - 3 )( + 1 − 4 )
2 Persamaan 2 lingkaran: (
x + 4 )( + y − 1 ) = 58
2 2 x + 8 x + 16 + y − 2 y + 1 − 58 = 0
2 2 x + y + 8 x − 2 y − 41 = 0
Kunci: B
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
2. Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2) dan menyinggung garis
x −y 2 + 8 = 0 adalah ….
2 2 2 2 a. (
x + 1 )( + y − 2 ) = 5 d. ( x − 1 )( + y + 2 ) = 5
2 2 2 2 b. (
x + 1 )( + y + 2 ) = 5 e. ( x + 1 )( − y − 2 ) = 5
2 2 c. (
x − 1 )( + y − 2 ) = 5
Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 2)
2 2 dan R = 5 adalah (
x − 1 )( + y − 2 ) = 5
Kunci: C
2 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran 2 x + y − 2 x − 10 y + 17 = 0 yang
sejajar dengan garis 3 x +y 4 + 2 = 0 adalah ….
2 2 R = 1 + 5 − 17 = 3 , Pusat (1, 5)
3 gradien garis 3 x +y 4 + 2 = 0 adalah m 1 = −
3 gradien yang sejajar garis singgung adalah m 2 = −
Persamaan garis singgung yang sejajar garis 3 x +y 4 + 2 = 0 pada lingkaran dengan pusat (1, 5) dan R = 3 adalah 2 y − b = m ( x − a ) ± r 1 + m
y–5=– x + 3±
15 4 y − 20 = − 3 x + 3 ±
38 4 y = − 3 x + atau 4 y = − 3 x + 8
Kunci: A
Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan
B. Parabola
1.a. Persamaan parabola yang berpuncak di (0, 0) dan fokus di :
2 (i). (p, 0) adalah y = 4 px ,0 p > (ii). ( 2 −p, 0) adalah y = − 4 px ,0 p >
2 (iii). (0, p ) adalah x = 4 py ,0 p > (iv). (0, 2 −p) adalah x = − 4 py ,0 p >
1.b. Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) dan fokus di :
(i). 2 (a + p, b) adalah ( y − b ) = 4 p ( x − a ) ,0 p >
(ii). (a 2 − p, b) adalah (
y − b ) = − 4 p ( x − a ) ,0 p >
(iii). (a, b + p) adalah 2 (
x − a ) = 4 p ( y − b ) ,0 p >
(iv) . (a, b 2 − p) adalah (
x − a ) = − 4 p ( y − b ) ,0 p >
2. Kedudukan garis terhadap parabola; sama seperti pada lingkaran.
Persamaan garis singgung di titik ( x 1 , y 1 ) pada parabola
3.a.
2 (i) y = 4 px adalah yy
(ii) 2 y = − 4 px adalah yy
(iii) 2 x = 4 py adalah xx
(iv) 2 x = − 4 py adalah xx
(v) 2 ( y − b ) = 4 p ( x − a ) adalah ( y − b )( y 1 − b ) = 2 p ( x + x 1 − 2 a ) (vi) 2 (
y − b ) = − 4 p ( x − a ) adalah ( y − b )( y 1 − b ) = − 2 p ( x + x 1 − 2 a )
2 (vii) ( x − a ) = 4 p ( y − b ) adalah ( x − a )( x 1 − a ) = 2 p ( y + y 1 − 2 b )
2 (viii) ( y − a ) = − 4 p ( y − b ) adalah ( x − a )( x 1 − a ) = − 2 p ( y + y 1 − 2 b )