Hitung Diferensial

VIII.2. Hitung Diferensial

A. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri

Misal : y = f(x). Turunan fungsi y terhadap x, ditulis dengan y ′(x) = f ′(x) atau

didefinisikan sebagai f ′ ( x ) = lim

dx

Nilai fungsi turunan f′ untuk x = a adalah :

f ( a + h )() − f a

f ′ () a = lim

h →0

Rumus–rumus turunan :

f (x)

f ′(x)

nx , n bilangan Rasional ax n

anx , n bilangan Rasional sin x cos x

cos x – sin x Operasi aljabar fungsi turunan :

a. y = f (x) ± g (x), maka y′ = f ′ (x) ± g′ (x)

b. y = c f (x), maka y ′ = c f ′ (x)

c. y = f(x) . g(x), maka y′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g′ (x)

f () x

f ′ ()() x g x − f ()() x g ′ x

d. y =

, maka y ′ =

() x

g () x )

Contoh :

Tentukan turunan dari :

a. y = (2x + 3)(3x – 5) − 2 2 x + 3 x

b. y =

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Jawab :

a. y = (2x + 3)(3x – 5)

cara 2 1 : y = 6x – x – 15

y ′ = 12x – 1 atau dengan

cara 2 : y = (2x + 3)(3x – 5) y ′ = 2(3x – 5) + (2x + 3)3

= 6x – 10 + 6x + 9 = 12x – 1

b. y =

3 2 3 6 2 x + 16 x − 6 x −

11 2 x

B. Persamaan garis singgung

Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) melalui titik (a, f(a)) adalah

y – f(a) = f ′ (a) (x – a)

Contoh : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 4 – 3x + x 2 di titik

dengan absis 3.

Jawab : gradien garis singgungnya adalah y ′ = –3 + 2x Gradien di titik dengan absis 3 adalah y ′ = –3 + 6 = 3 Ordinat titik singgung y =4–3.3+9=4

Persamaan garis singgung dengan gradien 3 di titik (3, 4) adalah : y – 4 = 3(x – 3) y = 3x – 5

C. Fungsi naik dan fungsi turun

Syarat yang berkaitan dengan fungsi naik dan fungsi turun

Jika f adalah fungsi yang kontinu dan diferensiabel pada interval (a, b), maka : • Jika f ′ (x) = 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f konstan pada interval (a, b). • Jika f ′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f naik pada interval (a, b).

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

• Jika f ′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f turun pada interval (a, b). • Jika f ′ (x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak turun pada interval (a, b). • Jika f ′ (x) ≤ 0 untuk setiap x ∈ (a, b), maka f tidak naik pada interval (a, b).

Contoh :

Tentukan interval, dimana fungsi :

a. naik

3 b. turun, jika fungsi f (x) = x 2 – 6x + 9x + 2

Jawab :

a. Fungsi f (x) naik, maka f ′ (x) > 0

2 f ′ (x) = 3x – 12x + 9

+++ ------ +++

2 3x – 12x + 9 > 0

3 2 (x – 4x + 3) > 0 (x – 3)(x – 1) > 0

f (x) naik untuk x > 3 atau x < 1

b. f (x) turun jika f ′ (x) < 0

(x – 3)(x – 1) > 0

f (x) turun untuk 1 < x < 3

D. Nilai −nilai Stasioner Titik dengan x = a yang memenuhi persamaan f ′ (a) = 0 disebut titik stasioner

Jenis Titik Stasioner ♦ Titik maksimum

f (x) Naik

Turun

f ′ (x)

Positif Nol negatif

f ′′ (x)

Negatif

♦ Titik minimum

f (x) Turun Naik

f ′ (x)

Negatif Nol

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

♦Titik balik di x= a

Naik Turun

Turun Naik

Tentukan nilai stasioner dan jenisnya fungsi f (x) = x 3 (x – 4) + 5

4 3 Jawab : f (x) = x – 4x +5

3 2 f ′ (x) = 4x – 12x

Nilai stasioner diperoleh jika f ′x () = 0

3 2 4x – 12x =0

2 4x (x – 3) = 0 x = 0 atau x = 3

Jadi f (0) = 5

4x 2 +0++0+ x –3

Balik minimum

Jadi titik belok di (0, 0) dan Nilai balik minimum adalah f (3) = –22 ∴ Titik balik minimum (3, −22)

E. Menggambar Grafik

Langkah-langkahnya adalah menentukan : ∗ Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat ∗ Titik stasioner dan jenisnya ∗ Beberapa titik

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Contoh :

Gambarlah 2 kurva y = 2x – 5x + 2

Jawab :

Titik potong dengan sumbu Y →x=0

→y=2 Titik potong (0, 2)

Titik potong dengan sumbu X →y=0

2 2x – 5x + 2 = 0

(2x – 1)(x – 2) = 0 → x = atau x = 2

Titik stasioner dan jenisnya

y ′ = 4x – 5

y ′=0

y ″ = 4 > 0 → minimum

→ y minimum untuk 9 x = atau y = 2 ⋅   − 5   + 2 = −

 5 9  Koordinat titik balik minimum  , − 

Sketsa:

∗ Beberapa titik y Y untuk x = −1 y=9 → (−1, 9)

(-1,9) 9 x = 3

y=5 → (3, 5)

F. Turunan kedua dan pemakaiannya Contoh : Sehelai karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm.

Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x cm. Dari bangun yang didapat dibuat kotak tanpa tutup yang tingginya x cm.

Tentukanlah ukuran kotak agar volumenya maksimum !

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

Jawab :

Volum = (8x – 2x)(5 – 2x)(x)

= 40x – 26x + 4x Nilai stasioner V’(x) = 0

(3x – 10)(x – 1) = 0

atau x = 1

(tidak mungkin) ″ = –52 + 24 x V

V ″ (x = 1) = –52 + 24 = –28 < 0 → maksimum

maks V = 40 – 26 + 4

3 = 18 dm

∴Jadi panjang kotak 6 dm, lebar 3 dm, dan tinggi 1 dm.

Latihan dan Pembahasan

− 1 dy

1. Jika y =

a. cosec x

c. - cosec x

e. sec x tan x

b. cosec x cotan x

d. - cotan x cosec x

Pembahasan :

− () − 1 cos x

dy

= dx

2 = cosec x cotan x

sin x

Kunci : B

2. Persamaan garis yang menyinggung kurva y = 2x 3 – 4x + 3 pada titik yang berabsis − adalah …. 1

3 Pembahasan :x= −1 maka y = 2 (−1) – 4(-1) + 3 = 5

2 y ′ = gradien = 6x –4 Di titik x = -1 adalah m = 6 – 4 = 2

Persamaan garis melalui ( −1, 5) dengan gradien 2 adalah

y – 5 = 2 (x + 1) y = 2x + 7

Kunci : B

Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan

3 3. Nilai maksimum dari f (x) = 2x 2 + 5x – 4x dalam interval −3 ≤ x ≤ −1 adalah ….

2 0 = 3x + 5x −2 (3x − 1)(x + 2) = 0

1 x = atau x = −2

tidak terletak dalam

interval (tidak memenuhi)

f ″(x) = 12x + 10

f ″ (−2) = –24 + 10 = –14 < 0 → maksimum

3 f (–2) = 2.( –2) 2 + 5.( –2) – 4 (–2) = –16 + 20 + 8 = 12

Kunci :B