33 potongnya -2,0 dan 2,0. Titik puncak kurva adalah -
b a
,f-
b a
= 0,4, sehingga dapat disketsa secara teliti yang grafiknya berbentuk parabola pada
gambar di samping kanan. b.
garis yang melalui satu titik 3,-5 pada kurva y = 4 – x
2
, adalah merupakan garis singgung
c. dari gambar grafik di samping atas, dapat ditaksir kemiringan garis singgungnya
adalah : m = 6-1 = -6 d.
kemiringan tali busur yang melalui 3,-5 dan 3,01;4 – 3,01
2
adalah
2
4 - 3,01 --5 -5,0601--5
0, 0601 6, 01
3,01-3 0, 01
0, 01
e. m =
3 3
lim
x
f x
f x
=
2
4 3 5
lim
x
x x
=
2
9 9 6 lim
x
x x
x
=
2
6 lim
6
x
x x
x
Berdasarkan hasil pekerjaan di atas, kita dapat ,melihat bahwa gradien garis singgung di suatu titik x
1
,fx
1
pada kurva y = fx, yang besarnya adalah m =
1 1
lim
x
f x x
f x x
maka pada bahasan selanjutnya, kita akan lebih mudah dalam memahami turunan derivatif suatu fungsi di satu titik.
B. Turunan Fungsi
Definisi 5.1. : pengertian turunan pertama di satu titik
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik x
1
. maka turunan pertama fungsi f di titik x
1
dinotasikan dan didefinisikan sebagai :
f ’x
1
=
1 1
lim
x
f x x
f x x
atau f’x
1
=
1
1 1
lim
x x
f x f x
x x
apabila nilai limit ini ada
Secara lengkap didefinisikan turunan suatu fungsi sebagai berikut:
34
Definisi 5.2 .: pengertian turunan pertama
Jika f suatu fungsi maka turunan pertama dari f untuk setiap x pada domain f ditulis dan didefinisikan sebagai :
f ’x =
lim
x
f x x
f x x
=
lim
x
y x
atau f’x =
lim
t x
f t f x
t x
jika nilai limit tersebut ada.
Catatan :
- Lambang lain dari f’x adalah y’ atau D
x
fx atau dfxdx atau dydx. - sesuai nama penemunya maka
dy dx
disebut notasi Leibniz
Contoh Soal: Tunjukkan bahwa 1. jika fx = 3x
2
+5x maka f ’x = 6x + 5 dan
2. jika gx =
x maka g’x = 1
2 x Jawab :
1. f’x =
lim
x
f x x
f x x
asalkan limitnya ada, maka :
lim
x
f x x
f x x
=
2 2
3 5
3 5
lim
x
x x
x x
x x
x
=
2 2
2
3 3
5 3
5 lim
x
x x
x x
x x
=
6 5
lim
x
x x x
x
= lim 6
3 5
x
x x
= 6x + 5
Jadi terbukti f ’x = 6x + 5.
2. g’x =
lim
x
g x x
g x x
asalkan limitnya ada, maka :
35
lim
x
g x x
g x x
= lim
x
x x
x x
=
lim
x
x x
x x
x x
x x
x x
=
lim
x
x x
x x
x x
x
=
1 1
lim 2
x
x x
x x
Jadi g’x = 1
2 x
Berikut ini rumus-rumus atau aturan turunan derivative suatu fungsi :
Teorema 5.2. : Aturan turunan
Jika fungsi f dan g mempunyai turunan pertama maka : 3.
jika f x = k maka f’x = 0, untuk k konstan 4.
jika f x = x
n
maka f’x =nx
n –1
untuk n Z
5. f ± g’x = f’x ± g’x
6. kf’x = k f’x untuk sembarang konstan k
7. f g’x = f’xgx + fxg’x
8. fg’x = [f’xgx + fxg’x][gx]
2
Aturan fungsi konstanta Aturan pangkat
Aturan Jumlah Aturan kelipatan konstan
Aturan hasil kali Aturan hasil bagi
Bukti :
Aturan turunan ini dapat dibuktikan langsung dengan definisi turunan, namun dengan trik-trik yang harus digunakan. Selanjutnya akan dicoba pembuktian
aturan turunan no.5: f g ’x = f’xgx + fxg’x, bukti yang lain sebagai
latihan. Misalkan Fx = f g x maka F’x = f g’x
F’x =
lim lim
h h
F x h
F x f x
h g x h
f x g x h
h
=
lim
h
f x h g x h f x h g x
f x h g x f x g x
h
= lim
h
g x h g x
f x h f x
f x h g x
h h
=
lim lim
lim lim
h h
h h
g x h
g x f x
h f x
f x h
g x h
h
=
f x g x f x g x
Contoh Soal.
36 1.
Buktikan bahwa aturan pangkat berlaku untuk bilangan bulat negatif 2.
Cari persamaan garis singgung di titik 1,12 pada kurva y = 1x
2
+1
Jawab : 1. Akan dibuktikan bahwa jika f x = x
-n
untuk n bilangan bulat positif maka f’x =-nx
-n –1
f x = x
-n
= 1x
n
maka menurut aturan hasil bagi, diperoleh f ’x =
n n-1
1 2
1 1
2n 2n
x .0-1.nx x
x
n n
n n
nx nx
nx
2. Diketahui : y = f x= 1x
2
+1 akan dicari persamaan garis singgung di titik 1,12. Pertama, dicari gradien garis singgungnya, yaitu m =
f ‘1, sedangkan f ‘x =
2 2
2 2
2
x +1.0-1.2x 2
x 1
x 1
x
maka m = f ‘1 =
2 2
2.1 2
1 1
1 4
2
, sehingga persamaan garis singgung di titik 1,12 adalah : y -
1 2
=
1 2
x – 1 2y – 1 = -x + 1 x + 2y -2 = 0
C. Differensial suatu fungsi
