27 Diskontinuitas pada contoh b ini disebut dapat dihapuskan, karena
dapat dihapuskan dengan mendefinisikan kembali fungsinya sebagai 4
2 ;
2 ,
2 4
2
f
x x
x x
f . Lihat gambar 16b
Perhatikan bahwa diskontinuitas pada contoh a tidak dapat dihapuskan seperti itu, karena nilai limitnya juga tidak ada.
2 1
lim
2
x
x
. Fungsi ini dikatakan mempunyai diskontinuitas yang tak berhingga. Lihat
gambar 16a
C. Kekontinuan Kiri dan Kanan
Definisi 4.2 .
a. Jika fc = lim
x c
f x
, maka fungsi f dikatakan kontinu kiri di titik c.
b. Jika fc = lim
x c
f x
, maka fungsi f disebut kontinu kanan di titik c
D. Kekontinuan Fungsi Pada Suatu Selang
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada
] ,
[ b
a
, jika tidak ada lompatan mendadak pada grafiknya sepanjang interval
] ,
[ b
a
, atau kita dapat ‘menggambarkan’ tanpa mengangkat pensil. Secara matematis didefinisikan:
Definisi 4.3.:
a. Fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka
, b
a
jika fungsi f kontinu di setiap titik dalam
, b
a
b. Fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup
] ,
[ b
a
jika fungsi f kontinu di setiap titik dalam
, b
a
, kontinu kanan pada a dan kontinu kiri pada b. c.
Suatu fungsi dikatakan sebagai fungsi kontinu bila fungsi itu kontinu di setiap titik dalam domainnya.
28
E. Sifat-Sifat Kekontinuan Fungsi
a. Jika fungsi f dan g kontinu di suatu titik
c x
maka fungsi-fungsi berikut kontinu di titik
c x
: k f, f + g, f - g, f g,
f g asalkan gc ≠ 0,
f
n
dan
n
f
asalkan fc 0 jika n genap. b. Jika fungsi f kontinu pada
] ,
[ b
a
dan jika
b f
a f
, maka untuk setiap bilangan c antara
a f
dan
b f
terdapat paling sedikit satu nilai x, misalkan
x x
, dimana
c x
f
. Perhatikan gambar berikut
c. Jika fungsi f kontinu pada
] ,
[ b
a
, maka fx mempunyai nilai terkecil m dan nilai terbesar M pada selang tersebut.
Gambar 19
a b
m M
fb
fa c
x b
Gambar 17
fa fb
c
a b
x
Gambar 18
29 Gambar 20
Gambar 21
F. Kekontinuan Fungsi Komposit
Teorema 4.1
Jika lim
x c
g x L
dan fungsi f kontinu di L maka lim
lim
x c
x c
f g x f
g x f L
Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di gc maka fungsi komposisi f
◦ g juga kontinu di c. Bukti:
Misal
t x
g
. Fungsi f kontinu di L, berarti
lim L
f t
f
L t
Dari definisi limit, hal ini berarti jika diberikan
maka terdapat
1
, sedemikian sehingga
1
L f
t f
L t
, sehingga
1
L f
x g
f L
x g
i
m a
b
M tidak ada b
a m
M
30 Tetapi, karena lim
x c
g x L
, hal ini berarti untuk suatu
1
, terdapat
2
sedemikian sehingga
1 2
L x
g c
x
ii Jika i dan ii digabungkan, didapat
1 1
2
L f
x g
f L
x g
dan L
x g
c x
Hal ini berarti
2
L f
x g
f c
x
atau
lim L
f x
g f
c x
G. Teorema Nilai Antara
