Amplitudo Invarian Zona Fisika | Blogger Lampung Tengah

dalam sistem koordinat laboratorium adalah k ambang lab = m Y + m K 2 − m 2 N 2m N , 2.14 dan energi pusat momentum yang bersesuaian dengan energi foton lab k lab adalah √ s = W = ¡m 2 N + 2m N k lab ¢ 1 2 2.15

2.2 Amplitudo Invarian

Dengan menggunakan notasi standar dari Bjorken-Drell [14], penampang lintang elektro- produksi kaon dapat ditulis sebagai d σ = m 2 e m N m Y 2 π 5 [k 1 · p N 2 − m 2 e m 2 N ] 1 2 |M| 2 d 3 k 2 ε 2 d 3 p N E d 3 q K 2E K δ 4 k 1 + p N − k 2 − p Y − q K 2.16 di mana kuadrat elemen matriks transisi |M| 2 dirata-ratakan terhadap spin awal dan di- jumlahkan terhadap spin akhir dari elektron dan hadron. Elemen matriks transisi M dise- but juga ampitudo transisi, sehingga pembahasan selanjutnya difokuskan pada amplitudo transisi. Dalam menurunkan amplitudo transisi, digunakan amplitudo yang diturunkan dari diagram Feynman reaksi. Dibandingkan dengan pion atau eta, interaksi kaon dengan baryon lebih lemah. Dengan demikian perhitungan cukup dilakukan pada orde terendah tree-level, yang mencakup suku Born dan suku resonansi. Produksi elektromagnetik kaon membutuhkan energi foton yang cukup besar. Hal ini mengakibatkan bertambahnya kemungkinan resonan yang terjadi. Selanjutnya jumlah resonan yang digunakan pada diagram dibatasi dengan melihat kontribusi resonan pada pengurangan harga χ 2 . Gambar 2.3 memperlihatkan diagram Feynman orde terendah lowest-order yang ter- libat dalam proses. Partikel yang dipertimbangkan dalam reaksi dapat dilihat dalam tabel 2.1. Diagram-diagram pada baris atas adalah suku Born, sementara pada baris bawah adalah suku resonansi. Diagram-diagram pada kolom kiri [a dand] adalah kanal s, kolom tengah [b dan e] adalah kanal u, dan kolom kanan [c dan f] adalah kanal t. Partikel resonan yang dipertimbangkan dalam reaksi secara umum adalah resonan nuk- 9 leon N ∗ dan resonan delta ∆ pada kanal s, resonan hyperon Y ∗ pada kanal u, dan resonan kaon K ∗ dan K1 pada kanal t. Spin partikel resonan dibatasi pada spin 3 2 . k f f 1 2 γ N N Y K K Y K N, ∆ Y f 1 f f 1 u f u 2 1 f t s a c e f b K K q Y Y p s N p γ k q Y p N N p f 1 u f 2 u γ k K q K f 1 t Y p Y f 2 t N p N K q K Y p Y k γ γ k N p N N p N K q K Y p Y 2 s s γ k K q K Y p Y K,K 1 f 2 t N p N . d Gambar 2.3: Diagram Feynman elektroproduksi kaon pada nukleon dengan pendekatan one-photon exchange. Diagram-diagram pada baris atas adalah suku-suku Born, dan diagram-diagram pada baris bawah adalah suku-suku resonansi. Matriks transisi M Persamaan 2.16 untuk reaksi elektroproduksi dapat ditulis se- bagai kombinasi linier dari enam amplitudo A i dan matriks M i yang invarian tera dan invarian Lorentz M = ¯up Y 6 ∑ i =1 A i M i u p N 2.17 10 di mana matriks-matriks M i diberikan menurut referensi [15, 16] dengan M 1 = 1 2 γ 5 ε k − k ε , 2.18 M 2 = γ 5 [2q − k · ε P · k − 2q − k · kP · ε ] , 2.19 M 3 = γ 5 q · k ε − q · ε k , 2.20 M 4 = i ε µνρσ γ µ q ν ε ρ k σ , 2.21 M 5 = γ 5 ¡q · ε k 2 − q · kk · ε ¢ , 2.22 M 6 = γ 5 ¡k · ε k − k 2 ε ¢ , 2.23 dengan P = 1 2 p N + p Σ dan ε µνρσ adalah tensor Levi-Civita +1 untuk permutasi genap, −1 untuk permutasi ganjil, dan 0 untuk selain dari pada itu, ε 0123 = 1. Pada reaksi fotopro- duksi di mana k 2 = k · ε = 0, matriks-matriks M 5 dan M 6 menjadi 0 dan hanya digunakan M 1 sd M 4 . Amplitudo invarian A i untuk reaksi fotoproduksi dapat diperoleh dari diagram-diagram Feynman pada gambar 2.3, yang merupakan penjabaran dari gambar 2.2, dengan mener- apkan aturan-aturan Feynman yang sudah ada. Dalam tulisan ini penulis tidak menu- runkan amplitudo transisi namun mengacu pada referensi [6]. Pembahasan lebih lengkap dapat mengacu pada referensi tersebut maupun pembahasan untuk model terbaru pada referensi [8, 9]. Dengan menggunakan aturan Feynman untuk reaksi elektrodinamika kuantum, dari gambar 2.3 a-f dapat diperoleh amplitudo-amplitudo reaksi. Amplitudo-amplitudo reaksi fotoproduksi A i merupakan fungsi variabel dalam pusat momentum. Untuk suku- suku Born didapat amplitudo sbb: A Born 1 = − eg KY N s − m 2 N ³ Q N + κ N m N − m Y 2m N ´ F H 1 − eg KY N u − m 2 Y ³ Q Y + κ Y m Y − m N 2m Y ´ F H 2 −1 − |Q Y | eG KY ′ N u − m 2 Y ′ m Y ′ − m N m Y ′ + m Y F H 2 , 2.24 A Born 2 = ³ eg KY N s − m 2 N 2Q N t − m 2 K + eg KY N u − m 2 Y 2Q Y t − m 2 K ´ a 1 F H 1 + a 2 F H 2 + a 3 F H 3 , 2.25 A Born 3 = eg KY N s − m 2 N κ N F H 1 2m N − eg KY N u − m 2 Y κ Y F H 2 2m Y − 1 − |Q Y | eG KY ′ N u − m 2 Y ′ F H 2 m Y ′ + m Y , 2.26 11 Tabel 2.1: Data partikel yang dipertimbangkan dalam model ini sebagaimana diacu dari referensi [6]. Partikel S J P I µ µ N Massa MeV Lebar MeV p 1 2 + 1 2 2 .79284739 938 .27231 − n 1 2 + 1 2 −1.9130428 939 .56563 − K ± ±1 − 1 2 − 493 .677 − K +1 − 1 2 − 497 .672 − Σ + −1 1 2 + 1 2 .458 ± 0.010 1189 .370 − Σ − −1 1 2 + 1 −1.160 ± 0.025 1197 .436 − Σ −1 1 2 + 1 − 1 2 1.61 ± 0.08 1192 .550 − Λ −1 1 2 + −0.613 ± 0.004 1115 .684 − K ∗± ±1 1 − 1 2 − 891 .59 ± 0.24 49 .8 ± 0.8 K ∗0 +1 1 − 1 2 − 896 .10 ± 0.28 50 .5 ± 0.6 K 1 +1 1 + 1 2 − 1273 ± 7 90 ± 20 N 1 1440 1 2 + 1 2 − 1430 − 1470 250 − 450350 N 2 1520 3 2 − 1 2 − 1515 − 1530 110 − 135120 N 3 1535 1 2 − 1 2 − 1520 − 1555 100 − 250150 N 4 1650 1 2 − 1 2 − 1640 − 1680 145 − 190150 N 5 1700 3 2 − 1 2 − 1650 − 1750 50 − 150100 N 6 1710 1 2 + 1 2 − 1680 − 1740 50 − 250100 N 7 1720 3 2 + 1 2 − 1650 − 1750 100 − 200150 Y 1 1405 −1 1 2 − − 1407 ± 4 50 .0 ± 2 Y 2 1600 −1 1 2 + − 1560 − 1700 50 − 250150 Y 3 1670 −1 1 2 − − 1660 − 1680 25 − 5035 Y 4 1800 −1 1 2 − − 1720 − 1850 200 − 400300 Y 5 1810 −1 1 2 + − 1750 − 1850 50 − 250150 Y 6 1660 −1 1 2 + 1 − 1630 − 1690 40 − 200100 Y 7 1750 −1 1 2 − 1 − 1730 − 1800 60 − 16090 ∆ 1 1232 3 2 + 3 2 − 1230 − 1234 115 − 125120 ∆ 2 1600 3 2 + 3 2 − 1550 − 1700 250 − 450350 ∆ 3 1620 1 2 − 3 2 − 1615 − 1675 120 − 180150 ∆ 4 1700 3 2 − 3 2 − 1670 − 1770 200 − 400300 ∆ 5 1900 1 2 − 3 2 − 1850 − 1950 140 − 240200 ∆ 6 1910 1 2 + 3 2 − 1870 − 1920 190 − 270250 ∆ 7 1920 3 2 + 3 2 − 1900 − 1970 150 − 300200 12 Tabel 2.2: Faktor verteks elektromagnetik yang digunakan dalam referensi [6]. Q i dan µ i melambangkan muatan dan momen magnetik dari partikel yang terlibat dalam reaksi. g iK γ dan g a ,b ∆ N γ adalah kekuatan transisi transition strengths untuk verteks elektromagnetik K dan ∆ . Massa sebesar M = 1 GeV dimasukkan untuk membuat kekuatan transisi g K ∗ K γ tidak berdimensi. Dengan alasan yang sama, kekuatan kopling coupling strength g KY ∆ dibagi dengan m ∆ . Verteks Kopling NN γ −iQ N ε + µ N σ µν ε µ k ν KK γ −iQ K 2q K − k · ε YY γ −iQ Y ε + µ Y σ µν ε µ k ν YY ′ γ µ YY ′ σ µν ε µ k ν K ∗ K γ −i g K ∗ K γ M ε µνρσ ε ν k ρ q σ K N ∗ 1 2 + N γ µ N ∗ σ µν ε µ k ν N ∗ 1 2 − N γ i µ N ∗ σ µν ε µ k ν γ 5 K 1 K γ −i g K 1 K γ M {k · q K − k ε µ − ε · q K − kk µ } Y ∗ 1 2 + Y γ µ Y ∗ σ µν ε µ k ν Y ∗ 1 2 − Y γ i µ Y ∗ σ µν ε µ k ν γ 5 ∆ 3 2 + N γ n g a ∆ N γ µ ε ν − ε k ν √ s + m N ¶ + g b ∆ N γ ε · p N k ν − k · p N ε ν √ s + m N 2 o γ 5 ∆ 3 2 − N γ −i n g a ∆ N γ µ ε ν − ε k ν √ s − m N ¶ + g b ∆ N γ ε · p N k ν − k · p N ε ν √ s − m N 2 o 13 Tabel 2.3: Faktor verteks hadronik yang dipakai oleh referensi [6]. Bersama dengan keku- atan transisi pada Tabel 2.2, semua konstanta kopling hadronik g KY N dan g KY ∆ ditentukan melalu pencocokan data. Verteks Kopling KY N g KY N γ 5 K ∗ Y N −ig V K ∗ Y N γ µ + g T K ∗ Y N m N + m Y σ µν q K − k ν KY N ∗ 1 2 + g KY N ∗ γ 5 KY N ∗ 1 2 − −ig KY N ∗ K 1 Y N −ig V K 1 Y N γ µ γ 5 + g T K 1 Y N m N + m Y σ µν q K − k ν γ 5 KY ∗ 1 2 + N g KY ∗ N γ 5 KY ∗ 1 2 − N −ig KY ∗ N KY ∆ 3 2 + −i g KY ∆ m ∆ p µ Y KY ∆ 3 2 − g KY ∆ m ∆ p µ Y γ 5 14 A Born 4 = eg KY N s − m 2 N κ N F H 1 2m N + eg KY N u − m 2 Y κ Y F H 2 2m Y + 1 − |Q Y | eG KY ′ N u − m 2 Y ′ F H 2 m Y ′ + m Y , 2.27 di mana F H 1 ,2,3 menyatakan faktor bentuk hadronik pada kanal-kanal s, u, dan t, dan a 1 , a 2 , a 3 adalah koefisien faktor bentuk hadronik. Faktor bentuk hadronik ini akan diba- has lebih lanjut dalam sub bab 2.3 dan lampiran B. Kontribusi dari kanal s dengan propagator partikel resonansi N ∗ 1 2 ± dan ∆ 1 2 ± den- gan spin 1 2 , yaitu gambar 2.3 d, adalah A N ∗ 1 2 ± 1 = − eC N ,N ∗ 1 2 ± G N ∗ 1 2 ± s − m 2 N ∗ 1 2 ± + im N ∗ 1 2 ± Γ N ∗ 1 2 ± m N ∗ 1 2 ± ∓ m Y − i Γ N ∗ 1 2 ± 2 m N ∗ 1 2 ± + m N F H 1 , 2.28 A N ∗ 1 2 ± 3 = ± eC N ,N ∗ 1 2 ± G N ∗ 1 2 ± s − m 2 N ∗ 1 2 ± + im N ∗ 1 2 ± Γ N ∗ 1 2 ± F H 1 m N ∗ 1 2 ± + m N , 2.29 A N ∗ 1 2 ± 4 = A N ∗ 1 2 ± 3 , 2.30 A N ∗ 1 2 ± 2 = 0, 2.31 di mana faktor C N ,N ∗ 1 2 ± diberikan oleh C N ,N ∗ 1 2 ± = 1 untuk produksi pada proton 2.32 C N ,N ∗ 1 2 ± = κ ∗ n κ ∗ p untuk produksi pada neutron . 2.33 Untuk resonan ∆ 1 2 ± amplitudonya serupa dengan amplitudo untuk resonan N ∗ 1 2 ±. Perbedaannya dengan resonan N ∗ 1 2 ± adalah pada konstanta kopling, massa, dan lebar partikel yang bersangkutan. Kontribusi resonan dari kanal u, gambar 2.3 e, yakni resonan hyperon Y ∗ 1 2 ± adalah, A Y ∗ 1 2 ± 1 = N Y ∗ 1 2 ± h ±m N − m Y ∗ 1 2 ± m Y + m Y ∗ 1 2 ± + i Γ Y ∗ 1 2 ± 2 m Y + m Y ∗ 1 2 ± i , 2.34 A Y ∗ 1 2 ± 3 = N Y ∗ 1 2 ± h ∓ 1 m Y + m Y ∗ 1 2 ± i , 2.35 15 A Y ∗ 1 2 ± 4 = −A Y ∗ 1 2 ± 3 , 2.36 A Y ∗ 1 2 ± 2 = 0, 2.37 dimana N Y ∗ 1 2 ± = eG Y ∗ 1 2 ± F H 2 u − m 2 Y ∗ 1 2 ± + im Y ∗ 1 2 ± Γ Y ∗ 1 2 ± . 2.38 Kanal t, yaitu gambar 2.3 f, dengan propagator resonan kaon K ∗ 1± dan K11± memiliki amplitudo A K ∗ 1± 1 = ±1 − 1 2 N K ∗ 1± G T ± t , 2.39 A K ∗ 1± 2 = ∓N K ∗ 1± G T ± , 2.40 A K ∗ 1± 3 = N K ∗ 1± h 1 ± 1 2 m N + m Y G V ± ± G T ± m Y − m N i , 2.41 A K ∗ 1± 4 = 1 ∓ 1 2 N K ∗ 1± G V ± m N + m Y , 2.42 dimana N K ∗ 1± = C K ∗ 1± F H 3 M t − m 2 K ∗ 1± + im K ∗ 1± Γ K ∗ 1± m N + m Y . 2.43 Faktor C K ∗ 1± tergantung pada muatan kaon yang dihasilkan. Faktor ini didefinisikan sebagai berikut: C K ∗ 1± = 1 untuk produksi K + 2.44 C K ∗ 1± = Γ K∗0→K0 γ Γ K∗+→K + γ untuk produksi K . 2.45 Amplitudo untuk resonan dengan spin 3 2 , yakni resonan ∆ 3 2 ± dan N ∗ 3 2 ±, adalah A ∆ 3 2 ± 1 = N ∆ 3 2 ± ³ G 1 KY ∆ 3 2 ± 2 h 3t − m 2 K − 2m 2 N − 2m 2 Y 16 + m 2 K − m 2 Y s {s − m 2 N ± m N + m Y √ s ± m N } ±m N + m Y {2 √ s ± m N ± 3m Y + 1 √ s s + m N m Y − m 2 K + m 2 Y } −4m Y ± √ s + m N ± 1 √ s {m Y s − m 2 N − 2m N s − m 2 K + m 2 Y } i + G 2 KY ∆ 3 2 ± √ s ± m N h ± 1 2 m N + m Y n 1 2 3t − s − m 2 Y − 2m 2 K −m Y ± √ s − m N o + 1 4 √ s s − m 2 K + m 2 Y × n m N + m Y m N + s − m 2 N o ± m Y 2 s − m 2 N i´ , 2.46 A ∆ 3 2 ± 2 = N ∆ 3 2 ± ³ −3G 1 KY ∆ 3 2 ± + 3 2 G 2 KY ∆ 3 2 ± √ s ∓ m N √ s ± m N ´ , A ∆ 3 2 ± 3 = N ∆ 3 2 ± √ s ± m N ³ G 1 KY ∆ 3 2 ± h ∓2 + 1 2 √ s ± m N × n 3m Y ± 1 √ s s + m N m Y − m 2 K + m 2 Y o ± m 2 K − m 2 Y 2s i + G 2 KY ∆ 3 2 ± √ s ± m N 2 × h ± 1 4 5s + 3t − 6m 2 N − 2m 2 K − m 2 Y − 1 2 m Y √ s ∓ m N + s − m 2 K + m 2 Y m N 4 √ s i´ , 2.47 A ∆ 3 2 ± 4 = N ∆ 3 2 ± √ s ± m N ³ G 1 KY ∆ 3 2 ± h ±1 + 1 2 √ s ± m N × n 3m Y ± 1 √ s s + m N m Y − m 2 K + m 2 Y o ± m 2 K − m 2 Y 2s i + G 2 KY ∆ 3 2 ± √ s ± m N 2 h ∓ 1 4 s − 3t + 2m 2 K + m 2 Y − 1 2 m Y √ s ∓ m N + s − m 2 K + m 2 Y m N 4 √ s i´ , 2.48 dengan faktor N ∆ 3 2 ± diberikan oleh N ∆ 3 2 ± = F H 1 [3m ∆ 3 2 ± s − m 2 ∆ 3 2 ± + im ∆ 3 2 ± Γ ∆ 3 2 ± √ s ± m N ] . 2.49 Faktor G 1 KY ∆ 3 2 ± dan G 2 KY ∆ 3 2 ± pada persamaan di atas menandakan adanya dua ke- 17 mungkinan kopling elektromagnetik pada verteks N γ ∆ 3 2 ± . Faktor ini dimasukkan un- tuk mempertahankan bentuk umum dari amplitudo. Dari perhitungan amplitudo invarian yang diperoleh terdapat beberapa konstanta ko- pling yang belum diketahui yaitu dan dijadikan parameter bebas: g Λ = g K Λ N g Σ = g K Σ N G V K ∗ = g K ∗ K γ g V K ∗ Y N G T K ∗ = g K ∗ K γ g T K ∗ Y N G V K 1 = g K 1 K γ g V K 1 Y N G T K 1 = g K 1 K γ g T K 1 Y N G N ∗ 1 2 = κ N ∗ 1 2 g KY N ∗ G 1 ,2 N ∗ 3 2 = g 1 ,2 N ∗ 3 2 N γ g KY N 3 2 . G Y ∗ = κ Y ∗ g KY ∗ N G ∆ 1 2 = κ ∆ 1 2 g KY ∆ 1 2 G 1 ,2 ∆ 3 2 = g 1 ,2 ∆ 3 2 N γ g KY ∆ 3 2 . Nilai konstanta kopling ini ditentukan oleh ‘pencocokan’ terhadap data besaran teramati hasil eksperimen produksi kaon.

2.3 Faktor Bentuk Hadronik