−
=
+
− −
+ −
− P
u u
u k
k k
k k
k k
k k
3 2
1 3
2 2
2 2
1 1
1 1
. . . . . . . 3.5
Atau: [K] {D} = {R}
. . . . . . . 3.6
Gambar 3.2.4
a Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif u
1
,u
2
,u
3
. Elemen hinga disini adalah pegas linier dengan kekakuan k
1
, k
2
,k
3
. b Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal i
[Robert D. Cook, 1990]
3.3 Persaamaan Grid dan Frame Element 3.3.1 Elemen Beam dua dimensi berorientasi ke semua arah
Kita dapat menurunkan kekakuan matriks untuk elemen balok berorientasi secara keseluruhan. seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3.1. Sumbu lokal x dan
y terletak di sepanjang. elemen balok dan melintang untuk masing-masing elemen balok. Sumbu global x dan y terletak pada seluruh element struktur.
y x
d d
ˆ ˆ
=
−
C S
S C
y x
d d
. . . . . . . 3.7
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.3.1 Elemen Beam dua dimensi Arbitrarily Oriented Dengan menggunakan persamaan 3.7, untuk elemen beam kita hubungkan
dengan nodal lokal derajat kebebasan terhadap derajat kebebasan sumbu global dengan persamaan:
= . . . . . . 3.8
Dimana, untuk elemen beam kita defenisikan matriks transpormasi sebagai berikut:
T =
k = T
T
k T . . . . . . . 3.9
Maka diperoleh matriks kekakuan
. . . . . . . 3.10
1
φ
y
d
1
ˆ
2
φ
y
d
2
ˆ
yˆ
1 2
x y
θ
1 1
C S
C S
− −
2 2
1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
φ φ
y y
d d
2 2
2 1
1 1
φ φ
y x
y x
d d
d d
1 1
C S
C S
− −
− −
− −
− −
− −
=
− 2
2 2
2 2
2 2
2 2
3
L 4
Symmetry LC
6 C
12 LS
6 SC
12 S
12 L
2 LC
6 LS
6 L
4 LC
6 C
12 SC
12 LC
6 C
12 LS
6 SC
12 S
12 LS
6 SC
12 S
12
L EI
k
Universitas Sumatera Utara
Dimana : C= Cos Ө
S= Sin Ө
Untuk gaya axial, digunakan persamaan:
x x
f f
2 1
ˆ ˆ
=
L AE
− −
1 1
1 1
x x
d d
2 1
ˆ ˆ
. . . . . . 3.11
Gambar 3.3.2 Gaya lokal yang bekerja pada element beam
Dengan menggabungkan pers 3.11 dengan persamaan kekakuan element beam, maka koordinat lokal diperoleh sebagai berikut:
2 2
2 1
1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
m f
f m
f f
y x
y x
=
− −
− −
− −
− −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1
4 6
2 6
6 12
6 12
1 2
6 4
6 6
12 6
12
L C
L C
L C
L C
L C
C L
C C
C C
L C
L C
L C
L C
L C
C L
C C
C C
2 2
2 1
1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
φ φ
y x
y x
d d
d d
. . . . . 3.12
Dimana: C
1
=
L AE
dan C
2
=
3
L EI
. . . . . . . 3.13 yˆ
x xˆ
y
x
f
2
ˆ
2
ˆ m
y
f
2
ˆ
θ
1
ˆ m
x
f
1
ˆ
y
f
1
ˆ
Universitas Sumatera Utara
Sehingga:
= kˆ
− −
− −
− −
− −
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1
4 6
2 6
6 12
6 12
1 2
6 4
6 6
12 6
12
L C
L C
L C
L C
L C
C L
C C
C C
L C
L C
L C
L C
L C
C L
C C
C C
. . . . . . .3.14
Persamaan matriks
−
kˆ tersebut di atas memiliki tiga derajat kebebasan disetiap node dan sekarang termasuk efek axial arah sumbu xˆ , serta efek gaya geser arah
sumbu
yˆ
dan juga efek momen lentur arah sumbu
zˆ
. Sehingga diperoleh hubungan antara perpindahan sumbu lokal terhadap sumbu global sebagai berikut:
2 2
2 1
1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
φ φ
y x
y x
d d
d d
=
− −
1 1
C S
S C
C S
S C
2 2
2 1
1 1
φ φ
y x
y x
d d
d d
. . . . . . . . 3.15
Dimana T diperluas untuk mencakup efek lokal deformasi aksial sebagai:
= T
− −
1 1
C S
S C
C S
S C
. . . . . . . . 3.16
Dengan mensubstitusi nilai T dan nilai
−
kˆ ke persamaan 3.9, maka kita akan memperoleh matriks kekakuan global untuk element Beam yang mencakup gaya
aksial, gaya geser, dan momen lentur sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
. . . . . . 3.17
3.3.2 Element Frame dengan Perletakan Miring
Element Frame dengan perletakan dukungan yang condong miring diperlihatkan pada gambar 2.8.3
Gambar 3.3.3 Element Frame Dengan Perletakan miring
Sesuai dengan gambar 3.3.3 kita menerapkan nilai T terhadap ke tiga node sebagai berikut:
3 3
3
φ
y x
d d
=
−
1 cos
sin sin
cos α
α α
α
3 3
3
φ
y x
d d
[Ti]{f} = [T
i
][K][T
i
]
T
{d}
− +
− +
− +
− −
− +
− −
− +
− −
− +
=
I 4
Symmetry C
L I
6 2
C 2
L I
12 2
AS S
L I
6 CS
2 L
I 12
A 2
S 2
L I
12 2
AC I
2 C
L I
6 S
L 61
I 4
C L
I 6
2 C
2 L
I 12
2 AS
CS 2
L I
12 A
C L
I 6
2 C
2 L
I 12
2 AS
S L
I 6
CS 2
L I
12 A
2 S
2 L
I 12
2 AC
S L
I 6
CS 2
L I
12 A
2 S
2 L
I 12
2 AC
x L
E kˆ
2 y
1 x
3 yˆ
xˆ α
Universitas Sumatera Utara
3 3
3 2
2 2
1 1
1
M F
F M
F F
M F
F
Y X
Y X
Y X
= [T
i
][K]{T
i
]
= =
= =
=
3 3
3 3
2 2
2 1
1 1
φ φ
φ φ
Y X
y x
y x
d d
d d
d d
Dimana:
[T
i
] =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
3
t I
I
Dan
[t
3
] =
−
1 cos
sin sin
cos α
α α
α
3.3.3 Persamaan Grid
Grid adalah struktur yang dibe beban tegak lurus terhadap bidang struktur,
sebagai lawan dari portal bidang, di mana beban diterapkan dalam bidang struktur.
Gambar 3.3.4 Struktur Umum Grid z
x
4
F
3
F
2
F
1
F y
Universitas Sumatera Utara
Gambar 3.3.5 Grid Element Dengan Derajat Kebebasan dan Gaya Nodal
Gambar 3.3.6 Perjanjian Tanda Nodal dan Element Torsi Turunan sebenarnya disajikan sebagai berikut. kita asumsikan penampang
silang lingkaran dengan jari-jari R untuk kesederhanaan tetapi tanpa kehilangan pemerataan.
• Langkah 1. Gambar diatas menunjukkan tandanodal torsi dan sudut puntir.
• Langkah 2 kita asumsikan variasi sudut puntir linier sepanjang sumbu x sehingga:
x a
a ˆ
ˆ
2 1
+ =
φ
. . . . . . .
3.18
x x
x
x L
1 1
2
ˆ ˆ
ˆ
φ φ
φ φ
+
−
=
. . . . . . .
3.19
Atau bisa juga ditulis dalam bentuk:
[ ]
=
x x
N N
2 1
2 1
ˆ ˆ
ˆ
φ φ
φ
. . . . . . .
3.20
dengan fungsi bentuk diberikan dari
x x
m
2 2
, φ
x x
m
1 1
, φ
2
x L
1 x
x
m φ
,
x x
m φ
, x
2 1
L
L
yˆ
zˆ 1
2
y y
d f
1 1
ˆ ,
ˆ
y y
d f
2 2
ˆ ,
ˆ
z z
m
1 1
ˆ ,
ˆ
φ
x x
m
1 1
ˆ ,
ˆ
φ
x x
m
2 2
ˆ ,
ˆ
φ
x x
m
2 2
ˆ ,
ˆ
φ
Universitas Sumatera Utara
L x
N L
x N
ˆ ˆ
1
2 1
= −
=
. . . . . . 3.21 • Langkah 3
Kita memperoleh regangan geser γ φ
γ
ˆ ˆ
max
d R
x d
AB =
=
−
Penyelesaian untuk regangan geser maksimum γ
max
, kita dapatkan
x d
d R
ˆ ˆ
max
φ γ
=
Gambar 3.3.7 Deformasi Puntir Dari Segmen Batang.
ˆ ˆ
ˆ ˆ
1 2
x x
L r
x d
d r
φ φ
φ γ
− =
=
. . . . . . .3.22 Hubungan tegangan geser τ dan regangan geser γ untuk bahan isotropik elastis linier
adalah sebagai berikut: γ
τ
G =
. . . . . . 3.23 Dimana G= Modulus geser material
• Langkah 4 kita menurunkan kekakuan elemen matriks dengan cara sebagai berikut. Dari
mekanika dasar, kita memiliki tegangan geser yang terkait dengan torsi diterapkan oleh:
D
max
γ
yˆ
xˆ
zˆ
x dˆ
A B
C O
R
Universitas Sumatera Utara
R J
m
x
τ
= ˆ
. . . . . . 3.24 Dimana J disebut momen inersia polar. Dengan mensubstitusikan persamaan 3.22,
3.23 dan 3,24 maka diperoleh:
x x
x
L GJ
m
1 2
ˆ ˆ
ˆ
φ φ
− =
. . . . . . 3.25 Seperti halnya perjanjian tanda konvensional torsi pada gambar 3.3.7
x x
m m
ˆ ˆ
1
− =
. . . . . . 3.26 Maka persamaan 2.36 dan 2.37 menjadi:
x x
x
L GJ
m
2 1
1
ˆ ˆ
ˆ
φ φ
− =
. . . . . . 3.27 Hal yang sama untuk persamaan:
x x
m m
ˆ ˆ
2
= . . . . . . 3.28
x x
x
L GJ
m
1 2
2
ˆ ˆ
ˆ
φ φ
− =
. . . . . . 3.29 Dari persamaan 3.27 dan persamaan 3.29 maka diperoleh matriks kekakuan untuk
element batang sebagai berikut:
− −
=
x x
x x
L GJ
m m
2 1
2 1
ˆ ˆ
1 1
1 1
ˆ ˆ
φ φ
. . . . . . 3.30
Sehingga, matriks kekakuan untuk puntir batang adalah:
−
− =
−
1 1
1 1
ˆ L
GJ k
. . . . . . 3.31 Untuk penampang yang berbentuk persegi panjang tipis seperti saluran, bersudut,
ataupun profil I, diperkiraan nilai J:
∑
=
3
3 1
i i
t b
J
. . . . . . 3.32
Universitas Sumatera Utara
Secara umum khusus untuk tampang persegi maka Inersia torsi :
3
. . b
a J
α =
Dimana nilai α diperoleh dari perbandingan a dan b
Berikut dilampirkan table koefisien untuk mencari J pada tampang persegi:
b a
α
1 0.141
1.5 0.196
`2 0.229
2.5 0.249
3 0.263
4 0.281
5 0.291
6 0.299
8 0.307
10 0.312
~ 0.333
Dengan menggabungkan persamaan 3.31 dengan persamaan kekakuan elemen balok maka diperoleh persamaan kekakuan element untuk grid element sebagai berikut:
a
b
Universitas Sumatera Utara
− −
− −
=
z x
y z
x y
z x
y z
x y
d d
L EI
Symmetry L
GJ L
EI L
EI L
EI L
EI L
EI L
GJ L
GJ L
EI L
EI L
EI L
EI
m m
f m
m f
2 2
2 1
1 1
2 3
2 2
3 2
3
2 2
2 1
1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
4 6
12 2
6 4
6 12
6 12
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
φ φ
φ φ
. . . . . . 3.33
Serta matriks kekakuan lokal untuk grid element:
=
− G
kˆ
L EI
L EI
L EI
L EI
L GJ
L GJ
L EI
L EI
L EI
L EI
L EI
L EI
L EI
L EI
L GL
L GJ
L EI
L EI
L EI
L EI
d d
Z X
Y Z
X y
4 6
2 6
6 12
6 12
2 6
4 6
6 12
6 12
2 2
2 3
2 3
2 2
2 3
2 3
2 2
2 1
1 1
− −
− −
− −
− −
φ φ
φ φ
. . . . . . . 3.34
Matriks transformasi terkait lokal terhadap derajat kebebasan global untuk grid ditentukan oleh:
T
G
=
− −
C S
S C
C S
S C
1 1
.
. . . . . . 3.35
Dimana, θ bernilai positif, berlawanan arah jarum jam dari sumbu xˆ ke x dalam bidang x-z, seperti tampak pada gambar 3.3.8
Universitas Sumatera Utara
C = Cos θ =
L xi
xj −
S = Sin θ =
L zi
zj −
Gambar 3.3.8 Element Grid Berorientasi pada elemen x.
3.4 Element Beam Berorientasi Dalam Ruang
