BAB III METODE ANALISA
3.1 Umum
Dewasa ini pemodelan struktur sudah semakin kompleks. Tidak dapat dipungkiri karena pengaruh ilmu pengetahuan yang semakin maju dan selera
masyarakat yang semakin berbeda sehingga memungkinkan terbentuknya pemodelan-pemodelan dengan struktur yang bervariasi dan semakin mendekati
ambang batas keamanan dari struktur tersebut. Dengan demikian, untuk menjawab kebutuhan-kebutuhan tersebut maka diperlukan adanya alat yang dapat digunakan
untuk membantu dan menjawab persoalan tersebut yakni semakin berkembangnya program-program komputer yang dapat memodelkan berbagai bentuk struktur
sampai dengan mengukur ketahanan dan kestabilan dari pemodelan struktur tersebut. Pemograman komputer tersebut dibuat berbasiskan konsep perhitungan
analisa struktur. Salah satunya adalah pemograman komputer yang berbasiskan perhitungan dengan konsep Elemen Hingga. Jadi, setiap pengerjaan data atau yang
disebut dengan out put dari pemograman komputer tersebut dihitung dengan konsep tersebut walaupun tidak dijabarkan secara mendetail setiap proses perhitungan
sehingga mendapakan hasil yang sedemikian rupa.
3.2 Konsep Elemen Hingga
Metode elemen hingga adalah prosedur numerik untuk memecahkan masalah mekanika kontinum dengan ketelitian yang dapat diterima oleh rekayasawan. Seperti
yang terlihat dalam gambar 3.21 bahwa tegangan dan peralihan pada suatu struktur harus dicari, jawaban numeriknya tidak akan ada pada buku manapun. Metode-
metode klasik menunjukkan bahwa masalah ini berupa persamaan diferensial parsial,
Universitas Sumatera Utara
akan tetapi jawabannya tidak ada karena geometri dan pembebanannya terlalu kompleks. Secara praktis banyak sekali masalah yang terlalu kompleks untuk
diperoleh jawaban tertutupnya close form solution. Untuk itu diperlukan solusi numerik, dan salah satu yang cukup memadai adalah metode elemen hingga.
Gambar 3.2.1
a Struktur bidang dengan bentuk sembarang b Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut.
c Elemen segi empat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul pi dan qi.Garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan
peralihan arah x titik 3
[Robert D. Cook, 1990] Pada gambar 3.2.1b diperlihatkan metode elemen hingga. Daerah yang
berupa segi tiga dan kuadrilateral adalah elemen-elemen hingga.Titik-titik hitam adalah titik simpul node dimana elemen yang satu berhubungan dengan yang
lainnya. Suatu jaring mesh adalah susunan titik simpul dan elemen. Bentuk jaring pada gambar tersebut di atas terdiri atas elemen segi tiga dan kuadrilateral, ada yang
mempunyai titik simpul pada sisinya dan ada pula yang hanya pada ujungnya. Pada dasarnya, elemen hingga merupakan bagian-bagian kecil dari struktur
aktual. Akan tetapi kita tidak dapat mengubah gambar 3.2.1a menjadi gambar 3.2.1b hanya dengan membuat potongan sembarang seperti potongan-potongan material
yang terikat pada titik kumpul. Apabila terpotong demikian, struktur tersebut akan sangat melemah. Selain itu, potongan-potongan tersebut akan mempunyai
konsentrasi regangan pada titik-titik kumpulnya dan akan cenderung menjadi
Universitas Sumatera Utara
tumpang tindih atau terpisahkan disepanjang potongan. Jelasnya, pada struktur aktual tidak akan terjadi demikian, jadi elemen hingga harus dapat berdeformasi dengan
cara yang terbatas. Sebagai contoh, apabila ujung-ujung elemen dikendalikan untuk tetap lurus seperti yang terlihat pada gambar 3.2.1c maka elemen yang bersebelahan
dengannya tidak akan bertumpang tindih maupun terpisahkan. Untuk memformulasikan suatu elemen, maka harus dicari gaya-gaya titik
simpul nodal forces yang menghasilkan berbagai ragam deformasi elemen. Gaya- gaya ini dapat dicari dengan teori dasar untuk elemen hingga “alami” seperti balok
beam atau batang bar. Akan tetapi untuk elemen-elemen yang didefenisikan dengan menggambarkan garis-garis pada suatu kontinum seperti gambar 3.2.1a,b dan
c diperlukan prosedur baru. Metode elemen hingga tidak dibatasi pada masalah-masalah mekanika
struktural. Pada gambar 3.2.2 diperlihatkan bagaimana permukaan Ф yang berubah
secara halus dapat didekati dengan permukaan yang datar. Elemen bertitik simpul empat dan delapan yang masing-masing diperlihakan dengan permukaan terpilin dan
lengkung merupakan pendekatan yang baik ke fungsi situasinya. Pendekatan ini akan semakin baik apabila elemen yang digunakan semakin banyak.
Gambar 3.2.2 Fungsi kombinasi Ф= Фx,y dan elemen tipikal
yang dapat digunakan untu mendekatinya [Robert D. Cook, 1990]
Universitas Sumatera Utara
Didalam suatu elemen segi empat pada gambar 3.2.2, Ф adalah fungsi linier
dari x dan y. Elevasi dan inklinasi elemen dapat didefenisikan dengan tiga harga titik simpul dari
Ф. Dua elemen tidak harus mempunyai elevasi dan kemiringan yang sama. Sketsa ini memperlihatkan esensi metode elemen hingga yaitu pendekan
bagian demi bagian untuk fungsi Ф dengan menggunakan polinomial yang mana
masing-masing terdefenisi pada daerah elemen yang kecil dan dinyatakan dalam harga-harga titik simpul dari fungsi tersebut.
Elemen adalah susunan materi yang mempunyai bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung kepada bentuk fisik
dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun elemen tersebut akan menyebutkan totalitas element tersebut. Totalitas sifat elemen inilah disebut dengan
kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur mempunyai Modulus elastis E, Modulus geser G, Luas penampang A, Panjang L dan Inersia I. Hal inilah
yang salah satu yang perlu dipahami didalam pemahaman elemen hingga nantinya,
bahwa kekakuan adalah fungsi dari E,G,A,L,I.
Sebagaimana telah didefinisikan para pendahulu-pendahulu, bahwa energi itu adalah kekal dan jika aksi energi dilakukan terhadap suatu materi, maka materi
akan melakukan suatu reaksi sebesar aksi tersebut. Reaksi dari materi ini akan
disebut dengan gaya dalam.”GAYA DALAM “ yang ada dalam struktur didefinisikan yaitu, Gaya Normal, Gaya Lintang, dan Gaya Momen yang akan
mempengaruhi bentuk fisik materi tersebut. Perubahan bentuk fisik materi ini disebut dengan peralihan displacement. Metode elemen hingga adalah suatu metode
pemaparan bagaimana perjalanan aksi hingga timbul reaksi dalam materi, atau metode untuk meramal besar reaksi dan reaksi apa yang timbul dari materi tersebut.
Universitas Sumatera Utara
3.2.1 Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga
Pada tahun 1906 dan tahun-tahun berikutnya para ahli riset mengusulkan metode “analogi lattice” untuk memecahkan masalah kontinum. Disini suatu
kontinum didekati dengan jaring yang teratur yang terbentuk oleh jaring-jaring yang teratur yang terbentuk oleh batang-batang elastis. Selanjutnya metode ini
berkembang menjadi metode untuk menganalisis struktur rangka Pada tahun 1941, seorang ahli matematik Courant mengusulkan interpolasi polynomial bagian demi
bagaian pada daerah segi tiga, sebagai cara untuk mendapatkan solusi numerik pendekatan. Courant memperkenalkan metodenya sebagai solusi Rayleigh-Ritz
untuk masalah variasional. Inilah yang dikenal sebagai metode elemen hingga dewasa ini. Apa yang dikerjakan Courant tersebut semula dilupakan orang, sampai
pada suatu saat para rekayasawan berhasil mengembangkannya. Pada waktu itu, pendapat para ahli masih dianggap tidak praktis karena belum
ada komputer yang dapat dipakai untuk melakukan perhitungan. Setelah tahun 1953, para rekayasawan menuliskan persamaan kekakuan dalam notasi matriks dan dapat
memecahkan permasalahan tersebut dengan bantuan computer digital. Makalah klasik yang ditulis oleh Turner, Clough, Martin dan Topp diterbitkan tahun 1956.
Dengan makalah ini, ditambah dengan tulisan-tulisan lainnya mulailah terjadi kemajuan yang sangat pesat dalam pengembangan metode elemen hingga dalam
bidang rekayasa. Nama “elemen hingga” disebutkan pertama sekali pada tahun 1960. Sejak tahun 1963, metode ini mulai dikenal sebagai sesuatu yang sangat menarik
dipelajari oleh cendekiawan. Pada tahun 1967, banyak rekasawan dan matematikawan yang bekerja dengan metode elemen hingga tetapi tidak saling
memperhatikan.
Universitas Sumatera Utara
3.2.2 Dasar-dasar Metode Elemen Hingga
Derajat bebas degree of freedom,d.o.f didefenisikan sebagai peralihan atau rotasi suatu titik kumpul. Dengan demikian untuk sebuah elemen dengan n d.o.f.,
dapat ditulisakan persamaan : k11d1+ k12d2+…+ k1ndn = r1
k21d2+ k22d2+…+ k2ndn=r2 . . . . . . . 3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
kn1d1+ kn2d2+…+ knndn=rn dimana d
i
merupakan d.o.f. ke i dan r
i
adalah gaya atau momen padanannya yang bekerja pada elemen, k
ij
adalah koefisien kekakuan. Apabila diringkas menjadi bentuk matriks maka persamaan 3.1 dapat ditulis sebagai :
[k] {d} = {r} . . . . . . . 3.2
yang mana [k] adalah matriks kekakuan elemen, {d} adalah vektor peralihan titik simpul elemen dan {r} adalah vektor beban titik simpul elemen. Sehingga dapat
diketahuai bahwa metode kekakuan atau disebut juga metode peralihan yang mana peralihan merupakan bilangan anu yang utama yang harus dihitung. Tegangan adalah
variabel sekunder dan dapat dihitung dari peralihan. Metode peralihan merupakan bentuk yang populer dari metode elemen hingga di dalam mekanika struktur.
Untuk menjelaskan arti [k], maka tinjaulah gambar 3.2.3 maka persamaan 3.2 menjadi :
[k] {w
1
Ө
1
w
2
Ө
2
} = {r} ………. 3.3
4x4
Apabila semua d.o.f. adalah nol kecuali d.o.f. yang ke j, dan apabila d
j
= 1, terlihat bahwa {r} = {k
ij
}, yaitu kolom ke j dari matriks {k}. Jelasnya, kolom ke j dari matirks {k} adalah vektor gaya-gaya mungkin juga momen harus diberikan
pada elemen agar terjadi d
j
= 1, dan harus memenuhi keseimbangan statik disaat d
Universitas Sumatera Utara
lainnya nol. Pernyataan ini berlaku untuk setiap matriks kekakuan elemen. Dua dari empat ragam deformasi balok diperlihatkan dalam gambar 3.2.3b dan gambar 3.2.3c.
Gaya-gaya k
ij
diperlihatkan pada pada gambar sebagai arah positif yang dimisalkan yaitu yang searah dengan d.o.f. pada gambar 3.2.3a. Jelaslah bahwa k
31
dan k
32
harus mempunyai tanda negatif. Untuk elemen yang sederhana ini, dari teori balok
diperoleh kesimpulan bahwa k
ij
dapat dinyatakan dalam L dan kekakuan lentur EL.
Gambar 3.2.3
a Elemen balok standar dengan d.o.f. nya b Ragam deformasi {d}={1 0 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukan k
i1
c Ragam deformasi {d}={0 1 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukannya, k
i2
[Robert D. Cook, 1990] Interpretasi yang diberikan pada kolom [k] berlaku juga untuk taraf struktur.
Pada gambar 3.2.4 dengan menerapkan satu satuan peralihan pada masing-masing titik kumpul secara bergantian, dan setiap kali peralihan dituliskan gaya yang
diperlukan, maka kita peroleh matriks 4x4 yang berbentuk :
. . . . . . . . 3.4
Setiap garis putus-putus dalam persamaan 3.4 merupakan batas matriks kekakuan elemen, seperti yang terlihat dengan meninjau ui=1, kemudian ui+1=1
pada gambar 3.2.4 Dengan demikian persamaan yang menghubungkan d.o.f. yang aktif adalah :
Universitas Sumatera Utara
−
=
+
− −
+ −
− P
u u
u k
k k
k k
k k
k k
3 2
1 3
2 2
2 2
1 1
1 1
. . . . . . . 3.5
Atau: [K] {D} = {R}
. . . . . . . 3.6
Gambar 3.2.4
a Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif u
1
,u
2
,u
3
. Elemen hinga disini adalah pegas linier dengan kekakuan k
1
, k
2
,k
3
. b Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal i
[Robert D. Cook, 1990]
3.3 Persaamaan Grid dan Frame Element 3.3.1 Elemen Beam dua dimensi berorientasi ke semua arah
Kategori