Analisa Struktur Portal Ruang Tiga Lantai Dengan Metode Kekakuan Dibandingkan Dengan Program Ansys

ANALISA STRUKTUR PORTAL RUANG TIGA LANTAI

DENGAN METODE KEKAKUAN DIBANDINGKAN DENGAN

PROGRAM ANSYS

TUGAS AKHIR

06 0404 008

HERY SANUKRI MUNTE

BIDANG STUDI STRUKTUR

DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK USU

2011

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan Tugas Akhir ini dengan judul : “ Analisa Struktur Portal Ruang Tiga Lantai Dengan Metode Kekakuan Dibandingkan Dengan Program Ansys”.

Tugas akhir ini ditulis dan disusun sedemikian rupa sebagai syarat dalam ujian sarjana Teknik Sipil bidang studi Struktur pada Fakultas Teknik Universitas Sumatera Utara, Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih memiliki kekurangan dan jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan penulis. Sehingga untuk penyempurnaannya maka penulis mengharapkan saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta dari rekan-rekan mahasiswa.

Sembah sujud dan terimakasih terbesar penulis ucapkan kepada Ayahanda

Ishak Munte dan Ibunda Nurjannah Bintang tercinta yang telah mendidik, membesarkan, dan memberikan motivasi berupa moril maupun materil kepada penulis. Serta seluruh keluarga yang penulis sayangi, terimakasih atas doa, dorongan dan kasih sayang yang tulus sehingga penulis dapat menyelesaikan kuliah dan tugas akhir ini dengan baik.

Pada kesempatan ini penulis telah banyak menerima bimbingan dan saran dari berbagai pihak, Untuk itu dengan segala ketulusan hati penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan selaku Ketua Departemen Teknik Sipil USU dan dosen pembimbing yang telah banyak memberikan pengajaran dan ilmu dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini;

.

3. Bapak Ir. Sanci Barus, MT selaku Koordinator Bidang Studi Struktur Teknik Sipil USU dan dosen pembanding yang telah memberikan kritik dan saran dalam penyempurnaan Tugas Akhir ini;

4. Bapak Ir. Daniel Rumbi Teruna, MT selaku dosen pembanding yang telah memberikan kritik dan saran dalam penyempurnaan Tugas Akhir ini;

5. Ibu Ir. Chainul Mahni selaku dosen pembanding yang telah memberikan kritik dan saran dalam penyempurnaan Tugas Akhir ini;

6. Bapak/Ibu dosen pengajar departemen teknik sipil Universitas Sumatera Utara. 7. Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan bantuan dalam kemudahan

penyelesaian administrasi.

8. Teman spesial penulis Sri Dewi Haryati, terima kasih atas doa, kasih sayang dan juga canda tawanya selama ini kepada penulis.

9. Rekan-rekan mahasiswa Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara angkatan 2006 yang telah memberikan dukungan pada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

Penulis menyadari sepenuhnya, bahwa Tugas Akhir ini masih jauh dari keadaan sempurna. Oleh karena itu dengan senang hati penulis menerima saran ataupun kritikan yang bersifat membangun demi kesempurnaan TugasAkhir ini. Akhir kata penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Medan, Mei 2011 Penulis

ABSTRAK

Dewasa ini, analisa perhitungan struktur dalam perencanaan Teknik Sipil sudah dalam tahap penggunaan bantuan teknologi yaitu dengan bantuan program komputer untuk menyelesaikan semua permasalahannya. Selain akurasi yang lebih baik, perhitungan dengan program komputer memberikan efisiensi waktu yang lebih baik dan lebih efektif dari segi hasil. Walaupun demikian, tidak boleh dilupakan bagaimana cara perhitungan secara manual karena setiap program komputer yang dirancang untuk menghitung permasalahan perhitungan dalam perencanaan teknik sipil didasarkan pada analisa perhitungan secara manual. Dengan kata lain, bahasa pemrograman yang dipakai didasarkan pada konsep perhitungan manual.

Dengan pemikiran diatas maka pada tugas akhir ini akan dilakukan analisa struktur secara manual pada space frame (portal ruang tiga dimensi) dengan membandingkan hasil perhitungan antara metode elemen hingga (finite element method) dengan hasil dari program Ansys versi 9.0.

Dari perhitungan yang dilakukan maka diperoleh perbandingan hasil dalam persentase perbedaan hasil antara perhitungan manual dengan metode elemen hingga dengan program Ansys versi 9.0 yang sangat kecil yaitu sampai dengan 0.002%. Hal ini disebabkan karena bahasa pemrograman Ansys versi 9.0 didasarkan pada metode elemen hingga.

DAFTAR NOTASI

F = Gaya (kg)

r = Lengan momen (cm)

M = Momen (kg-cm)

w = Beban terbagi rata (kg/cm) P = Beban yang bekerja (kg) A = Luas penampang (cm2)

Ф = Suatu fungsi

k = Kekakuan

{d} = Vektor dari perpindahan (displacement) T = Transformasi

E = Modulus Elastisitas (kg/cm2) I = Inersia (cm4)

L = Panjang bentang (cm) TT = Transformasi Transpose

τ = Tegangan Geser (kg/cm2)

γ = Regangan Geser

G = Modulus geser material (kg/cm2) J = Momen inersia polar (cm4)

Υ = Poisson ratio

[k] = Matriks kekakuan lokal [kg] = Matriks kekakuan global

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1. Contoh portal ruang ... 2

Gambar 1. 2. Portal Ruang Tiga Lantai ... 6

Gambar 2.1(a) Susunan kolom dan balok dalam memikul beban vertical ... 10

Gambar 2.1(b) Susunan kolom dan balok dalam memikul beban horizontal ... 10

Gambar 2.1 (c) Hubungan antar elemen diubah ... 11

Gambar 2.1 (c) Perubahan posisi antar elemen ... 11

Gambar 2.2.1 Klasifikasi dari elemen struktur dasar menunjukkan geometris dan sifat-sifat fisik utama13 Gambar 2.2.2 Struktur kaku dan struktur tidak kaku ... 14

Gambar 2.2.3 Struktur kaku yang umum ... 18

Gambar 2.2.4 Rangka batang ... 19

Gambar 2.2.5 Struktur Post-and-Beam dan struktur rangka kaku ... 20

Gambar 2.3.1 Kondisi gaya internal: tarik, tekan dan lentur ... 25

Gambar 2.4.1 Momen ... 27

Gambar 2.4.2 Momen akibat beban terdistribusi ... 29

Gambar 2.4.3 Hubungan gaya-gaya, gaya resultan dan gaya penyeimbang ... 30

Gambar 2.4.4 Diagram (keseimbangan) benda bebas dan reaksi ... 32

Gambar 2.4.5 Gaya tekan dan tarik internal pada batang ... 34

Gambar 2.4.6 Batang tarik ... 35 Gambar 3.2.1 (a) Struktur bidang dengan bentuk sembarang.

(b) Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut. (c) Elemen segi empat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul pidan

sehubungan dengan peralihan arah x titik 3... 39

Gambar 3.2.2 Fungsi kombinasi Ф= Ф(x,y) dan elemen tipikal yang dapat digunakan untuk mendekatinya... 40

Gambar 3.2.3 (a) Elemen balok standar dengan d.o.f. nya (b) Ragam deformasi {d}={1 0 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukan ki1 (c) Ragam deformasi {d}={0 1 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukannya, ki2 ... 44

Gambar 3.2.4 (a) Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif (u1,u2,u3). Elemen hinga disini adalah pegas linier dengan kekakuan k1, k2,k3. (b) Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal I ... 45

Gambar 3.3.1 Elemen Beam dua dimensi Arbitrarily Oriented ... 46

Gambar 3.3.2 Gaya lokal yang bekerja pada element beam ... 47

Gambar 3.3.3 Element Frame Dengan Perletakan miring ... 49

Gambar 3.3.4 Struktur Umum Grid ... 50

Gambar 3.3.5 Grid Element Dengan Derajat Kebebasan dan Gaya Nodal ... 51

Gambar 3.3.6 Perjanjian Tanda Nodal dan Element Torsi ... 51

Gambar 3.3.7 Deformasi Puntir Dari Segmen Batang ... 52

Gambar 3.3.8 Element Grid Berorientasi pada elemen x... 56

Gambar 3.4.1 Lentur Diantara dua sumbu yˆdanzˆ ... 56

Gambar 3.4.2 (a) Arah Cosinus Terkait dengan sumbu x ... 58

(b) Ilustrasi Menunjukkan Bagaimana sumbu lokal y ditentukan ... 58

Gambar 4. 1 Portal Ruang ... 65

Gambar 4.2 Portal Ruang dengan Beban Terpusat ... 66

Gambar 4.3 Desain Objek Pada Program Ansys ... 80

Gambar 4.4 Objek Setelah Diberi Kondisi Batas Tumpuan ... 81

Gambar 4.5 Objek Setelah Diberi Beban ... 81

Gambar 4.6 Displacement Pada Objek ... 82

Gambar 4.7 Gaya Lintang Pada Objek ... 83

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ... i

Abstrak ... iii

Daftar isi ... iv

Daftar notasi ... vii

Daftar gambar... viii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Umum ... 1

1.2 Latar Belakang Permasalahan ... 3

1.3 Tujuan ... 3

1.4 Pembatasan Masalah ... 4

1.5 Metode Pembahasan... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Umum ... 7

2.2 Kelas – Kelas Umum Stuktur ... 11

2.2.1Struktur Utama ... 11

2.2.2 Elemen-element Struktur Utama ... 15

2.2.2.1 Balok dan Kolom ... 16

2.2.2.2 Rangka Kaku ... 17

2.2.3 Satuan Struktur Utama ... 21

2.3 Analisis dan Desain Struktur ... 22

2.3.1Kestabilan Struktur... 23

2.3.2 Gaya dalam : Tarik, Tekan dan Lentur ... 24

2.4.1 Gaya dan Momen ... 26

2.4.1.1 Gaya ... 26

2.4.1.2 Momen ... 27

2.4.2 Keseimbangan ... 29

2.4.2.1 Keseimbangan suatu partikel ... 29

2.4.2.2 Keseimbangan benda tegar ... 30

2.4.3 Gaya Internal dan Eksternal ... 31

2.4.3.1 Sistem gaya Eksternal ... 31

2.4.3.2 Sistem gaya internal ... 33

2.5 Jenis-jenis Struktur pada Bangunan Teknik Sipil ... 36

2.5.1 Truss (rangka) ... 36

2.5.2. Grid /Grillage (Balok Silang) ... 36

2.5.3. Frame (Portal) ... 37

BAB III METODE ANALISA 3.1 Umum ... 38

3.2 Konsep Elemen Hingga... 38

3.2.1 Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga ... 42

3.2.2 Dasar-dasar Metode Elemen Hingga ... 43

3.3 Persaamaan Grid dan Frame Element ... 45

3.3.1 Elemen Beam dua dimensi berorientasi ke semua arah ... 45

3.3.2 Element Frame dengan Perletakan Miring ... 49

3.3.3 Persamaan Grid ... 50

3.4 Element Beam Berorientasi Dalam Ruang ... 56

3.4.2Melentur Arah Bidang zˆ−yˆ ... 57

3.5 Langkah-langkah penyelesaian persoalan struktur dengan Finite Element Methode ... 62

BAB IV APLIKASI DAN PEMBAHASAN 4.1 Analisa Struktur dengan Metode Elemen Hingga ... 63

4.1.1 Menentukan Inersia dan Modulus Elastisitas kolom dan balok ... 67

4.1.2 Menentukan matriks kekakuan lokal ... 68

4.1.3 Menentukan matriks kekakuan global ... 69

4.1.4 Menentukan matriks kekakuan struktur ... 75

4.1.5 Simulasi dengan program Ansys ... 77

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 93

5.2 Saran ... 93

DAFTAR PUSTAKA ... 94 LAMPIRAN

ABSTRAK

Dewasa ini, analisa perhitungan struktur dalam perencanaan Teknik Sipil sudah dalam tahap penggunaan bantuan teknologi yaitu dengan bantuan program komputer untuk menyelesaikan semua permasalahannya. Selain akurasi yang lebih baik, perhitungan dengan program komputer memberikan efisiensi waktu yang lebih baik dan lebih efektif dari segi hasil. Walaupun demikian, tidak boleh dilupakan bagaimana cara perhitungan secara manual karena setiap program komputer yang dirancang untuk menghitung permasalahan perhitungan dalam perencanaan teknik sipil didasarkan pada analisa perhitungan secara manual. Dengan kata lain, bahasa pemrograman yang dipakai didasarkan pada konsep perhitungan manual.

Dengan pemikiran diatas maka pada tugas akhir ini akan dilakukan analisa struktur secara manual pada space frame (portal ruang tiga dimensi) dengan membandingkan hasil perhitungan antara metode elemen hingga (finite element method) dengan hasil dari program Ansys versi 9.0.

Dari perhitungan yang dilakukan maka diperoleh perbandingan hasil dalam persentase perbedaan hasil antara perhitungan manual dengan metode elemen hingga dengan program Ansys versi 9.0 yang sangat kecil yaitu sampai dengan 0.002%. Hal ini disebabkan karena bahasa pemrograman Ansys versi 9.0 didasarkan pada metode elemen hingga.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Umum

Seiring dengan perkembangan teknologi, maka perencanaan bangunan sipil juga semakin sulit. Ini dapat terlihat di kota-kota besar. Selain bangunan sipil yang berupa bangunan gedung, terdapat juga bangunan-bangunan sipil bukan gedung, misalnya jembatan, menara pemancar, atau rangka-rangka bangunan baja yang lain, yang memerlukan perhitungan dan perencanaan yang lebih matang.

Perkembangan teknologi komputer termasuk di dalamnya perkembangan software (perangkat lunak) yang sangat membantu guna memudahkan pekerjaan perhitungan dan perencanaan bangunan-bangunan yang kompleks. Perhitungan dengan menggunakan teknologi komputer mampu melakukan perhitungan dengan cepat, tepat, akurat serta efisien di dalam waktu dan saat ini telah banyak berkembang perangkat lunak yang professional untuk membantu perhitungan dan perencanaan di bidang teknik sipil seperti Program ANSYS, SAP 2000, ETABS, STAAD PRO dan masih banyak lagi perangkat lunak yang sejenis. Pada umumnya perangkat lunak yang dikembangkan ini berbasis pada Metode Elemen Hingga (M.E.H) untuk memecahkan masalah mekanikanya.

Metode Elemen Hingga (M.E.H) adalah suatu metode numerik yang digunakan untuk meyelesaikan problem dalam bidang engineering. Tipikal masalah yang timbul pada bidang engineering dan matematis fisik antara lain pada analisa struktur, heat transfer, fluida, transportasi massa dan elektromagnetik potensial. Setelah dekade delapan puluhan perkembangan metode ini sangat pesat, karena pada saat itu juga telah dikembangkan dan digunakan komputer untuk penyelesaian masalah numeriknya. Jika tidak menggunakan komputer, metode elemen hingga ini

mungkin sampai sekarang tidak akan digunakan dalam perhitungan praktis, karena akan memerlukan waktu yang cukup lama dan keakuratan yang kurang baik. Kemudian setelah dikembangkan komputer maka metode ini menjadi maju

menyelesaikan berbagai permasalahan yang ada didalam perhitungan analisa struktur, pada awalnya banyak dikembangkan bahasa pemrograman yang low level language dengan diperkenalkannya bahasa assembly dan high level language seperti Fortran, C++, Basic, Pascal dan lain-lain, hingga akhir-akhir ini semakin berkembang bahasa script programming yang dijadikan alternatif karena kemudahannya dalam membuat suatu aplikasi program, salah satunya adalah Matlab (Matrix Laboratory) dimana MATLAB adalah sebuah program untuk analisis dan komputasi numerik, yang merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks. Bentuk bangunan sipil dapat dimodelkan sebagai frame (portal) dan truss (rangka). Pada penulisan tugas akhir ini struktur yang ditinjau adalah space truss (rangka ruang), dimana definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan.

1.2 Latar Belakang Masalah

Pekerjaan dalam perencanaan teknik sipil untuk perhitungan struktur memiliki berbagai macam metode, baik metode yang dilakukan secara manual teoritis atau dengan menggunakan alat bantu dengan teknologi tinggi seperti penggunaan program-program komputer. Dengan penggunaan program computer maka akan lebih memudahkan dan mempercepat pekerjaan dengan hasil yang lebih akurat.

Perhitungan struktur pada suatu space frame memerlukan waktu yang cukup lama dengan ketelitian yang akurat. Walaupun demikian, pekerjaan dengan analisa perhitungan secara manual terhadap space frame juga masih dapat dilakukan jika struktur yang ditinjau masih dalam bentuk portal yang sederhana, dimana elemen-elemen pendukung portal tersebut belum begitu banyak, maka dengan demikian, perhitungan dengan manual untuk memperoleh hasil yang akurat dan waktu yang cepat masih memungkinkan untuk dilakukan.

1.3 Tujuan

Sesuai dengan latar belakang di atas maka tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah melihat perbandingan hasil analisa struktur dengan melakukan analisa perhitungan secara manual terhadap suatu struktur space frame dengan menggunakan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method) dan kemudian dibandingkan juga dengan hasil program ANSYS

1.4 Pembatasan Masalah

Mengingat kompleksitas dari struktur, maka dalam kajian ini perlu adanya pembatasan permasalahan untuk menyederhanakan perhitungan dan mereduksi tingkat kesulitan, antara lain:

1. Beban yang terdapat pada portal adalah beban mati (termasuk berat sendiri) berupa beban terbagi rata dan beban terpusat.

2. Struktur Portal yang akan dianalisa adalah portal ruang (space frame) tiga dimensi yang terdiri dari 3 (tiga) tingkat / 3 (tiga) lantai.

3. Perencanaan pada portal (frame) tidak diikutsertakan, walaupun material struktur frame terbuat dari beton tetapi perencanaan pembesian dari beton baik untuk pembesian utama ataupun sengkang untuk balok dan kolom tidak dibuat, hanya untuk perhitungan gaya- gaya dalam struktur saja.

4. Jenis material adalah homogen elastic, linear, dan isotropis pada setiap dan segala arah mempunyai modulus elastic yang sama.

5. Perletakan yang digunakan adalah perletakan jepit-jepit. 6. Penampang balok dan kolom adalah persegi.

7. Pengaruh geser diabaikan

8. Analisa dilakukan secara Linier – Elastik menurut hukum Hooke.

I.5. Metode Pembahasan

Metode yang digunakan dalam kajian ini adalah secara analitis teoris yang didasarkan pada beberapa literatur dan dibandingkan dengan bantuan program komputer Ansys yang mengacu pada Metode Elemen Hingga (Finite Element Method). Analisa teoritis yang dilakukan dengan metode elemen hingga adalah pengerjaan perhitungan secara analitis (invers matrik).

VI. Sistematika Pembahasan

BAB I, Pendahuluan, berisi tentang perkembangan teknologi komputer yang mendukung perhitungan dalam pekerjaan teknik sipil sehingga dapat mempercepat pekerjaan perhitungan dan dengan hasil yang lebih akurat. Program Ansys, SAP2000, ETABS, STAAD PRO adalah program komputer yang sering dipakai untuk menyelesaikan permasalahan dalam pekerjaan teknik sipil. Umumnya perangkat lunak yang digunakan tersebut berbasis pada Metode Elemen Hingga (MEH) untuk memecahkan masalah mekanikalnya. Tetapi perhitungan secara manual masih dapat digunakan jika struktur yang ditinjau belum begitu rumit. Dan ketelitian antara perhitungan secara manual tersebut dapat dibandingkan keakuratanya dengan hasil dengan pemrograman komputer.

BAB II, Tinjauan Pustaka, berisikan tentang defenisi struktur secara umum yang mencakup kepada jenis dan kelas-kelas umum struktur serta elemen-elemen pendukung struktur seperti balok dan kolom yang menjadi elemen utama. Bab ini juga berisikan metode analisa, berisikan tentang konsep metode elemen hingga, sejarah perkembangan elemen hingga, dan dasar-dasar metode elemen hingga yang diarahkan pada metode Rayleigh-Ritz pada space frame khususnya.

BAB III, Aplikasi dan Pembahasan, membahas tentang contoh aplikasi penerapan perhitungan analisa struktur pada portal ruang (space frame) dengan meninjau suatu portal ruang tiga dimensi dengan tiga tingkat dengan pembebanan beban terpusat searah sumbu x dan sumbu y pada titik simpul. Analisa perhitungan dilakukan dengan metode elemen hingga (MEH) dan akan dibandingkan dengan hasil perhitungan dengan program Ansys.

BAB IV, Kesimpulan dan Saran, membahas hasil dari metode analisa secara manual dengan perbandingan terhadap hasil perhitungan dengan menggunakan program Ansys.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Umum

Pengertian yang paling sederhana tentang struktur dalam hubungannya dengan bangunan adalah bahwa struktur merupakan sarana untuk menyalurkan beban akibat penggunaan dan atau kehadiran bangunan kedalam tanah. Studi tentang struktur menyangkut pemahaman prinsip-prinsip dasar yang menunjukkan dan menandai perilaku objek-objek fisik yang dipengaruhi oleh gaya. Lebih mendasar, struktur juga menyangkut penentuaan apa gaya itu sendiri karena menyangkut kajian suatu konsep yang agak abstrak seperti hubungan suatu bangunan dengan ruang dan ukuran. Kata “ukuran, skala, bentuk, proporsi dan morfologi” merupakan istilah yang biasa ditemukan dalam perbendaharaan kata perancangan struktur.

Salah satu cara untuk memulai mempelajari struktur dengan memahami pengertian diatas masih terlalu dini untuk dapat mengerti tentang susunan dan karakteristik suatu struktur, karena kita belum dapat mengetahui sarana apa yang dipakai dan bagaimana beban tersebut disalurkan kedalam tanah. Sehingga dengan demikian struktur dapat didefenisikan sebagai suatu entitas fisik yang memiliki sifat keseluruhan yang dapat dipahami sebagai suatu organisasi unsur- unsur pokok yang ditempatkan dalam ruang yang di dalamnya karakter keseluruhan itu mendominasi interelasi bagian-bagiannya.

Defenisi diatas menjelaskan bahwa suatu struktur adalah objek fisik yang nyata, bukan gagasan abstrak atau pokok persoalan yang menarik sehingga bukan sesuatu yang hanya diperdebatkan melainkan sesuatu yang harus dibangun dengan demikian struktur harus ditangani sesuai dengan kebutuhannya. Dan sarana fisik harus disediakan untuk mencapai tujuan yang diinginkan yang sesuai dengan prinsip-prinsip dasar tentang perilaku objek-objek fisik.

Dalam pengertian yang lebih luas juga dijelaskan bahwa struktur berfungsi sebagai keseluruhan. Hal ini merupakan masalah yang penting secara mendasar dan yang mudah dilupakan jika menghadapi banguan yang khas yang tersususun dari sejumlah balok dan kolom yang seperti tak terhingga banyaknya. Dalam hal itu, terdapat kecenderungan yang langsung menganggap bahwa struktur hanya sebagai gabungan unsur-unsur kecil yang sendiri-sendiri di mana setiap unsur itu melaksanakan fungsi yang terpisah. Tetapi dalam kenyataanya adalah bahwa semua struktur pertama-tama dirancang untuk berfungsi sebagai suatu kesatuan secara keseluruhan dan hanya yang kedua sebagai serangkaian unsur yang berbeda-beda.

Sesuai dengan pengertian diatas maka kita dapat mengerti bahwa unsur- unsur tersebut tanpa terkecuali ditempatkan dan diinterelasikan dengan cara tertentu agar seluruh struktur mampu berfungsi secara keseluruhan dalam memikul beban, baik yang beraksi secara horizontal maupun vertikal kedalam tanah. Dengan berbagai cara, beberapa unsur ditempatkan dan digabungkan satu dengan yang lain tetapi jika resultannya dan hubungan timbal-balik diantara semua unsur tidak berfungsi sebagai unit keseluruhan dalam menyalurkan semua jenis beban yang diantisipasi kedalam tanah maka susunan itu tidak dapat disebut suatu struktur.

Acuan terhadap jenis-jenis beban yang diperkirakan dalam pernyataan diatas disertakan untuk menampilkan pentingnya kenyataan bahwa struktur itu biasanya dirancang terhadap sekumpulan kondisi beban tertentu dan hanya berfungsi sebagai struktur terhadap kondisi itu. Struktur sering kali rapuh terhadap kondisi-kondisi yang tidak diantisipasi, sehingga tidak dimungkinkan untuk mengubah fungsi suatu struktur dalam hal pelayanannya terhadap beban yang tidak sesuai dengan kodisi rancangan awal.

Merancang suatu struktur adalah tindakan menempatkan unsur-unsur pokok dan merumuskan hubungan-hubungan timbal-baliknya dengan tujuan menanamkan karakter yang diinginkan pada entitas struktur sebagai resultannya. Gagasan bahwa unsur itu ditempatkan dan bahwa hubungan-hubungan itu ada diantara unsur-unsur itu merupakan dasar konsep merancang struktur.

Sebagai contoh, gambar 2.1 (a) melukiskan struktur sederhana dengan kolom-kolom dan sebuah balok yang ditempatkan untuk memikul beban vertikal. Balok itu hanya bertumpu diatas kolom tanpa ikatan yang kaku (jenis hubungan ini menunjukkan jenis hubungan tertentu diantara dua batang). Jika pemasangan yang sama tiba-tiba harus memikul beban lateral seperti yang biasa terjadi karena angin yang bertiup kesamping bangunan , maka pasangan ini tidak akan berfungsi lagi sebagai suatu struktur dalam arti tidak dapat menyalurkan beban kedalam tanah. Ia akan ambruk seperti yang dilukiskan dalam gambar 2.1 (b). Dipandang dari sudut perancangan, kesulitan yang dialami oleh pemasangan ini ialah unsur- unsur yang digunakan tidak dipasang dengan tepat, tidak dihubungkan dengan tepat, atau kedua-duanya. Pemasangan ini dapat dirancang kembali menjadi struktur yang tangguh terhadap beban lateral dengan mengubah hubungan- hubungan yang ada diantara

unsur-unsurnya dan atau mengubah penempatannya. Contoh mengubah hubungan-hubungan yang ada diantara unsur-unsurnya biasa berupa penggunaan hubungan-hubungan yang kaku alih-alih hubungan yang sederhana diantara unsur-unsur itu, seperti yang terlihat dalam gambar 2.1 (c). Sambungan yang kaku pada hakekatnya berperilaku seperti kesatuan yang monolitik. Maka pemasangan itu memperoleh stabilitas dengan cara yang sangat mirip dengan cara meja memperoleh stabilitas dari hubungan yang kaku yang terdapat diantara daun meja dan kaki-kakinya. Kemungkinan yang lain adalah unsur-unsur pemasangan itu diubah penempatanya dengan cara yang diperlihatkan dalam gambar 2.1 (d), yaitu salah satu unsurnya berfungsi sebagi penopang yang memindahkan beban lateral itu kedalam tanah.

2.2 Kelas-kelas Umum Struktur 2.2.1 Struktur Utama

Dasar untuk memahami suatu bidang ilmu adalah dengan mengetahui bagaimana pengelompokan di dalam bidang tersebut secara sistematis seperti pemberian nama, urutan dan perbedaan satu bagian dengan bagian lainnya. Pengetahuan mengenai kriteria atau perkiraan pertalian yang membentuk dasar untuk mengklasifikasikan setiap jenis sangatlah penting. Dalam gambar 2.2.1 dapat kita lihat suatu metode umum untuk mengklasifikasikan elemen struktur dan sistem yang hanya menurut bentuk dan sifat fisik dasar dari suatu konstruksi.

Dari pola klasifikasi tersebut dapat dinyatakan secara tidak langsung bahwa struktur yang kompleks hanya merupakan hasil dari penambahan elemen- elemen yang lebih sederhana. Yang penting dari penambahan tersebut adalah penambahan perilaku elemen dan yang penting pada struktur adalah bahwa elemen-elemen itu ditempatkan dan saling berhubungan dengan maksud supaya struktur mempunyai sifat dapat menahan beban tertentu.

Seperti terlihat pada gambar 2.2.1, bentuk geometri secara umum dari suatu struktur tertentu adalah bentuk geometris dasar yang digambarkan pada bagian sebelah kiri dari gambar atau berasal dari beberapa kombinasi atau kesatuan dari beberapa bentuk ini. Sesuai dengan bentuk-bentuk dasar ini adalah sekumpulan elemen struktur primer yang memiliki sifat fisik tertentu.

Berdasarkan geometri dasar, bentuk struktur yang ditunjukkan dalam gambar 2.2.1 dapat secara umum diklasifikasikan sebagai salah satu bentuk elemen garis atau sebagai bentuk elemen permukaan. Bentuk elemen garis dapat dibedakan sebagai garis lurus atau garis lengkung. Bentuk elemen-elemen permukaan bisa berbentuk datar atau lengkung . Elemen permukaan lengkung bias berupa lengkung tunggal atau lengkung ganda.

Gambar 2.2.1 Klasifikasi dari elemen struktur dasar

menunjukkan geometris dan sifat-sifat fisik utama. [Daniel L. Schodek, 1998]

Kekakuan juga melukiskan pengklasifikasian dasar kedua berdasarkan karakteristik kekakuan elemen struktur. Perbedaan yang utama disini adalah apakah elemen itu kaku atau fleksibel. Elemen kaku biasanya sebagai batang, tidak mengalami perubahan bentuk yang cukup besar dibawah pengaruh gaya atau pada perubahan gaya yang diakibatkan oleh beban-beban seperti terlihat pada gambar 2.2.2-a. Struktur tersebut akan selalu melendut jika dibebani walaupun dengan beban yang kecil.

(a) (b)

Struktur kaku Struktur tidak kaku

Gambar 2.2.2 Struktur kaku dan struktur tidak kaku [Daniel L. Schodek, 1999]

Elemen tidak kaku atau fleksibel seperti kabel cenderung mempunyai bentuk tertentu untuk suatu kondisi beban dan bentuk tersebut bisa berubah secara drastis apabila pembebanan berubah seperti gambar 2.2.2-b. Struktu fleksibel mempertahankan keutuhan fisiknya meskipun bentuknya berubah-ubah.

Untuk kedua jenis struktur tersebut diatas akibat yang umum dari pembebanan adalah deformasi yang terjadi pada struktur. Umumnya deformasi yang terjadi bisa memanjang atau memendek. Pada struktur fleksibel yang terjadi hanyalah gaya tarik sehingga deformasinya selalu berupa perpanjangan. Apabila kita meninjau struktur kaku yang melendut keadaan memanjang dan memendek itu dapat terjadi pada potongan melintang yang sama dari elemen tersebut.

Suatu elemen dapat diketahui kaku atau fleksibel tergantung juga pada bahan konstruksi yang digunakan pada elemen tersebut. Banyak bahan, seperti kayu, sudah bersifat kaku. Bahan lain seperti baja bisa digunakan untuk membuat batang kaku maupun fleksibel. Contoh yang baik dari bahan baja kaku adalah balok karena elemen ini tidak mengalami perubahan besar dalam bentuknya bila beban berubah-ubah. Kabel baja atau rantai baja yang bersifat fleksibel selalu mempunyai bentuk yang bergantung pada pembebanan. Kabel baja akan berubah bentuk jika pembebanan berubah. Suatu struktur dapat dinyatakan kaku atau fleksibel bergantung pada karakteristik bahan yang ada juga pada mikro susunan bahan pada elemen tersebut.

Biasanya, pendekatan yang mudah dalam mengklasifikasikan struktur adalah berdasarkan jenis bahannya misalnya kayu, baja atau struktur beton bertulang. Walaupun demikian pengklasifikasian berdasarkan bahan kadang sulit juga dilakukan karena suatu elemen bisa terdiri atas beberapa elemen yang berbeda misalnya kayu dan batang baja. Dan bila kita tinjau lebih dalam lagi maka kita akan menemukan bahwa bahan sangat berperan penting. Karena adanya hubungan yang erat antara penyebab struktur berdeformasi sebagai akibat dari beban luar, material serta metode konstruksi pada struktur. Baja bisa digunakan pada semua kondisi nyata, beton tidak bertulang hanya bisa digunakan pada situasi beton hanya menerima gaya tekan dan beton akan retak dan pecah jika diberi gaya tarik akibat terjadinya perpanjangan. Dengan demikian bahan dan juga strukturnya itu kaku hanya pada suatu kondisi beban tertentu. Beton bertulang dengan baja dapat digunakan pada situasi dimana suatu gaya menyebabkan bahan tersebut memanjang karena baja tersebut bisa dirancang untuk memikul gaya tersebut.

2.2.2 Elemen-elemen struktur utama

Elemen kaku yang umum digunakan termasuk balok, kolom, pelengkung, flat-plate, plat berkelengkungan tunggal dan cangkang mempunyai kelengkungan yang berbeda-beda. Yang termasuk elemen tidak kaku atau fleksibel adalah kabel, membran ( bidang, berkelengkungan tunggal maupun ganda ). Selain itu ada jenis-jenis elemen yang lain yang diturunkan dari elemen- elemen tersebut misalnya rangka (frame), rangka batang, kubah dan jaring. Pemberian nama pada suatu elemen yang mempunyai karakteristik kekakuan dan geometri tertentu dilakukan hanya untuk memudahkan saja.

2.2.2.1 Balok dan Kolom

Struktur yang dibentuk dengan cara meletakkan elemen kaku horizontal diatas elemen kaku vertikal adalah struktur yang umum dijumpai . Elemen horizontal atau yang lebih sering disebut balok memikul beban yang bekerja secara transversal dari panjangnya dan mentransfer beban tersebut ke elemen vertikal atau kolom vertikal yang menumpunya. Kolom tersebut dibebani secara aksial oleh balok kemudian mentransfer beban tersebut ke tanah. Balok yang melentur sebagai akibat dari beban yang bekerja secara transversal tersebut maka balok sering disebut memikul beban secara melentur. Ide mengenai lentur pada elemen struktural adalah salah satu yang terpenting. Kolom yang menumpu balok tidak melentur ataupun melendut karena kolom pada umumnya mengalami gaya aksial tekan saja.

Balok telah dipergunakan sejak dulu untuk mentransver beban vertical secara horizontal. Sistem post-and-beam yaitu dengan meletakkan elemen struktur horizontal secara sederhana diatas dua elemen struktur vertikal merupakan konstruksi dasar yang digunakan sejak dulu. Pada sistem tersebut, secara sederhana balok dipergunakan sebagai sistem penting dalam konstruksi. Meskipun dianggap sederhana balok memiliki karakteristik internal yang rumit dalam memikul beban dibandingkan dengan jenis elemen struktur lainnya seperti rangka batang maupun kabel.

Sebutan masalah lentur diartikan pada studi mengenai tegangan dan deformasi yang timbul pada elemen yang mengalami aksi gaya (umumnya tegak lurus pada sumbu elemen) sehingga salah satu tepi serat mengalami perpanjangan dan tepi serat lainnya mengalami perpendekan.

Selain dinding pemikul beban (load-bearing-walls), kolom juga merupakan elemen vertikal yang sangat banyak dipergunakan. Bahkan dinding pemikul beban itu sebenarnya dapat dipandang sebagai kolom yang diperluas di satu bidang. Kolom tidak selalu harus berarah vertikal. Meskipun suatu elemen struktur bisa berarah miring, asalkan memenuhi defenisi kolom yaitu beban aksial hanya diberikan di ujung-ujungnya dan tidak ada beban transversal, elemen struktur dapat disebut kolom. Dengan demikian kolom tidak mengalami lentur secara langsung (tidak ada beban tegak lurus terhadap sumbunya).

Kolom dapat dikategorikan berdasarkan panjangnya. Kolom pendek adalah jenis kolom yang kegagalannya adalah berupa kegagalan material (ditentukan oleh kekuatan material). Kolom panjang adalah kolom yang kegagalannya ditentukan oleh tekuk (buckling), jadi kegagalannya adalah kegagalan ketidakstabilan bukan karena kekuatan. Pada kolom panjang, dimensi dalam arah memanjang jauh lebih besar dibandingkan dengan dimensi pada arah lateral. Karena adannya potensi menekuk pada jenis kolom ini, maka kapasitas pikul bebannya menjadi lebih kecil.

2.2.2.2 Rangka Kaku

Jenis rangka yang akhir-akhir ini digunakan seperti terlihat pada gambar 2.2.3-b sepintas lalu sama saja dengan jenis balok-tiang (post-and-beam) tetapi sebenarnya mempunyai aksi struktural berbeda karena adanya titik hubung kaku antara elemen vertikal dan elemen horizontal. Kekakuan titik hubung ini memberikan banyak kestabilan terhadap gaya lateral. Kekakuan titik simpul yang demikian adalah salah satu dari berbagai jenis hubungan yang ada diantara berbagai elemen struktur. Pada sistem rangka, baik balok maupun kolom akan melentur sebagai akibat adanya aksi beban pada struktur ( lihat gambar 2.2(3)-b ). Seperti pada struktur

post-and-beam, panjang setiap elemen pada struktur rangka juga terbatas. Dengan demikian Elemen struktur pada sistem rangka biasanya dibuat dengan pola berulang apabila dipakai pada gedung.

Gambar 2.2.3 Struktur kaku yang umum [Daniel L. Schodek, 1998]

Rangka batang (trusses) adalah struktur yang dibuat dengan menyusun batang yang relatif pendek dan lurus denan pola-pola segitiga seperti terlihat pada gambar 2.2.4. Struktur yang demikian secara eksak memang kaku karena setiap elemen garis pada struktur tersebut mempunyai posisi relatif tertentu. Berbagai pola lain (misalnya pola bujursangkar) tidak memberikan struktur kaku kecuali apabila titik hubungnya dirancang hingga seperti pada struktur rangka. Perlu diketahui bahwa rangka batang yang terdiri atas elemen-elemen diskrit melendut secara keseluruhan apabila dibebani dengan cara serupa dengan balok yang dibebani transversal, akan tetapi setiap batang tidak melentur karena hanya mengalami gaya tarik atau tekan.

Gambar 2.2.4 Rangka batang

Struktur rangka kaku (rigid frame) adalah struktur yang terdiri dari atas elemen-elemen linier, umumnya balok dan kolom yang saling dihubungkan pada ujung-ujungnya oleh joints (titik hubung) yang dapat mencegah rotasi relative diantara elemen struktur yang dihubungkannya. Dengan demikian elemen struktur ini menerus pada titik hubung tersebut. Seperti halnya pada balok menerus, struktur rangka kaku adalah statis tak tentu.

Banyak struktur rangka kaku yang tampaknya sama dengan sistem post-and-beam tetapi pada kenyataanya memiliki perilaku yang sangat berbeda karenaadanya kekakuan titik hubung pada rangka kaku sehingga memungkinkankemampuan untuk memikul beban lateral pada rangka yang kita ketahui beban demikian tidak dapat bekerja pada struktur post-and-beam tanpa adanya tambahan bracing (pengekang). Pada gedung juga telah banyak dipergunakan sistem struktur rangka kaku. Untuk mempelajari dan memahami perilaku struktur rangka sederhana dapat dilakukan dengan membandingkan perilakunya terhadap beban vertikal maupun horizontal dengan struktur post-and-beam. Perilaku keduanya berbeda dalam hal titik hubung yaitu titik hubung yang bersifat kaku pada rangka dan tidak kaku pada struktur post-and-beam seperti yang terlihat pada gambar 2.2.5.

Gambar 2.2.5 Struktur Post-and-Beam dan struktur rangka kaku [Daniel L. Schodek, 1998]

Apabila mengalami beban vertikal, balok pada struktur post-and-beam akan memikul beban tersebut kemudian menyalurkannya ke kolom selanjutnya diteruskan ketanah. Pada jenis ini balok terletak bebas diatas kolom dengan demikian pada saat beban menyebabkan timbulnya momen pada balok, ujung-ujung balok berotasi di ujung atas kolom jadi sudut yang dibentuk antara ujung balok dan ujung atas kolom berubah. Kolom tidak mempunyai kemampuan untuk menahan rotasi ujung balok. Hal ini berarti tidak ada momen yang dapat diteruskan ke kolom oleh karena itu kolom hanya memikul gaya aksial.

Apabila suatu struktur rangka kaku mengalami beban vertikal seperti halnya pada struktur post-and-beam diatas maka beban tersebut juga dipikul oleh balok kemudian diteruskan ke kolom dan akhirnya diterima oleh tanah. Beban itu menyebabkan balok tersebut cenderung berotasi, akan tetapi pada jenis struktur rangka ini karena ujung atas kolom dan ujung balok berhubungan secara kaku maka rotasi bebas pada ujung balok tidak terjadi. Adanya hubungan kaku tersebut

mengandung arti kolom cenderung mencegah rotasi bebas balok. Hal ini menyebabkan hal-hal penting seperti salah satunya adalah balok tersebut lebih bersifat mendekati balok berujung jepit-jepit (bukan terletak sederhana). Dengan hal tersebut kita peroleh keuntungan-keuntungan seperti bertambahnya kekuatan struktur, berkurangnya defleksi, dan berkurangnya momen lentur internal. Hal lain yang penting dalam hubungan kaku ini adalah bahwa ujung kolom cenderung memberikan tahanan rotasionalnya, maka kolom menerima momen lentur juga selain tentu saja menerima gaya aksial sehingga desain kolom menjadi relative lebih rumit dibandingkan dengan desain kolom yang hanya memikul beban aksial.

Terhadap beban horizontal struktur post-and-beam dengan struktur rangka kaku sangat berbeda. Struktur post-and-beam dapat dikatakan tidak mempunyai kemampuan sama sekali untuk memikul beban horizontal. Adanya sedikit kemampuan pada umumnya hanyalah karena berat sendiri elemen tiang (post), atau adanya kontribusi elemen lain misalnya dinding penutup yang secara tidak langsung berfungsi sebagai bracing (pengekang). Dan perlu diingat bahwa kemampuan memikul beban horizontal pada struktur post-and-beam ini sangat kecil, oleh karena itu struktur rangka post-and-beam tidak adapat digunakan untuk memikul beban horizontal seperti beban gempa dan beban angin.

2.2.3. Satuan Struktural Utama

Satuan struktural utama adalah struktur minimum yang layak digunakan pada konteks gedung dan yang dapat digunakan baik secara individual maupun secara berulang. Sebagai contoh, empat kolom beserta permukaan bidang kaku yang ditumpu olehnya adalah satuan utama. Satuan seperti ini dapat ditumpuk maupun dapat diletakkan bersebelahan sehingga membentuk sekumpulan satuan volume yang

tergabung. Jika diletakkan bersebelahan, kolom-kolom biasanya digunakan bersama oleh masing-masing satuan. Satuan utama sering berupa peralihan antara sekumpulan elemen diskret (misalanya balok dan kolom) dan seluruh gedung. Bagaimana elemen diskret dapat digabungkan menjadi satuan merefleksikan bagaimana gedung tersebut secara aktual dilaksanakan, meskipun hal itu tidak selalu demikian. Kegunaan pemikiran mengenai struktur yang dinyatakan sebagai satuan-satuan seperti ini sangat terasa pada tahap pra-rencana. Mamfaatnya adalah dimensi satuan selalu berkaitan dengan persyaratan gedung yang ditinjau. Sebagai contoh, sebagian besar gedung dapat dipandang terdiri atas kumpulan satuan volumetrik yang ukurannya dengan penggunaan yang direncanakan.

2.3 Analisis dan Desain Struktur

Metode pengklasifikasian struktur telah memberikan tinjauan dasar sehubungan dengan bentuk geometris elemen struktur atau susunannya dan sifat fisik utamanya. Tepatnya, system klasifikasi deskriptif tersebut tidak merefleksikan hubungan yang harus ada diantara bagian-bagian yang berhubungan pada susunan struktur agar struktur dapat berfungsi sebagai satu kesatuan. Secara mudah struktur disebutkan sebagai elemen-elemen yang digabung. Akan tetapi, setiap struktur nyata harus berfungsi sebagai satu kesatuan dalam memikul beban untuk disalurkan ke tanah. Setiap penggabungan elemen tidak menjamin secara implisit bahwa strukturnya dapat berlaku demikian. Keharusan suatu struktur berfungsi sebagai satu kesatuan dalam memikul beban dapat diilustrasikan dengan menggunakan stabilitas dasar dari struktur yang dibebani. Ide mengenai stabilitas ini dijelaskan sebagai berikut.

2.3.1 Kestabilan struktur

Tinjauan dasar dalam merencanakan struktur adalah dengan menjamin adanya kestabilan pada segala kondisi pembebanan yang mungkin. Semua struktur mengalami perubahan bentuk tertentu apabila dibebani. Pada struktur stabil, deformasi yang diakibatkan oleh beban pada umumnya kecil dan gaya internal Yang timbul di dalam struktur mempunyai kecenderungan mengembalikan bentuk struktur ke bentuk semula apabila bebannya dihilangkan. Pada struktur tidak stabil, deformasi yang diakibatkan oleh beban pada umumnya mempunyai kecenderungan untuk terus bertambah selama struktur tersebut dibebani. Struktur yang tidak stabil tidak memberikan gaya-gaya internal yang mempunyai kecenderungan mengembalikan struktur ke bentuk semula. Struktur yang tidak stabil mudah mengalami collapse (runtuh) secara menyeluruh dan seketika begitu dibebani.

Ada beberapa cara dasar untuk mengubah struktur berdiri-sendiri menjadi konfigurasi stabil. Yang pertama adalah dengan menambah elemen struktur diagonal pada struktur. Dengan demikian struktur tidak dapat mengalami deformasi menjadi jajaran genjang. Metode lain untuk menjaga kestabilan adalah dengan menggunakan dinding geser. Elemen ini berupa elemen permukaan bidang kaku yang tentu saja dapat menahan deformasi akibat beban horizontal tersebut. Beton bertulang atau dinding bata dapat digunakan sebagai dinding geser. Baik dinding penuh maupun sebagian dapat digunakan padanya. Metode sederhana lain untuk memperoleh kestabilan adalah dengan mengubah hubungan antara elemen struktur sedemikian rupa sehingga perubahan sudut yang terjadi berharga konstan untuk kondisi pembebanan tertentu. Hal ini dilakukan dengan membuat titik hubung kaku diantara elemen struktur. Sebagai contoh, meja adalah struktur stabil karena adanya titik

hubung kaku diantara setiap kaki meja dengan permukaan meja, yang menjamin hubungan sudut konstan diantara elemen- elemen tersebut. Struktur yang menggunakan titik hubung kaku untuk menjamin kestabilan sering disebut sebagai rangka (frame).

2.3.2 Gaya dalam : Tarik, Tekan dan Lentur

Ada dua keadaan gaya internal fundamental yang timbul di dalam struktur sebagai akibat dari aksi sistem gaya eksternal yaitu tarik dan tekan. Apabila sistem gaya eksternal benar-benar bekerja di sepanjang sumbu memanjang batang, maka akan timbul gaya tekan atau tarik merata di dalam batang, bergantung pada gaya luar yang bekerja. Aksi umum gaya-gaya ini menyebabkan terputusnya atau hancurnya material. Bergantung pada apakah gaya yang ada berupa tarik atau tekan. Kapasitas pikul beban batang tarik umumnya bergantung pada jenis material yang dipakai dan pada luas penampang batang. Faktor-faktor tersebut juga menentukan kapasitas pikul batang tekan. Akan tetapi, kapasitas pikul beban batang tekan yang relatif panjang mempunyai kecenderungan berkurang apabila batang semakin panjang. Batang tekan yang panjang cenderung tidak stabil apabila dibebani dan menekuk tiba-tiba pada taraf beban tertentu yang disebut beban kritis. Ketidakstabilan tiba-tiba biasanya terjadi tanpa adanya kehancuan material. Sekalipun demikian, apabila ini terjadi struktur tersebut tetap dalam keadaan berdeformasi karena tidak dapat member gaya internal untuk mengembalikan struktur ke bentuk semula. Apabila dibebani terus maka akhirnya elemen struktur tersebut mengalami kegagalan dengan melentur.fenomena demikian disebut tekuk (bukling).

Ada jenis keadaan lain yang melibatkan kombinasi gaya tarik dan tekan internal. Apabila suatu elemen struktur memikul beban eksternal yang bekerja transversal terhadap sumbu memanjang elemen tersebut (tidak dalam arah sumbu memanjang terhadap elemen struktur), aksi gaya-gaya eksternal menyebabkan terjadinya lenturan. Apabila suatu elemen melentur kaena dibebani maka terjadi perubahan bentuk seperti yang terlihat dalam gambar 2.3.1. Jenis deformasi ini mempunyai ciri adanya sebagia serat yang mengalami perpanjangan dan sebagian lagi mengalami perpendekan. Pada gambar 2.3.1 terlihat bahwa pemanjangan dan perpendekan elemen struktur dapat terjadi pada penamapang yang sama. Sehubungan dengan fenomena tersebut tentu ada gaya tarik dan tekan. Elemen struktur dapat melentur dibebani transversal adalah karena tarik dan tekan tersebut. Dengan demikian ada gaya tarik dan tekan internal pada penampang yang sama dan disebut momen lentur (bending). Elemen struktur yang mengalami lentur demikian umumnya disebut balok.

Gambar 2.3.1 Kondisi gaya internal: tarik, tekan dan lentur [Daniel L. Schodek, 1998]

Pengenalan mengenai adanya perbedaan kapasitas pikul beban suatu elemen struktur terhadap tarik, tekan dan lentur adalah hal mendasar dalam merencanakan struktur yang efisien. Tujuan umum desain struktural sering kali berupa minimisasi lentur pada struktur. Teknik untuk melakukan hal ini sangat bervariasi tetapi prinsipnya selalu sama. Tujuan desain lainnya adalah minimisasi penggunaan batang tekan panjang. Elemen yang lebih diinginkan adalah elemen struktur tarik murni atau elemen struktur tekan pendek. Prinsip desain lainnya adalah kesesuaian jenis keadaan gaya yang ada dan pemilihan material yang cocok sehingga karakteristik material dapat dimamfaatkan dengan baik.

2.4 Prinsip-prinsip Mekanika

Mekanika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan terapan yang berhubungan dengan gaya dan gerak, dan dasar ilmu ini adalah keseimbangan. Sebutan statika digunakan untuk menunjukkan bagian dari mekanika yang khusus berhubungan dengan gaya-gaya yang bekerja pada benda tegar (rigid bodies) yang berada dalam keseimbangan dan diam. Sebutan dinamika menunjukkan bagian mekanika yang berhubungan dengan benda tegar yang bergerak. Apabila gaya inersia juga diperhitungkan, maka benda yang bergerak dapat juga dipandang berada dalam keseimbangan.

2.4.1 Gaya dan Momen 2.4.1.1 Gaya

Dasar mekanika adalah konsep gaya-gaya dan komposisi serta resultan gaya. Gaya adalah interaksi antara benda-benda. Interaksi gaya mempunyai pengaruh terhadap bentuk atau gerak, atau keduanya pada benda yang terlibat. Ditinjau dari perspektif riwayatnya pada mulanya tidak ada sesuatu pun yang jelas mengenai gaya

dan karakteristik gaya yang dinyatakan dalam besaran, arah dan efeknya. Formulasi secara tepat mengenai konsep tersebut membutuhkan uraian yang cukup panjang dipandang dari derajat abstraksi yang dilibatkan. Pada abad pertengahanlah baru mulai jelas perbedaan antara gaya dengan berat dalam arti arahnya. Nama Jordanus de Nemore sering dihubungkan dengan timbulnya konsep-konsep ini. Bila gaya telah dipahami secara vektorial maka dapat digunakan untuk mencari komponen gaya dan komposisi gaya resultannya. Ini dikembangkan oleh beberapa ilmuawan seperti Leonardo da Vinci, Steven, Roberval, dan Galileo Galilei. Masalah demikian sering disebut sebagai masalah dasar di dalam statika yang akhirnya berhasil dipecahkan dengan tuntas oleh Varginon dan Newton.

2.4.1.2 Momen

Setiap gaya yang bekerja pada suatu benda akan menyebabkan benda tersebut mengalami translasi dalam arah gaya itu. Bergantung pada titik tangkapnya, gaya itu juga dapat menyebabkan terjadinya rotasi yang disebut momen dari gaya tersebut (lihat gambar 2.4.1). Terhadap suatu titik atau suatu garis, besar putaran atau rotasi ini sama dengan hasil kali besar gaya dengan jarak tegak lurus dari garis kerja gaya ke titik atau garis yang ditinjau. Momen M akibat gaya P terhadap titik O dapat dengan mudah disebut MO=F x r di mana r adalah jarak tegak lurus dari garis kerja

gaya F ke titik O. r sering disebut sebagai lengan momen dari suatu gaya. Momen mempunyai satuan gaya kali jarak misalnya ft-lb dan N-m).

Gambar 2.4.1 Momen [Daniel L. Schodek, 1998]

Efek rotasional total yang diakibatkan oleh beberapa gaya terhadap satu titik atau garis yang sama adalah jumlah aljabar dari momen masing-masing gaya terhadap titik atau garis tersebut. Dengan demikian :

MO =( F1 x r1) + ( F2 x r2) + ( F3 x r3)+ … + ( Fn x rn)

Efek rotasional terhadap benda tegar (rigid body) yang diakibatkan oleh banyak gaya yang bekerja terhadap suatu titik atau garis , tetapi tidak sebidang sama dengan yang diakibatkan apabila gaya-gaya tersebut sebidang.

Kopel adalah sistem gaya yang terdiri atas dua gaya yang sama besar tetapi berlawanan arah dan garis kerjanya sejajar dan tidak terletak pada satu garis lurus . Kopel hanya mengakibatkan efek rotasional (tidak ada translasional) terhadap benda. Momen akibat kopel didapat dari hasil kali antara satu gaya dan jarak tegak lurus antara kedua gaya tersebut. Dapat dibuktikan bahwa momen akibat suatu kopel tidak bergantung pada titik referensi yang dipilih sebagai pusat momen. Besar efek rotasional yang dihasilkan oleh kopel terhadap suatu benda juga tidak bergantung pada titik tangkap kopel pada benda tersebut.

Dalam analisis struktur sering kali harus menghitung momen akibat suatu bentuk beban terdistribusi yang bekerja pada suatu benda. Seperti yang terlihat dalam gambar 2.4.2(a) dimana terdapat beban terdistribusi yang besarnya konstan sebesar w lb/ft atau kN/m. Suatu bagian kecil dari beban tersebut, w dx, mengakibatkan momen terhadap titik O sebesar (x) w dx. Dengan demikian momen total akibat seluruh beban terhadap titik O adalah :

Mo =

∫

L

dx wx

0

. = 2

2

Perhatikan bahwa momen yang sama juga diperoleh dengan mengubah momen terdistribusi tersebut dengan satu beban yang ekuivalen dengan beban tadi, yang bekerja pada pusat massa beban terdistribusi. Untuk kasus diatas, beban terpusat ekivalennya adalah wL yaitu w(lb/ft) x L(ft) = wL lb yang bekerja di L/2. Momen akbat sistem gaya ekuivalen ini adalah MO = (wL) (L/2) = wL2/2 yang sama

dengan momen yang diperoleh dari MO =

∫

L

dx wx

0

. . Teknik pemodelan beban

terdistribusi menjadi terpusat sangat berguna dalam mencari reaksi pada struktur kompleks dan sering digunakan dalam analisa struktur.

(a) Beban terdistribusi merata (b) Model ini menghasilkan momen rotasi yang sama terhadap titk 0 dengan

momen terdistribusi pada gambar (a) Gambar 2.4.2 Momen akibat beban terdistribusi

2.4.2 Keseimbangan

2.4.2.1 Keseimbangan suatu partikel

Suatu benda berada dalam keseimbangan apabila sistem gaya yang bekerja pada tersebut tidak menyebabkan translasi maupun rotasi pada benda tersebut. Keseimbangan akan ada dari sistem gaya konkuren yang bekerja pada titik atau partikel apabila resultan sistem gaya kongkuren tersebut sama dengan nol. Suatu sistem gaya kongkuren yang mepunyai gaya resultan dapat dijadikan seimbang dengan memberikan suatu gaya yang disebut penyeimbang yang sama besar dan berlawanan arah dengan resultan tersebut.

2 .

2

0

wl dx wx Mo

L

= =

_∫

Gambar 2.4.3 Hubungan gaya-gaya, gaya resultan dan gaya penyeimbang

Resultan dari sistem gaya kongkuren dapat diperoleh dengan meninjau

komponen-komponen gaya dan menggunakan R =

∑

2 +

∑

2

) ( )

( Fx Fy . Apabila

sistem tersebut dalam keadaan seimbang maka resultan ini sama dengan nol (R=0),

jadi haruslah Σ Fx = 0 d an Σ Fy = 0. Dengan demikian jumlah aljabar semua komponen gaya yang bekerja pada partikel dalam arah x maupun y haruslah sama dengan nol. x dan y tidak selalu horizontal dan vertikal, tetapi sistem sumbu yang saling tegak lurus, bagaimana pun orientasinnya.

Secara lebih umum lagi, Σ Fx = 0, Σ Fy = 0 dan Σ Fz = 0 adalah syarat yang perlu dan cukup untuk menjamin keseimbangan pada sistem gaya yang kongkuren. Suatu sistem gaya yang memenuhi kondisi tersebut tidak akan menyebabkan partikel mengalami translasi, dan rotasi bukan merupakan masalah karena semua gaya bekerja melalui satu titik yang sama pada sistem kongkuren.

2.4.2.2 Keseimbangan benda tegar

Apabila sistem gaya tak-kongkuren bekerja pada suatu benda tegar, maka akan ada potensial untuk mengalami translasi dan rotasi. Agar benda tegar mengalami kesetimbangan, keduannya harus tidak ada. Untuk mencegah translasi, ini mengandung arti yang sama dengan sistem gaya kongkuren, yaitu system resultan

gaya tersebut haruslah sama dengan nol. Untuk mencegah rotasi, maka haruslah jumlah momen yang diakibatkan oleh semua gaya sama dengan nol. Dengan demikian, kondisi keseimbangan benda tegar adalah :

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ Fz = 0

Σ Mx = 0 Σ My = 0 Σ Mz = 0

Apabila bekerja dengan sistem gaya umum, perjanjian tanda tidak merupakan masalah. Untuk maksud analisis dan desain struktural, lebih mudah apabila bekerja dengan menggunakan gaya-gaya atau komponennya pada sumbu x dan y. Untuk lebih memudahkan sebaiknya gaya-gaya yang bekerja pada arah x dan y positif akan dipandang positif dan momen yang menyebabkan rotasi berarah berlawanan jarum jam akan dipandang positif. Perjanjian tanda ini hanyalah untuk perhitungan keseimbangan. Perjanjian tanda lainnya untuk gaya dan momen internal pada struktur gaya yang ditinjau akan didefenisikan secara tersendiri.

2.4.3 Gaya Internal dan Eksternal 2.4.3.1 Sistem gaya Eksternal

Gaya dan momen yang bekerja pada suatu benda tegar dapat dibagi kedalam dua jenis utama yaitu yang bekerja dan yang reaktif. Dalam banyak penggunaan istilah teknik, gaya yang bekerja adalah gaya yang bekerja langsung pada struktur misalnya salju. Gaya reaktif adalah yang timbul akibat adanya aksi suatu benda ke benda lain dan dengan demikian umumnya terjadi pada hubungan atau tumpuan. Adanya gaya-gaya reaktif berasal dari hukum newton ketiga yang secara umum menyatakan bahwa apabila ada suatu aksi maka akan ada reaksi yang besarnya sama dengan arah yang berlawanan. Secara lebih tepat lagi, hukum ini menyatakan bahwa apabila suatu benda memberikan gaya pada benda lain maka benda kedua akan selalu

memberikan gaya yang sama besar dan berlawanan arah terhadap benda yang pertama. Dalam gambar 2.4.4(b), gaya-gaya pada balok menyebabkan gaya-gaya yang berarah ke bawah pada fondasi sehingga ada reaksi yang berarah keatas. Dengan demikian, ada sepasang gaya aksi dan reaksi yang terdapat pada pertemuan balok dengan fondasi. Dalam banyak hal, momen juga dapat merupakan bagian dari sistem aksi-reaksi seperti yang terlihat dalam gambar 2.4.4(c).

Gambar 2.4.4 Diagram (keseimbangan) benda bebas dan reaksi [Daniel L. Schodek, 1999]

Sifat gaya-gaya reaksi yang timbul pada benda yang dibebani bergantung pada bagaimana benda tersebut ditumpu atau dihubungkan dengan benda lain.Gambar2.4.5 mengilustrasikan hubungan antara jenis kondisi tumpuan yang ada dan jenis gaya-gaya reaksi yang timbul. Beberapa jenis kondisi tumpuan yang utama diperlihatkan secara khusus, sedangkan jenis lainnya mungkin saja terjadi. Diantaranya yang terpenting adalah tumpuan sendi, tumpuan rol dan tumpuan jepit. Pada tumpuan sendi, titiknya memperbolehkan elemen strukturnya berotasi secara bebas tetapi tidak dapat bertranslasi kearah manapun. Dengan demikian titik tersebut tidak dapat memberikan tahanan momen, tetapi dapat memberi tahanan gaya pada arah mana pun. Tumpuan rol juga dapat berotasi dengan bebas dan dapat menahan

translasi tetapi hanya pada arah yang tegak- lurus bidang terhadap tumpuan baik mendekati maupun menjauhi tumpuan. Tumpuan rol ini tidak memberikan tahanan gaya dalam arah sejajar dengan bidang tumpuan. Tumpuan jepit dapat menahan rotasi maupun translasi dalam arah manapun, dengan demikian tumpuan ini dapat memberikan tahanan momen dan gaya dalam arah sembarang. Jenis tumpuan lain misalnya tumpuan kabel dan tumpuan sederhana, tumpuan ini serupa dengan tumpuan rol tetapi tumpuan ini hanya dapat memberikan tahanan satu arah.

Agar suatu struktur stabil maka harus ada sejumlah tertentu tahanan gaya (dan atau momen) yang diberikan oleh tumpuannya. Untuk balok sederhana (simple beam) yang dibebani dengan gaya-gaya vertikal maupun horizontal harus ada tiga gaya ( hal ini sesuai dengan fakta bahwa pada struktur ini harus terpenuhi kondisi seimbang : Σ Fx= 0, Σ Fy= 0, Σ M = 0). Salah satu cara adalah dengan menggunakan tumpuan jepit. Cara lainnya adalah dengan menggunakan tumpuan sendi pada salah satu ujung dan tumpuan rol pada tumpuan lainnya.

Struktur-struktur yang mempunyai hubungan atau tumpuan yang memberikan lebih banyak daripada jumlah minimum yang diperlukan disebut struktur statis tak tentu. Karena ada gaya berupa gaya tahanan/reaksi yang lebih banyak dari bannyak persamaaan keseimbangan maka dapat dicari besar masing-masing gaya tahanan hanya dengan statika.

2.4.3.2 Sistem gaya internal

Momen dan gaya internal timbul didalam struktur sebagai akibat adanya sistem gaya eksternal yang bekerja pada struktur dan berlaku bersama-sama sebagai suatu yang mempertahankan keseimbangan partikel atau elemen dari suatu struktur.

Gaya-gaya dan momen yang timbul pada titik hubung antara dua bagian susunan struktur secara konseptual tidak berbeda dengan gaya reaksi yang telah dibahas diatas. Perbedaan yang ada diantara keduannya hannyalah penamaan yang menunjukkan dimana terjadinya. Setiap bagian dari suatu struktur mempunyai reaksi untuk memperahankan keseimbangan bagian tersebut seperti halnya pada struktur yang lebih besar yang mempunyai reaksi untuk mempertahankan keseimbangannya.

Gaya dan momen yang timbul pada titik hubung mengakibatkan gaya reaksi dan momen yang bekerja pada satu bagian yang dihubungkannya sama besar dan berlawanan arah dengan gaya serta momen pada bagian tersambung lainnya.

Seperti pembahasan diatas, momen dan gaya internal dapat timbul di dalam serat suatu benda yang mengalami sistem gaya eksternal. Seperti yang terlihat dalam gambar 2.4.5, dengan intuisi jelas bahwa ada gaya tarik yang timbul didalam kabelyang memikul blok yang besarnya sama dengan besar blok. Secara formal, diagram keseimbangan dapat digambarkan seperti yang terlihat pada gambar 2.4.5. Keseimbangan blok dapat dipertahankan oleh adanya gaya internal Fi di dalam kabel, yang dalam hal ini sama dengan berat blok. Juga jelas bahwa sistem ini dapat diuraikan dengan berbagai cara.

Gambar 2.4.5 Gaya tekan dan tarik internal pada batang [Daniel L. Schodek, 1999]

Gaya internal tentu saja sama dalam hal karakter tetapi berlawanan arti dengan gaya tarik. Gambar 2.4.5 mengilustrasikan batang dengan gaya tekan internal yang bervariasi karena adanya sistem gaya eksternal. Besar dan arah gaya internal yang timbul adalah sedemikian rupa sehingga semua bagian struktur berada dalam keseimbangan, tidak terkecuali pada bagian mana yang ditinjau. Gaya tarik dan tekan yang kolinier dengan sumbu memanjang batang sering juga disebut gaya aksial atau kadang kadang disebut gaya normal. Diagram yang diperlihatkan pada gambar 2.4.7 menunjukkan secara grafis tentang variasi gaya aksial internal yang ada di batang.

Tinjauan batang tarik sederhana yang terlihat pada gambar 2.4.6 terlihat bahwa tarik internal yang ada tidak terpusat pada satu titik saja di dalam penampang batang tersebut tetapi terdistribusi di dalam seluruh penampang tiang. Gaya internal total yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan gaya eksternal pada batang secara aktual adalah resultan dari gaya yang terdistribusi (atau tegangan) yang bekerja pada penampang melintang.

Gambar 2.4.6 Batang tarik [Daniel L. Schodek, 1999]

Pada elemen sederhana yang memikul gaya tarik, wajar saja berasumsi bahwa apabila gaya eksternal bekerja di sepanjang sumbu batang dan titik berat atau titik simetri penampang melintang, maka tegangan yang timbul pada penampang mempunyai intensitas merata. Resultannya akan mempunyai garis kerja yang sama dengan garis kerja gaya eksternal yang ada. Jika tegangan terdistribusi merata maka besarnya adalah :

Tegangan =

luas gaya

atau f =

A P

dimana f adalah tegangan (intensitas gaya) persatuan luas, P adalah gaya aksial yang ada dan A adalah luas penampang melintang yang ditinjau. Tegangan demikian disebut tegangan normal atau tegangan aksial. Apabila gaya eksternal berupa gaya tarik maka tegangannya sama juga dengan di atas, tetapi berupa tegangan normal tarik.

2.5 Jenis-jenis Struktur pada Bangunan Teknik Sipil 2.5.1 Truss (rangka)

Definisi truss (rangka) adalah konstruksi yang tersusun dari batang-batang tarik dan batang-batang tekan saja, umumnya dari baja, kayu, atau paduan ringan guna mendukung atap atau jembatan, umumnya dapat menahan gaya aksial saja.

Truss 2 dimensi adalah truss yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal.

Truss 3 dimensi adalah truss yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal.

2.5.2. Grid /Grillage (Balok Silang)

Definisi grid (balok silang) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih bagian konstruksi yang disambungkan secara kaku (guna stabilitas) pada arah mendatar, umumnya dapat menahan gaya yang bekerja tegak lurus (sumbu y) terhadap bidang datarnya (sumbu x), struktur seperti sistem lantai, sistem atap dan lantai jembatan dapat dianalisis sebagai grid atau balok silang.

2.5.3. Frame (Portal)

Definisi frame (portal) adalah kerangka yang terdiri dari dua atau lebih bagian konstruksi yang disambungkan guna stabilitas, umumnya dapat menahan gaya momen, gaya geser dan aksial.

Frame 2 dimensi adalah frame yang dapat menahan beban pada arah datar saja (sumbu x, y) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang.

Frame 3 dimensi adalah frame yang dapat menahan beban pada semua arah (sumbu x, y dan z) umumnya beban yang bekerja adalah beban terpusat nodal dan beban batang. Atau dengan kata lain frame 3 dimensi merupakan gabungan frame 2 dimensi dengan grid element.

BAB III

METODE ANALISA

3.1 Umum

Dewasa ini pemodelan struktur sudah semakin kompleks. Tidak dapat dipungkiri karena pengaruh ilmu pengetahuan yang semakin maju dan selera masyarakat yang semakin berbeda sehingga memungkinkan terbentuknya pemodelan-pemodelan dengan struktur yang bervariasi dan semakin mendekati ambang batas keamanan dari struktur tersebut. Dengan demikian, untuk menjawab kebutuhan-kebutuhan tersebut maka diperlukan adanya alat yang dapat digunakan untuk membantu dan menjawab persoalan tersebut yakni semakin berkembangnya program-program komputer yang dapat memodelkan berbagai bentuk struktur sampai dengan mengukur ketahanan dan kestabilan dari pemodelan struktur tersebut.

Pemograman komputer tersebut dibuat berbasiskan konsep perhitungan analisa struktur. Salah satunya adalah pemograman komputer yang berbasiskan perhitungan dengan konsep Elemen Hingga. Jadi, setiap pengerjaan data atau yang disebut dengan out put dari pemograman komputer tersebut dihitung dengan konsep tersebut walaupun tidak dijabarkan secara mendetail setiap proses perhitungan sehingga mendapakan hasil yang sedemikian rupa.

3.2 Konsep Elemen Hingga

Metode elemen hingga adalah prosedur numerik untuk memecahkan masalah mekanika kontinum dengan ketelitian yang dapat diterima oleh rekayasawan. Seperti yang terlihat dalam gambar 3.2(1) bahwa tegangan dan peralihan pada suatu struktur harus dicari, jawaban numeriknya tidak akan ada pada buku manapun. Metode-metode klasik menunjukkan bahwa masalah ini berupa persamaan diferensial parsial,

akan tetapi jawabannya tidak ada karena geometri dan pembebanannya terlalu kompleks. Secara praktis banyak sekali masalah yang terlalu kompleks untuk diperoleh jawaban tertutupnya (close form solution). Untuk itu diperlukan solusi numerik, dan salah satu yang cukup memadai adalah metode elemen hingga.

Gambar 3.2.1 (a) Struktur bidang dengan bentuk sembarang

(b) Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut. (c) Elemen segi empat bidang dengan gaya-gaya titik kumpul pi dan qi.Garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan peralihan arah x titik 3

[Robert D. Cook, 1990]

Pada gambar 3.2.1b diperlihatkan metode elemen hingga. Daerah yang berupa segi tiga dan kuadrilateral adalah elemen-elemen hingga.Titik-titik hitam adalah titik simpul (node) dimana elemen yang satu berhubungan dengan yang lainnya. Suatu jaring (mesh) adalah susunan titik simpul dan elemen. Bentuk jaring pada gambar tersebut di atas terdiri atas elemen segi tiga dan kuadrilateral, ada yang mempunyai titik simpul pada sisinya dan ada pula yang hanya pada ujungnya.

Pada dasarnya, elemen hingga merupakan bagian-bagian kecil dari struktur aktual. Akan tetapi kita tidak dapat mengubah gambar 3.2.1a menjadi gambar 3.2.1b hanya dengan membuat potongan sembarang seperti potongan-potongan material yang terikat pada titik kumpul. Apabila terpotong demikian, struktur tersebut akan sangat melemah. Selain itu, potongan-potongan tersebut akan mempunyai konsentrasi regangan pada titik-titik kumpulnya dan akan cenderung menjadi

tumpang tindih atau terpisahkan disepanjang potongan. Jelasnya, pada struktur aktual tidak akan terjadi demikian, jadi elemen hingga harus dapat berdeformasi dengan cara yang terbatas. Sebagai contoh, apabila ujung-ujung elemen dikendalikan untuk tetap lurus seperti yang terlihat pada gambar 3.2.1c maka elemen yang bersebelahan dengannya tidak akan bertumpang tindih maupun terpisahkan.

Untuk memformulasikan suatu elemen, maka harus dicari gaya-gaya titik simpul (nodal forces) yang menghasilkan berbagai ragam deformasi elemen. Gaya-gaya ini dapat dicari dengan teori dasar untuk elemen hingga “alami” seperti balok (beam) atau batang (bar). Akan tetapi untuk elemen-elemen yang didefenisikan dengan menggambarkan garis-garis pada suatu kontinum seperti gambar 3.2.1a,b dan c diperlukan prosedur baru.

Metode elemen hingga tidak dibatasi pada masalah-masalah mekanika struktural. Pada gambar 3.2.2 diperlihatkan bagaimana permukaan Ф yang berubah secara halus dapat didekati dengan permukaan yang datar. Elemen bertitik simpul empat dan delapan yang masing-masing diperlihakan dengan permukaan terpilin dan lengkung merupakan pendekatan yang baik ke fungsi situasinya. Pendekatan ini akan semakin baik apabila elemen yang digunakan semakin banyak.

Gambar 3.2.2 Fungsi kombinasi Ф= Ф(x,y) dan elemen tipikal

Didalam suatu elemen segi empat pada gambar 3.2.2, Ф adalah fungsi linier dari x dan y. Elevasi dan inklinasi elemen dapat didefenisikan dengan tiga harga titik simpul dari Ф. Dua elemen tidak harus mempunyai elevasi dan kemiringan yang sama. Sketsa ini memperlihatkan esensi metode elemen hingga yaitu pendekan bagian demi bagian untuk fungsi Ф dengan menggunakan polinomial yang mana masing-masing terdefenisi pada daerah (elemen) yang kecil dan dinyatakan dalam harga-harga titik simpul dari fungsi tersebut.

Elemen adalah susunan materi yang mempunyai bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung kepada bentuk fisik dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun elemen tersebut akan menyebutkan totalitas element tersebut. Totalitas sifat elemen inilah disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur mempunyai Modulus elastis (E), Modulus geser (G), Luas penampang (A), Panjang (L) dan Inersia (I). Hal inilah yang salah satu yang perlu dipahami didalam pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi dari E,G,A,L,I.

Sebagaimana telah didefinisikan para pendahulu-pendahulu, bahwa energi itu adalah kekal dan jika aksi (energi) dilakukan terhadap suatu materi, maka materi akan melakukan suatu reaksi sebesar aksi tersebut. Reaksi dari materi ini akan disebut dengan gaya dalam.”GAYA DALAM “ yang ada dalam struktur didefinisikan yaitu, Gaya Normal, Gaya Lintang, dan Gaya Momen yang akan mempengaruhi bentuk fisik materi tersebut. Perubahan bentuk fisik materi ini disebut dengan peralihan (displacement). Metode elemen hingga adalah suatu metode pemaparan bagaimana perjalanan aksi hingga timbul reaksi dalam materi, atau metode untuk meramal besar reaksi dan reaksi apa yang timbul dari materi tersebut.

3.2.1 Sejarah Singkat Metode Elemen Hingga

Pada tahun 1906 dan tahun-tahun berikutnya para ahli riset mengusulkan metode “analogi lattice” untuk memecahkan masalah kontinum. Disini suatu kontinum didekati dengan jaring yang teratur yang terbentuk oleh jaring-jaring yang teratur yang terbentuk oleh batang-batang elastis. Selanjutnya metode ini berkembang menjadi metode untuk menganalisis struktur rangka Pada tahun 1941, seorang ahli matematik Courant mengusulkan interpolasi polynomial bagian demi bagaian pada daerah segi tiga, sebagai cara untuk mendapatkan solusi numerik pendekatan. Courant memperkenalkan metodenya sebagai solusi Rayleigh-Ritz untuk masalah variasional. Inilah yang dikenal sebagai metode elemen hingga dewasa ini. Apa yang dikerjakan Courant tersebut semula dilupakan orang, sampai pada suatu saat para rekayasawan berhasil mengembangkannya.

Pada waktu itu, pendapat para ahli masih dianggap tidak praktis karena belum ada komputer yang dapat dipakai untuk melakukan perhitungan. Setelah tahun 1953, para rekayasawan menuliskan persamaan kekakuan dalam notasi matriks dan dapat memecahkan permasalahan tersebut dengan bantuan computer digital. Makalah klasik yang ditulis oleh Turner, Clough, Martin dan Topp diterbitkan tahun 1956. Dengan makalah ini, ditambah dengan tulisan-tulisan lainnya mulailah terjadi kemajuan yang sangat pesat dalam pengembangan metode elemen hingga dalam bidang rekayasa. Nama “elemen hingga” disebutkan pertama sekali pada tahun 1960. Sejak tahun 1963, metode ini mulai dikenal sebagai sesuatu yang sangat menarik dipelajari oleh cendekiawan. Pada tahun 1967, banyak rekasawan dan matematikawan yang bekerja dengan metode elemen hingga tetapi tidak saling memperhatikan.

3.2.2 Dasar-dasar Metode Elemen Hingga

Derajat bebas (degree of freedom,d.o.f) didefenisikan sebagai peralihan atau rotasi suatu titik kumpul. Dengan demikian untuk sebuah elemen dengan n d.o.f., dapat ditulisakan persamaan :

k11d1+ k12d2+…+ k1ndn = r1

k21d2+ k22d2+…+ k2ndn=r2 . . . 3.1 . . .

. . . kn1d1+ kn2d2+…+ knndn=rn

dimana di merupakan d.o.f. ke i dan ri adalah gaya atau momen padanannya yang

bekerja pada elemen, kij adalah koefisien kekakuan. Apabila diringkas menjadi

bentuk matriks maka persamaan 3.1 dapat ditulis sebagai : [k] {d} = {r} . . . 3.2

yang mana [k] adalah matriks kekakuan elemen, {d} adalah vektor peralihan titik simpul elemen dan {r} adalah vektor beban titik simpul elemen. Sehingga dapat diketahuai bahwa metode kekakuan atau disebut juga metode peralihan yang mana peralihan merupakan bilangan anu yang utama yang harus dihitung. Tegangan adalah variabel sekunder dan dapat dihitung dari peralihan. Metode peralihan merupakan bentuk yang populer dari metode elemen hingga di dalam mekanika struktur.

Untuk menjelaskan arti [k], maka tinjaulah gambar 3.2.3 maka persamaan 3.2 menjadi :

[k] {w1 Ө1 w2 Ө2} = {r} ………. 3.3 4x4

Apabila semua d.o.f. adalah nol kecuali d.o.f. yang ke j, dan apabila dj = 1,

terlihat bahwa {r} = {kij}, yaitu kolom ke j dari matriks {k}. Jelasnya, kolom ke j

dari matirks {k} adalah vektor gaya-gaya (mungkin juga momen) harus diberikan pada elemen agar terjadi dj = 1, dan harus memenuhi keseimbangan statik disaat d

lainnya nol. Pernyataan ini berlaku untuk setiap matriks kekakuan elemen. Dua dari empat ragam deformasi balok diperlihatkan dalam gambar 3.2.3b dan gambar 3.2.3c. Gaya-gaya kij diperlihatkan pada pada gambar sebagai arah positif yang dimisalkan

yaitu yang searah dengan d.o.f. pada gambar 3.2.3a. Jelaslah bahwa k31 dan k32 harus

mempunyai tanda negatif. Untuk elemen yang sederhana ini, dari teori balok diperoleh kesimpulan bahwa kij dapat dinyatakan dalam L dan kekakuan lentur EL.

Gambar 3.2.3 (a) Elemen balok standar dengan d.o.f. nya

(b) Ragam deformasi {d}={1 0 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukan ki1 (c) Ragam deformasi {d}={0 1 0 0} dan gaya-gaya yang diperlukannya, ki2 [Robert D. Cook, 1990]

Interpretasi yang diberikan pada kolom [k] berlaku juga untuk taraf struktur. Pada gambar 3.2.4 dengan menerapkan satu satuan peralihan pada masing-masing titik kumpul secara bergantian, dan setiap kali peralihan dituliskan gaya yang diperlukan, maka kita peroleh matriks 4x4 yang berbentuk :

. . . 3.4

Setiap garis putus-putus dalam persamaan 3.4 merupakan batas matriks kekakuan elemen, seperti yang terlihat dengan meninjau ui=1, kemudian ui+1=1 pada gambar 3.2.4 Dengan demikian persamaan yang menghubungkan d.o.f. yang aktif adalah :

         − =                     + − − + − − 0 0 P u u u k k k 0 k k k k 0 k k 3 2 1 3 2 2 2 2 1 1 1 1

. . . 3.5

Atau:

[K] {D} = {R} . . . 3.6

Gambar 3.2.4 (a) Struktur yang mempunyai tiga d.o.f. aktif (u1,u2,u3).

Elemen hinga disini adalah pegas linier dengan kekakuan k1, k2,k3. (b) Gaya-gaya dan d.o.f. titik kumpul untuk elemen tipikal i

[Robert D. Cook, 1990]

3.3 Persaamaan Grid dan Frame Element

3.3.1 Elemen Beam dua dimensi berorientasi ke semua arah

Kita dapat menurunkan kekakuan matriks untuk elemen balok berorientasi secara keseluruhan. seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3.1. Sumbu lokal x dan y terletak di sepanjang. elemen balok dan melintang untuk masing-masing elemen balok. Sumbu global x dan y terletak pada seluruh element struktur.

        y x d d ˆ ˆ = _     

−S C

S C       y x d

Gambar 3.3.1 Elemen Beam dua dimensi Arbitrarily Oriented

Dengan menggunakan persamaan 3.7, untuk elemen beam kita hubungkan dengan nodal lokal derajat kebebasan terhadap derajat kebebasan sumbu global dengan persamaan:

= . . . 3.8

Dimana, untuk elemen beam kita defenisikan matriks transpormasi sebagai berikut:

T =

k = TT k T . . . 3.9

Maka diperoleh matriks kekakuan

. . . . . 3.10

1

φ

y

dˆ₁

2

φ

y

dˆ₂

yˆ 1 2 x y θ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 C S C S − −               2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ φ φ y y d d                     2 2 2 1 1 1 φ φ y x y x d d d d 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 C S C S − −                     − − − − − − − − = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 L 4 Symmetry LC 6 C 12 LS 6 SC 12 S 12 L 2 LC 6 LS 6 L 4 LC 6 C 12 SC 12 LC 6 C 12 LS 6 SC 12 S 12 LS 6 SC 12 S 12 L EI k

Dimana : C= Cos Ө S= Sin Ө

Untuk gaya axial, digunakan persamaan:

        x x f f 2 1 ˆ ˆ = L AE       − − 1 1 1 1         x x d d 2 1 ˆ ˆ

. . . 3.11

Gambar 3.3.2 Gaya lokal yang bekerja pada element beam

Dengan menggabungkan pers 3.11 dengan persamaan kekakuan element beam, maka koordinat lokal diperoleh sebagai berikut:

                    2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ m f f m f f y x y x =                     − − − − − − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 1 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 L C L C L C L C L C C L C C C C L C L C L C L C L C C L C C C C                     2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ φ φ y x y x d d d d

. . . 3.12

Dimana: C1 =

L AE

dan C2 = ₃

L EI

. . . 3.13

yˆ

x xˆ

y

x

fˆ₂ 2

ˆ

m

y

fˆ₂

θ

1

ˆ

m

x

fˆ₁

y

Sehingga: = kˆ                     − − − − − − − − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 6 0 2 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 1 0 0 2 6 0 4 6 0 6 12 0 6 12 0 0 0 0 0 L C L C L C L C L C C L C C C C L C L C L C L C L C C L C C C C

. . . .3.14

Persamaan matriks

−

kˆ tersebut di atas memiliki tiga derajat kebebasan disetiap node dan sekarang termasuk efek axial arah sumbu xˆ , serta efek gaya geser arah sumbu yˆdan juga efek momen lentur arah sumbu zˆ. Sehingga diperoleh hubungan antara perpindahan sumbu lokal terhadap sumbu global sebagai berikut:

                    2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ φ φ y x y x d d d d =                     − − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C S S C C S S C                     2 2 2 1 1 1 φ φ y x y x d d d d

. . . 3.15

Dimana T diperluas untuk mencakup efek lokal deformasi aksial sebagai:

= T                     − − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C S S C C S S C

. . . 3.16

Dengan mensubstitusi nilai T dan nilai

−

kˆ ke persamaan 3.9, maka kita akan memperoleh matriks kekakuan global untuk element Beam yang mencakup gaya aksial, gaya geser, dan momen lentur sebagai berikut:

. . . 3.17

3.3.2 Element Frame dengan Perletakan Miring

Element Frame dengan perletakan dukungan yang condong miring diperlihatkan pada gambar 2.8.3

Gambar 3.3.3 Element Frame Dengan Perletakan miring

Sesuai dengan gambar 3.3.3 kita menerapkan nilai T terhadap ke tiga node sebagai berikut:           3 3 3 ' ' ' φ y x d d =           − 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos α α α α           3 3 3 φ y x d d

[Ti]{f} = [Ti][K][Ti]T{d}

                            − + − + − + − − − + − − − + − − − + = I 4 Symmetry C L I 6 2 C 2 L I 12 2 AS S L I 6 CS ) 2 L I 12 A ( 2 S 2 L I 12 2 AC I 2 C L I 6 S L 61 I 4 C L I 6 2 C 2 L I 12 2 AS ( CS ) 2 L I 12 A ( C L I 6 2 C 2 L I 12 2 AS S L I 6 CS ) 2 L I 12 A ( 2 S 2 L I 12 2 AC ( S L I 6 CS ) 2 L I 12 A ( 2 S 2 L I 12 2 AC x L E kˆ 2 y 1 x 3

                            3 3 3 2 2 2 1 1 1 ' ' M F F M F F M F F Y X Y X Y X

= [Ti][K]{Ti]

                            = = = = = 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ' 0 ' ' 0 0 0 φ φ φ φ Y X y x y x d d d d d d Dimana:

[Ti] =

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

         3 0 0 0 0 0 0 t I I Dan

[t3] =

          − 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos α α α α

3.3.3 Persamaan Grid

Grid adalah struktur yang dibe beban tegak lurus terhadap bidang struktur, sebagai lawan dari portal bidang, di mana beban diterapkan dalam bidang struktur.

Gambar 3.3.4 Struktur Umum Grid

z x 4 F 3 F 2 F 1 F y

Gambar 3.3.5 Grid Element Dengan Derajat Kebebasan dan Gaya Nodal

Gambar 3.3.6 Perjanjian Tanda Nodal dan Element Torsi

Turunan sebenarnya disajikan sebagai berikut. kita asumsikan penampang silang lingkaran dengan jari-jari R untuk kesederhanaan tetapi tanpa kehilangan pemerataan.

• Langkah 1.

Gambar diatas menunjukkan tanda/nodal torsi dan sudut puntir.

• Langkah 2

kita asumsikan variasi sudut puntir linier sepanjang sumbu x sehingga:

x a

a ˆ

ˆ

2 1 +

=

φ . . . 3.18

x x

x

x

L 1

1

2 ˆ ˆ

ˆ φ φ _φ

φ _ +

  

 

 ₋

= . . . 3.19

Atau bisa juga ditulis dalam bentuk:

[

]

      =

x x N N

2 1 2

1 _ˆ

ˆ ˆ

φ φ

φ . . . 3.20

dengan fungsi bentuk diberikan dari

x x

m₂ ,φ₂

x x

m₁ ,φ₁

2 _x

L

1

x x

m ,φ mx,φx

x

2 1

L

L

yˆ

zˆ

1 ₂

y

y d

fˆ₁ , ˆ₁ fˆ2y,dˆ2y

z z

mˆ₁ ,φˆ₁ mˆ1x,φˆ1x

x x

mˆ₂ ,φˆ₂

x x

L x N L

x

N1=1− ˆ 2= ˆ . . . 3.21

• Langkah 3

Kita memperoleh regangan geser γ

φ

γ _ˆ ˆ

maxdx Rd

AB= =

−

Penyelesaian untuk regangan geser maksimum γmax, kita dapatkan

x d

d R

ˆ ˆ

max

φ

γ =

Gambar 3.3.7 Deformasi Puntir Dari Segmen Batang.

) ˆ ˆ ( ˆ

ˆ

1

2x x

L r x d d

r φ φ φ

γ = = − . . . .3.22

Hubungan tegangan geser τ dan regangan geser γ untuk bahan isotropik elastis linier adalah sebagai berikut:

γ

τ=G . . . 3.23

Dimana G= Modulus geser material

• Langkah 4

kita menurunkan kekakuan elemen matriks dengan cara sebagai berikut. Dari mekanika dasar, kita memiliki tegangan geser yang terkait dengan torsi diterapkan oleh:

D max

γ yˆ

xˆ

zˆ dxˆ

A

B C O

Kondisi Batas (Tumpuan dan Beban)

• Tumpuan diberikan pada bagian bawah struktur bangunan, dengan jenis tumpuan All DOF ( semua arah ).

• Untuk pembebanan

Beban yang bekerja pada space frame berupa beban terpusat saja.

Gambar. 4.4. Objek Setelah Diberi Kondisi Batas Tumpuan

Hasil Analisis

Hasil analisis dapat ditampilkan dalam bentuk gambar maupun tabel.

Hasil analisis tidak memiliki satuan, oleh karena itu dalam mendesain harus disamakan semua satuannya.

Gambar. 4.7. Gaya Lintang Arah Sumbu x Pada Objek

Gambar. 4.9. Bidang Momen Arah Sumbu y Pada Objek

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

V.1 Kesimpulan

1. Persentase perbedaan hasil perhitungan antara Metode Elemen Hingga dengan program Ansys versi 9 sangat kecil, dikarenakan Program Ansys versi 9 menggunakan bahasa pemrograman dengan basic Metode Elemen Hingga sehingga menghasilkan perbedaan hasil perhitungan yang sangat kecil.

2. Analisa perhitungan dengan Metode Elemen Hingga menghasilkan hasil yang lebih kompleks dan proses perhitungan dengan Metode Elemen Hingga lebih panjang.

3. Beban yang bekerja pada space frame berupa beban terpusat pada tiap node/simpul dengan beban terpusat sebesar 4 Ton. Dari hasil perhitungan dan analisa diperoleh displacement terbesar sebesar 1.1611 cm pada titik node 4. Rotasi terbesar sebesar 0.19276E-16 rad pada titik 6. Sementara momen terbesar sebesar 0.69901E+06 kg cm pada titik 2.

V.2 Saran

1. Perlu dibuat suatu pemodelan struktur portal ruang yang bervariasi untuk dianalisa secara manual dengan metode elemen hingga.

2. Perlu dibuat pembebanan yang lebih kompleks

DAFTAR PUSTAKA

Logan, Daryl.L., (2007) “ A first Course in the Finite Element Method, 4thEd.,”. Boston, Canda.

Katili, I (2008). “Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal”. Penerbit PT.Raja Grafindo Persada, Jakarta.

Weaver, William, JR, dan Paul R. Johnston.(1993).”Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur”. Penerbit PT.Eresco, Bandung.

D.Cook, Robert. (1990)“Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga”. Penerbit PT. Eresco, Bandung

Susatio, Ir. Yerry, MT (2004).”Dasar-Dasar Metode Elemen Hingga”. Penerbit Andi, Yogyakarta.

Tarigan, Prof. Dr.Ing Johannes, “Diktat Catatan kuliah Metode Elemen Hingga”. Modul Dasar-dasar Ansys, IC – STAR USU, 2001.

Ansys, Inc.,(2004)” Ansys Theory Reference: Ansys Release 9.0, First Ed.,” SAS IP, Inc, Philadphia.

Schodek, Daniel L (1998). “Struktur” – Edisi Pertama. Penertbit PT. Refika Aditama, Bandung.

Schodek, Daniel L (1999). “Struktur” – Edisi Kedua. Penertbit Erlangga, Jakarta.