Notasi Notasi yang digunakan dalam karya ilmiah ini
antara lain: peluang terjadinya penyebaran dari
individu yang
telah terinfeksi
infected selama hari ke individu yang rentan terinfeksi suspectible;
penderita dari wilayah lain index case, orang;
laju penularan; laju penyembuhan;
peluang masih terinfeksi pada waktu hari setelah terinfeksi;
= total populasi orang; laju kontak per individu yang dapat
terinfeksi; laju kontak dari individu yang
sebelumnya telah terinfeksi pada lokasi l ke individu yang terinfeksi
pada lokasi k; perbandingan
antara jumlah
individu yang dapat berinteraksi dengan seorang penderita pada
lokasi k dengan besarnya populasi; nilai reproduksi dasar.
III. PEMODELAN
3.1 Perumusan Model
Kermack – Mc.Kendrick memodelkan
penyebaran penyakit melalui dua tipe, yaitu persamaan diferensial model SIR dan
persamaan integral. 3.1.1 Model Kermack
– Mc.Kendrick tipe persamaan integral
Kermarck-Mc Kendrick Diekmann dkk, 2000 memodelkan jumlah penderita baru per
unit waktu incidence of infection sebagai berikut:
Jumlah individu yang rentan terkena infeksi di suatu populasi pada waktu t adalah
Asumsi - asumsi yang digunakan pada model Kermack
– Mc.Kendrick tipe persamaan integral antara lain:
1. populasi tertutup, sehingga tidak ada
individu yang keluar masuk populasi; 2.
tidak ada kelahiran atau kematian dalam populasi;
3. seluruh individu pada awalnya rentan
terinfeksi; 4.
semua parameter dan variabel yang digunakan tak negatif;
5. individu yang sembuh dari infeksi
memiliki imunitas
untuk infeksi
selanjutnya.
3.1.2 Model SIR
Pada model SIR, total populasi N dibagi ke dalam tiga buah kelompok sebagai berikut.
1. Kelompok individu sehat yang rentan
terinfeksi the susceptible, S. 2.
Kelompok individu yang terinfeksi dan dapat
menularkan infeksi
the invecticves, I .
3. Kelompok individu yang telah sembuh
dan kemudian kebal dari penyakit the recovered, R.
Total populasi adalah . 3.3
Gambar 2 menjelaskan laju perpindahan antara ketiga kelompok dengan parameter ,
yaitu laju penularan penyakit dan laju penyembuhan
yang konstan.
Laju penularan suatu penyakit proporsional dengan
laju pertemuan individu yang rentan terinfeksi dengan individu yang terinfeksi, sehingga
dijelaskan dengan bentuk perkalian .
Model SIR terdiri dari tiga sistem persamaan diferensial biasa taklinear.
Terdapat beberapa asumsi yang digunakan pada model SIR antara lain:
1. Populasi N t tertutup, sehingga tidak ada
individu yang keluar masuk populasi.
S R
I
Gambar 2 Model SIR
2. Tidak ada kelahiran atau kematian dalam
populasi. 3.
Adanya kepastian proporsi populasi, yaitu S dan sisanya I. Per satuan waktu, proporsi
individu I membuat secara potensial
merupakan interaksi penularan. 4.
Setiap individu pada populasi memiliki kesempatan yang sama untuk berinteraksi
dengan individu yang terinfeksi. 5.
Individu yang sembuh dari infeksi memiliki
imunitas untuk
infeksi selanjutnya.
6. Diasumsikan bahwa setiap pembagian
kelompok terdiri dari individu yang sama sehatnya atau sama sakitnya.
7. Persamaan dideskripsikan mengikuti
model deterministik yang memasukkan nilai konstan untuk setiap parameternya.
8. Semua parameter dan variabel yang
digunakan tak negatif. 3.2 Hubungan antara Model Kermack-
Mc.Kendrick dengan Model SIR
Pada bagian ini akan dibahas hubungan antara model Kermack-Mc.Kendrick dengan
model SIR. Model SIR merupakan kasus khusus dari model Kermack
– Mc.Kendrick karena diformulasikan dalam persamaan
diferensial biasa taklinear. Pada model SIR, terdapat asumsi laju penularan
dan laju penyembuhan yang konstan. Asumsi tersebut
mengakibatkan dan
. [bukti lihat Diekmann Heesterbeek 2000].
Pada model SIR, jumlah individu yang terkena infeksi adalah
Dengan menggunakan asumsi , maka persamaan di atas menjadi
sehingga persamaan 3.7 dapat dituliskan sebagai
Jumlah individu yang sembuh dari penyakit adalah
Persamaan 3.4
diperoleh dengan
menurunkan persamaan 3.2 terhadap t sebagai berikut:
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus Dari persamaan 3.1 diperoleh
Dengan menggunakan
asumsi bahwa
, maka
, sehingga diperoleh persamaan 3.4
Terbukti Persamaan
3.5 diperoleh
dengan menurunkan persamaan 3.8 terhadap t
sebagai berikut:
Dari persamaan 3.8 diperoleh
Rumah k = 1
Rumah Sakit k = 4
Tempat umum k = 3
Tempat kerja k = 2
Subtitusikan persamaan 3.1 ke dalam persamaan di atas, sehingga
Dengan menggunakan
asumsi bahwa
, maka
Berdasarkan persamaan 3.7 , persamaan 3.10 menjadi
, sehingga diperoleh persamaan 3.5
Terbukti Diketahui bahwa
, sehingga . Persamaan 3.6 diperoleh
dengan menurunkan terhadap t
Berdasarkan persamaan 3.4 dan 3.5, maka
sehingga diperoleh persamaan 3.6 Terbukti
3.3 Modifikasi
Model Kermack
–Mc. Kendrick tipe persamaan integral
Dalam bagian
ini akan
dipelajari modifikasi model Kermack - Mc.Kendrick
tipe persamaan integral yang dilakukan oleh Aldis dan Robert. Pada model ini, jumlah
penderita baru per unit waktu incidence of infection melibatkan empat lokasi, yaitu
rumah, tempat kerja termasuk sekolah, tempat umum dan rumah sakit.
Incidence of infection di lokasi k yang terinfeksi pada waktu t disebabkan adanya
kontak dengan individu yang teinfeksi pada waktu
. Jika incidence of infection melibatkan n lokasi, maka incidence of
infection menjadi
3.11 Entri dari matriks laju kontak adalah laju
kontak dari individu yang telah terinfeksi pada lokasi l ke individu yang terinfeksi pada lokasi
k. Diasumsikan bahwa laju kontak bergantung pada lokasi dimana individu terinfeksi,
kecuali pada penyebaran di dalam rumah
. Untuk kasus cacar, jika seorang anggota keluarga terinfeksi ketika berada di
luar rumah, maka individu tersebut akan menularkan cacar pada satu atau lebih
anggota keluarga. Anggota keluarga yang lainnya akan melakukan tindakan pencegahan
supaya mereka tidak tertular cacar, sehingga matriks laju kontak
didefinisikan oleh 3.12
Diasumsikan persamaan 3.12 melibatkan empat lokasi di mana penderita baru
terinfeksi, antara lain: 1.
Rumah k = 1 2.
Tempat kerja termasuk sekolah k = 2 3.
Tempat umum k = 3 4.
Rumah sakit k = 4 Keterangan:
= ; =
= ; =
Gambar 3 Laju Kontak Dengan n = 4, incidence of infection menjadi
3.13 Untuk
mempermudah perhitungan,
model di atas dapat dilinearisasi dengan mengambil asumsi jumlah individu yang
rentan terinfeksi sama dengan total populasi , sehingga
3.14
Penderita dari luar digambarkan dengan fungsi dirac delta. Diasumsikan
wabah terjadi karena adanya seorang individu yang terinfeksi di tempat umum, sehingga
. 3.15 Dengan melakukan transfomasi Laplace pada
kedua ruas, maka
Pada persamaan di atas, transformasi Laplace dilambangkan dengan overbars
Berdasarkan definisi transformasi Laplace pada fungsi dirac delta akan diperoleh
, sehingga transformasi Laplacenya merupakan
sebuah unit vektor .
Bentuk matriks dari fungsi transformasi variabel s adalah
3.16 Transformasi Laplace pada model linear
3.14 akan menghasilkan 3.17
[bukti lihat Lampiran 1]. Jumlah penderita baru yang diharapkan
terinfeksi pada lokasi k oleh seseorang yang sebelumnya telah terinfeksi pada lokasi l
adalah
sehingga matriks
generasi berikutnya
didefinisikan sebagai
3.19 Nilai reproduksi dasar merupakan spectral
radius dari matriks generasi berikutnya . 3.20
Dengan menggunakan program Mathematica 6.0 maka nilai reproduksi dasar
3.21 Berdasarkan nilai reproduksi dasar suatu
wabah akan menjadi epidemik ringan jika dan akan menjadi epidemik berat
jika .
3.3.1 Epidemik ringan
