LANDASAN TEORI Modifikasi Model Kermack – Mc.Kendrick untuk Penyebaran Penyakit Cacar

II. LANDASAN TEORI

Teorema Dasar Kalkulus Andaikan kontinu pada [a,b]. 1. Jika , maka . 2. , dengan F antiturunan sebarang dari f, yakni . Stewart 2001 Persamaan Diferensial Biasa Linear dan Taklinear Sebuah persamaan diferensial biasa orde ke-n dikatakan linear jika dapat ditulis dalam bentuk umum: 1.1 Persamaan diferensial biasa yang tidak dapat ditulis seperti bentuk umum di atas disebut persamaan diferensial biasa taklinear. Farlow 1994 Nilai Reproduksi Dasar Nilai reproduksi dasar menggambarkan rata-rata jumlah infeksi sekunder yang disebabkan oleh datangnya seorang individu yang terinfeksi ke dalam N populasi yang rentan terinfeksi. Dengan mengetahui angka nilai reproduksi dasar maka dapat diprediksi kepesatan dari penyebaran infeksi penyakit pada populasi. Jika 1 maka infeksi penyakit akan menyebar di dalam suatu populasi, sedangkan jika maka infeksi penyakit tidak akan menyebar di dalam populasi karena banyaknya individu yang terinfeksi kemudian akan berkurang atau lebih sedikit dari jumlah individu yang terinfeksi untuk pertama kali. Mulyanah 2008 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan A adalah matriks , suatu vektor taknol x di dalam disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalar yang disebut nilai eigen dari A, berlaku: 1.2 Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran , maka persamaan 1.3 dapat dituliskan sebagai berikut: 1.3 dengan I matriks identitas. Persamaan 1.3 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika 1.4 Persamaan 1.4 disebut persamaan karakteristik. Leon 2001 Matriks Taknegatif Suatu matriks A disebut matriks taknegatif jika dan disebut matriks positif jika untuk setiap i dan j. Leon 2001 Matriks Taktereduksi Matriks taknegatif A dikatakan sebagai matriks yang tereduksi jika terdapat suatu partisi dari himpunan indeks {1,2,...,n} ke dalam himpunan-himpunan takkosong yang saling lepas I 1 dan I 2 sehingga apabila dan . Jika tidak demikian, A disebut matriks yang taktereduksi. Leon 2001 Spectral Radius Jika A adalah matriks berukuran dengan nilai eigen , maka spectral radius dari A adalah www.wolfram.com Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dominan Jika A adalah matriks taknegatif dan tak tereduksi yang memiliki sebuah nilai eigen real positif terbesar r sehingga , 1.6 untuk sembarang nilai eigen dari A. Nilai eigen r disebut nilai eigen dominan dan vektor eigen dominan dari matriks A adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan r. Minc 1988 Transformasi Laplace Misalkan adalah fungsi yang terdefinisi pada 0,∞. Transformasi Laplace dari didefinisikan sebagai fungsi yang diberikan oleh integral Daerah asal dari adalah semua nilai s yang integralnya terdefinisi. Transformasi Laplace dari dinotasikan oleh atau . Farlow 1994 Teorema Konvolusi Misalkan dan adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada . Konvolusi dari dan dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai Jika dan adalah fungsi kontinu dari order eksponensial maka 1.9 Dimana dan , sehingga dalam bentuk inverse 1.10 Bukti: Berdasarkan definisi transformasi Laplace, Misalkan , maka dan mengganti dengan , sehingga diperoleh Jika integral pada t dari hingga diubah ke dalam bentuk integral pada dari 0 hingga t, maka . Terbukti Farlow,1994 Fungsi Dirac Delta Fungsi dirac delta fungsi impuls satuan yang dinotasikan dengan didefinisikan s ebagai “fungsi” yang memenuhi dua sifat matematika, yakni: Farlow 1994 Transformasi Laplace pada Fungsi Dirac Delta Transformasi Laplace dari fungsi unit impulse atau fungsi dirac delta didefinisikan sebagai . 1.13 Bukti: Untuk mendapatkan Transformasi Laplace dari , pertama cari transformasi dari rata- rata fungsi impulse , kemudian mencari limit dari ketika Karena pembilang dan penyebut pada persamaan di atas mendekati 0 ketika , maka gunakan aturan L’Hopital untuk mendapatkan limit sehingga diperoleh . Terbukti Farlow 1994 Gambar 1 Fungsi Delta Dirac “Big” Notasi Notasi yang digunakan dalam karya ilmiah ini antara lain: peluang terjadinya penyebaran dari individu yang telah terinfeksi infected selama hari ke individu yang rentan terinfeksi suspectible; penderita dari wilayah lain index case, orang; laju penularan; laju penyembuhan; peluang masih terinfeksi pada waktu hari setelah terinfeksi; = total populasi orang; laju kontak per individu yang dapat terinfeksi; laju kontak dari individu yang sebelumnya telah terinfeksi pada lokasi l ke individu yang terinfeksi pada lokasi k; perbandingan antara jumlah individu yang dapat berinteraksi dengan seorang penderita pada lokasi k dengan besarnya populasi; nilai reproduksi dasar.

III. PEMODELAN