Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN

HIPERGEOMETRIK; MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

SADRAKH 082407111

PROGRAM STUDI DIPLOMA III STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN

HIPERGEOMETRIK; MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Ahli Madya

SADRAKH 082407111

PROGRAM STUDI DIPLOMA III STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2011

PERNYATAAN

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DENGAN NORMAL DAN FUNGSI BINOMIAL DENGAN HIPERGEOMETRIK;

MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

Saya mengakui bahwa Tugas Akhir ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2011

SADRAKH 082407111

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah kurnia-Nya Tugas Akhir ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.

Pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan termakasih kepada semua pihak yang telah turut serta memberikan petunjuk dan motivasi dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini khusunya kepada :

1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

2. Bapak Prof. Dr. Tulus , MSi. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Drs Open Darnius, M.Sc selaku Dosen Pembimbing pada penyelesaian tugas akhir ini yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan kajian ini.

4. Bapak Drs. Fagiziduhu Bu’ulölö, M.Si selaku Ketua Program Studi D-III Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Semua dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU serta pegawai di FMIPA USU atas bimbingan dan pelayanan yang telah diberikan.

6. Orang tua dan keluarga tersayang yang selama ini telah memberikan bantuan dan dorongan moril maupun materi, semoga Tuhan Yang Maha Esa akan membalasnya.

7. Untuk Siska Ernida Wati br Sitompul yang telah memberikan dukungan moril maupun materi serta motivasi yang begitu besar untuk menyelesaikan apa yang telah saya mulai sehingga Tugas Akhir ini selesai tepat pada waktunya.

8. Rekan-rekan Kuliah yang telah bersedia meluangkan waktu dan memberikan masukan untuk membantu penulis menyelesaikan Tugas Akhir ini terkhusus buat Herri Purba, Panji Simamora, Daniel Manik, Samuel Silaen, Affandi Siregar, Sri Hartati Ginting, Claudia Simanulang, Wida Karo-karo, Margaretha Eflin Siahaan dan teman-teman yang lain yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Daftar isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 2

1.3 Maksud dan Tujuan 3

1.4 Metodologi Penelitian 3

1.5 Keuntungan Simulasi 4

1.5.1 Compress Time 4

1.5.2 Expand Time 4

1.5.3 Control Sources of Variation 5

1.5.4 Error in Meansurment Correction 5

1.5.5 Stop Simulation and Restart 5

1.5.6 Easy to Replicate 6

1.6 Sistematika Penulisan 6

BAB 2 TINJAUAN TEORITIS 7

2.1 Pendahuluan 7

2.3 Distribusi Normal 10

2.3.1 Pengertian Distribusi Normal 10

2.3.2 Pendekatan distribusi Normal-Binomial 11

2.4 Distribusi Hipergeometrik 12

2.4.1 Pengertian Distribusi Hipergeometrik 12 2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik 14

BAB 3 IMPLEMENTASI SISTEM 16

3.1 Pengertian Implementasi Sistem 16

3.2 Pengenalan Software R 17

3.3 Memulai R 19

3.4 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Distribusi Binomial dan Normal 20 3.5 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Distribusi Hipergeometrik 32

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 38

4.1 Kesimpulan 38

4.2 Saran 39

DAFTAR PUSTAKA 40

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.4.2 Pendekatan distribusi Binomial Terhadap distribusi

Hipergeometrik 14

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 Tampilan Jendela Pembuka R 19

Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan = 10; p = 0,1 21 Gambar 3.3 Pembangkitan Data Distribusi Normal Dengan = 1; = 0,95 21 Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan 22 Gambar 3.5 Histogram data binomial yang dibangkitkan 22 Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan 23 Gambar 3.7 Histogram data normal yang dibangkitkan 23 Gambar 3.8 Perintah data binomial yang dibangkitkan 24 Gambar 3.9 Histogram data binomial yang dibangkitkan 24 Gambar 3.10 Perintah data normal yang dibangkitkan 25 Gambar 3.11 Histogram data normal yang dibangkitkan 25 Gambar 3.12 Perintah data binomial yang dibangkitkan 26 Gambar 3.13 Histogram data binomial yang dibangkitkan 26 Gambar 3.14 Perintah data normal yang dibangkitkan 27 Gambar 3.15 Histogram data normal yang dibangkitkan 27 Gambar 3.16 Perintah data binomial yang dibangkitkan 28 Gambar 3.17 Histogram data binomial yang dibangkitkan 28 Gambar 3.18 Perintah data normal yang dibangkitkan 29 Gambar 3.19 Histogram data normal yang dibangkitkan 29 Gambar 3.20 Perintah data binomial yang dibangkitkan 30 Gambar 3.21 Histogram data binomial yang dibangkitkan 30 Gambar 3.22 Perintah data normal yang dibangkitkan 31 Gambar 3.23 Histogram data normal yang dibangkitkan 31 Gambar 3.24 Pembangkitan Data hipergeometrik dengan n=10, k = 100 32 Gambar 3.25 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 33

Gambar 3.26 Histogram data Hipergeometrik yang dibangkitkan 33 Gambar 3.27 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 34 Gambar 3.28 Histogram data Hipergeometrik yang dibangkitkan 34 Gambar 3.29 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 35 Gambar 3.30 Histogram data Hipergeometrik yang dibangkitkan 35 Gambar 3.31 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 36 Gambar 3.32 Histogram data Hipergeometrik yang dibangkitkan 36 Gambar 3.33 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 37 Gambar 3.34 Histogram data Hipergeometrik yang dibangkitkan 37

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kata Statistik dikaitkan dengan kata staat (bahasa Jerman artinya Negara) atau statista (bahasa Italia artinya Negarawan). Jadi Statistika dapat bermakna suatu yang penting bagi Negara. Statistika dapat diartikan sebagai sebuah pengetahuan yang berhubungan dengan data dan data merupakan suatu fakta atau karakteristik yang diperoleh dengan cara mengamati atau mengukur. Setelah data dikumpulkan lalu data itu dianalisis sehingga memperoleh suatu kesimpulan (informasi) tentang seluruh keterangan yang ada. Dan kesimpulan tersebut dapat berguna bagi diri sendiri maupun orang lain.

Salah satu data yang sering digunakan adalah data acak. Data acak merupakan suatu fenomena yang diambil dengan suatu proses sedemikian rupa sehingga hasilnya tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelumnya. Proses yang sedemikian rupa ini disebut juga proses membangkitkan data acak yang mengikuti pola distribusi dimana proses tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu software untuk statistika yaitu program R.

R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi Statistika . Software R dapat menghasilkan banyak bilangan acak dengan jenis yang berbeda dari distribusi tertentu. Salah satu cara untuk membangkitkan data

acak tersebut adalah dengan mensimulasikan data acak tersebut . Simulasi dapat diartikan juga dengan “ Rekayasa”. R juga memiliki kemampuan yang baik dalam membuat grafik akan tetapi R juga memiliki tampilan grafik yang terbatas. Dalam hal ini penulis mencoba untuk mensimulasikan data acak dari fungsi Binomial ke Normal dan dari fungsi Binomial ke Hipergeometrik dengan parameter yang berbeda. Melalui Rekayasa tersebut akan dibandingkan bagaimana perubahan grafik antara fungsi binomial dengan normal dan fungsi binomial dengan hipergeometrik.

Oleh karena itu, penulis mencoba untuk memperlihatkan secara Visual perbandingan perubahan grafik dari fungsi binomial ke normal dan dari fungsi binomial ke hipergeometrik dengan suatu simulasi. Kajian dalam penelitian ini didasarkan atas suatu simulasi komputer dalam software R. Sehingga penelitian ini diberi judul “ Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan Normal dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi”.

1.2Identifikasi Masalah

R merupakan suatu program komputasi statistika yang mempunyai banyak fungsi untuk membangkitkan data acak yang mengikuti pola distribusi tertentu. Distribusi tesebut dapat dilihat dengan menggunakan histogram dan juga grafik. Untuk itu permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana memvisualisasikan serta membandingkan grafik fungsi binomial dengan normal dan fungsi binomial dengan hipergeometrik menggunakan suatu simulasi.

1.3Maksud dan Tujuan

Adapun maksud dan tujuan penelitian ini adalah untuk menunjukkan secara visual perbandingan perubahan grafik fungsi binomial dengan normal dan fungsi binomial dengan Hipergeometrik dengan suatu simulasi menggunakan software R

1.4Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini metode yang diambil adalah metode simulasi komputer dan berikut adalah tahapan atau langkah langkah yang dilakukan :

1. Merancang program simulasi

2. Membangun data peubah acak distribusi binomial dengan menggunakan program R

3. Membangun data peubah acak distribusi normal dengan menggunakan program R

4. Menunjukkan secara visual serta membandingkan perubahan grafik fungsi distribusi binomial dengan normal menggunakan parameter yang berbeda-beda

5. Membangkitkan data peubah acak hipergeometrik dengan menggunakan program R

6. Menunjukkan secara visual serta membandingkan perubahan grafik fungsi distribusi binomial dengan hipergeometrik menggunakan parameter yang berbeda-beda

1.5Keuntungan Simulasi

Menurut Thomas J. Kakiay (2004, hal : 3 (TA Firdaus, 2006)) ada beberapa keuntungan yang bisa diperoleh dengan memanfaatkan simulasi, yaitu sebagai berikut:

1.5.1 Compress Time (Menghemat Waktu)

Kemampuan dalam menghemat waktu ini dapat dilihat dari pekerjaan yang bila dikerjakan memakan waktu tahunan akan tetapi dengan menggunakan simulasi pada program R ini kita hanya membutuhkan waktu beberapa menit, bahkan dalam beberapa kasus dapat dihitung beberapa detik saja.

1.5.2 Expand Time (Dapat Menyebarluaskan Waktu)

Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan struktur dari suatu Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya tidak dapat diteliti pada waktu yang seharusnya (Real Time). Dengan demikian simulasi dapat membantu mengubah Real System hanya dengan memasukkan sedikit data.

1.5.3 Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber-Sumber yang Bervariasi)

Kemampuan pengawasan dalam simulasi ini tampak terutama apabila analisis statistic digunakan untuk meninjau hubungan antara variable bebas (independent variabel) dengan variable terikat (dependent) yang merupakan faktor-faktor yang akan dibentuk dalam percobaan.

1.5.4 Error in Meansurment Correction (Mengkoreksi Kesalahan-Kesalahan Penghitungan)

Dalam prakteknya, pada suatu kegiatan ataupun percobaan dapat saja muncul ketidak benaran dalam mencatat hasil-hasilnya. Sebaliknya, dalam simulasi komputer jarang ditemukan kesalahan perhitungan terutama bila angka-angka diambil dari komputer secara teratur dan bebas.

1.5.5 Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali)

Simulasi komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap program simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat dihentikan begitu saja. Dalam simulasi komputer, penghentian dapat dilakukan dan kemudian dapat dengan cepat dijalankan kembali (restart).

1.5.6 Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak)

Dengan simulasi komputer, percobaan dapat dilakukan setiap saat dan dapat diulang-ulang. Dengan demikian simulasi komputer tidak memakan banyak biaya dalam suatu penelitian.

1.6Sistematika Penulisan

Adapun sistematika penulisan yang digunakan penulis adalah antara lain:

BAB I : Pendahuluan

Bab ini mengutarakan tentang latar belakang, rumusan masalah, maksud dan tujuan, metodologi penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II : Tinjauan Teoritis

Bab ini menguraikan segala sesuatu menyangkut pada penyelesaian masalah yang dihadapi sesuai dengan judul yang diuraikan

BAB III : Implementasi Sistem

Bab ini menjelaskan tentang program ataupun software yang di pakai sebagai analisa terhadap data yang di peroleh.

BAB IV : Kesimpulan dan Saran

Bab ini menyatakan kesimpulan-kesimpulan dari apa yang telah disajikan dalam pembahasan sebelumnya dan memberikan saran yang berupa masukan bagi para pembaca.

BAB II

TINJAUAN TEORITIS

2.1 Pendahulauan

Menurut Darnius, O (2006, Hal : 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu “rekayasa” suatu model logika ilmiah untuk melihat kebenaran/kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk mensimulasi data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan peneliti untuk membuat percobaan dan menjawab pertanyaan – pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu pengetahuan yang sangat perlu dimiliki.

Menurut Banks (1998). Simulasi adalah tiruan dari proses dunia nyata atau system. Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari proses untuk menarik kesimpulan dari sistim yang diwakili.

Menurut Nailor (1966) dalam Rubinstein & Melamed (1998). Simulasi adalah teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, yang melibatkan jenis matematik dan model tertentu yang menjelaskan prilaku bisnis atau ekonomi pada suatu periode waktu tertentu.

Menurut Borowski & Borwein (1989) simulasi didefenisikan sebagai teknik untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, dalam rangka menduga secara karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengan menggunakan model yang diajukan.

Sebagaimana yang telah diketahui, bahwa R merupakan bahasa pemrograman komputer yang dapat membangkitkan bilangan acak dengan banyak fungsi dan memiliki kemampuan dalam membuat grafik. Untuk setiap bilangan acak tersebut kita dapat melihat distribusinya dengan adanya histogram dan grafik yang dapat dibuat melalui program ini. Dalam bab ini akan dibahas mengenai peubah acak yang akan kita distribusikan dan kita teliti.

2.2 Distribusi Binomial

Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah distribusi binomial. Distribusi binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan percobaan Bernoulli. Bernoulli yang nama lengkapnya adalah Jacob Berrnoulli hidup pada tahun 1654-1705, selama 20 tahun mempelajari probabilitas, dan hasil penemuanya diterbitkan dalam buku Ars Conjectandi.

Adapun percobaan Bernoulli adalah suatu percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut :

1. Eksperimen berlangsung sebanyak n kali. Tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama (dengan pengembalian)

2. Untuk setiap eksperimen hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Dua kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q, dimana p+q=1

3. Probabilitas sukses dari satu eksperimen ke eksperimen yang lain adalah konstan.

Dari proses tersebut, yang didefenisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses yang biasa dilambangkan dengan x. Jadi, bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1- p, maka distribusi peluang peubah acak binomial x , yaitu banyaknya sukses dalam n percobaan bebas ialah :

dimana :

x = Munculnya sukses yang ingin dihitung n = Jumlah eksperimen

p = Probabilitas sukses dalam setiap eksperimen q = Probabilitas gagal dalam setiap eksperimen = 1-p n-x = Jumlah gagal dalam n eksperimen

2.3 Distribusi Normal

2.3.1 Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi variabel acak kontinu dan mempunyai nilai yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu. Distribusi normal mempunyai nilai sepanjang interval, biasanya berupa bilangan pecahan. Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak X dengan rata-rata (µ) dan standar deviasi ( ). Distribusi normal dapat ditulis dengan rumus :

dimana :

x = Nilai dari distribusi variabel

= Mean dari nilai-nilai distribusi variabel

= Standar deviasi dari nilai-nilai distribusi variabel

= 3,14159 = 2,71828

Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah : 1. Kurva berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak ditengah

2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya . Apabila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah rata-rata sebagai pusat lipatan, maka kurva akan menjadi 2 bagian yang sama

3. Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis. Kurva yang menurun di kedua arah yaitu ke kanan untuk nilai positif tak terhingga ( ) dan ke kiri untuk

negatif tak hingga ( ). Dengan demikian, ekor kedua kurva tidak pernah menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol

4. Modusnya (Md) pada sumbu mendatar membuat fungsi mencapai puncaknya atau maksimum pada X =

5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1

2.3.2 Pendekatan Distribusi Normal -Binomial

Bila n percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independent dari suatu percoabaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi normal-binomial dapat pula kita gunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap berbagai macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi.

Dengan semakin besarnya jumlah percobaan pada distribusi binomial maka perhitungan peluang dengan menggunakan distribusi binomial semakin kurang efektif, karena jumlah kombinasi dari peristiwa yang diharapkan sangatlah kurang banyak. Untuk menghindari ke kurang efektifan dari distribusi binomial ini, maka distribusi tesebut dapat didekati dengan distribusi Normal. Secara umum dapat disimpulkan bahwa pendekatan distribusi binomial dapat dilakukan dengan dengan distribusi

normal karena secara teoritis bahwa distribusi binomial akan mendekati distribusi normal untuk n besar dan p moderate (tidak besar dan tidak kecil)

2.4 Distribusi Hipergeometrik

2.4.1 Pengertian Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik merupakan suatu distribusi dimana pengambilan atau penarikan sampelnya tanpa adanya pengembalian. Penggunaan distribusi hipergeometrik ini terdapat pada berbagai bidang dan paling banyak pada penerimaan sampel suatu hasil produksi, pengujian barang-barang elektronik dan pengendalian mutu.

Bila pengujian dilakukan terhadap barang, maka secara umum barang akan cacat atau rusak. Oleh karena itu barang tidak dapat dikembalikan pada populasinya. Inilah alasan mengapa pengambilan sampel tanpa pengembalian digunakan. Kegiatan-kegiatan seperti ini sering disebut dengan percobaan hipergeometrik. Agar lebih mudah lagi dapat dijelaskan sebagai berikut: Misalnya ada N benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dan N – k yang akan diberi nama gagal. Ingin diketahui probabilitas memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n – x gagal dari sebanyak N – k yang tersedia, bila variable acak ukuran n diambil dari N benda. Dari uraian ini dapat kita ketahui bahwa percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat yaitu:

1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya N – k diberi nama gagal.

Jumlah sukses x dalam percobaan hipergeometrik disebut variable acak hipergeometrik. Distribusi peluang acak hipergeometrik x ialah jumlah sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda yang memuat k bernama sukses dan N – k bernama gagal. Maka distribusinya dinyatakan dengan h (x;N,n,k). Karena nilainya tergantung pada jumlah yang sukses k dalam n benda yang terpilih secara acak dari N benda, maka distribusi hipergeometrik tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut:

dimana :

N = Ukuran Populasi

k = Sifat tertentu dari populasi n = Ukuran sampel

x = Jumlah sifat k dalam n

2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik

Dalam kasus distribusi hipergeometrik kita dapat menggunakan pendekatan binomial pada permasalahannya apabila keadaan tersebut adalah sebagai berikut :

a. Bila besar sampelnya (n) 1

b. Sampelnya (n) relatif kecil bila dibandingkan dengan jumlah populasinya (N), yaitu n < 0,05N. Bila n lebih kecil dibandingkan dengan N maka peluang tiap penarikan hanya berubah sedikit. Jadi distribusi hipergeometrik dapat di dekati dengan distribusi binomial dengan

sehingga rata – rata dan varian dapat di dekati seperti pada tabel berikut :

Tabel 2.4.2 Pendekatan distribusi Binomial Terhadap distribusi Hipergeometrik

Binomial Hipergeometrik

Rata-rata ( ) _{Rata- rata ( )}

Varian ( ) _{Varian ( )}

Simpangan baku (

Simpangan baku (

Bila kedua ruas dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama antara binomial dan hipergeometrik sedangkan variannya berbeda sebesar faktor koreksi .

Dalam dunia nyata, konsep pendekatan ini sangat berguna karena tiga hal. Pertama, kasus yang sering terjadi dalam dunia nyata adalah kasus Hipergeometrik,

yaitu penyampelan tanpa pengembalian. Kedua, Distribusi Hipergeometrik tidak mempunyai tabel, sehingga kita akan mengalami kesulitan karena terpaksa harus selalu menghitung dengan rumus Hipergeometrik. Ketiga, kebanyakan sampel tidak terbatas sehingga kriteria n 0,05N terpenuhi.

BAB III

IMPLEMENTASI SISTEM

3.1 Pengertian Implementasi Sistem

Implementasi sistem adalah tahapan penerapan hasil desain tertulis ke dalam programming dengan menggunakan perangkat lunak (software) sebagai implementasi ataupun prosedur untuk menyelesaikan desain sistem.

Adapun implementasi sistem yang digunakan untuk penyelesaikan permasalahan pada distribusi Binomial, Normal dan distribusi Hipergeometrik adalah dengan menggunakan software R. Diharapkan dengan menggunakan software ini kita dapat meningkatkan pengetahuan dan kemampuan kita dalam hal :

1. Pemahaman bentuk elemen dan lembar kerja software R 2. Menganalisis data dengan menggunakan R

3. Pembentukan Grafik dengan menggunakan R 4. Pendayagunaan fasilitas software R

3.2 Pengenalan Software R

R adalah suatu sumber informasi tebuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika . Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemen dan Ross Ihaka dari Departemen Statistika di Universitas Aukland pada tahun 1995. Saat ini R ditangani oleh tim inti pengembangan R, yaitu suatu tim internasional yang bekerja keras dengan sukarela untuk mengembangkan software ini. Projek R memiliki web dengan alamat http://www.r-project.org. Situs ini merupakan situs utama untuk memperoleh informasi R. Situs ini langsung berisikan software yang menyertakan halaman-halaman dan sumber lainnya yang terdapat pada dokumen.

Software R merupakan suatu software yang terintegrasi yang memiliki fasilitas untuk pemanipulasian data, perhitungan dan penampilan grafik. Bahasa R kini menjadi standar de facto di antara statistikawan untuk pengembangan perangkat lunak statistika, serta digunakan secara luas untuk pengembangan perangkat lunak statistika dan analisis data.

Tulisan ini menjelaskan bagaimana menggunakan R ketika mempelajari statistika dasar. Tujuannya adalah menjadikan software yang baik ini berguna pada “level rendah” dalam mempelajari statistika dasar, sebagai alternatif alat bantu komputasi yang sering digunakan sebelumnya seperti MINITAB, SPSS, Excel dan sebagainya.

Ada beberapa keuntungan dari R sebagai suatu pengantar komputasi bagi mahasiswa antara lain :

1. Sebagai software yang open source, R dapat di download secara gratis dan dapat dijalankan pada UNIX, Windows dan Macintosh

2. R memiliki kemampuan yang baik untuk membangun sistem Help

3. R memiliki kemampuan yang baik dalam membuat grafik yang menghasilkan grafik dengan kualitas publikasi yang dapat memuat simbol matematika.

4. Bahasa R memiliki ketegasan. Syntaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistik yang built in ( fungsi jadi )

5. Bahasanya mudah di kembangkan oleh pengguna dengan fungsi tertulis

6. R adalah bahasa pemograman komputer. Untuk para pemrogram ini akan terasa lebih terbiasa dari yang lainnya dan untuk pemula langkah selanjutnya untuk pembuatan program tidak akan begitu sulit.

Selain memiliki keuntungan, R juga mempunyai kekurangan dibandingkan dengan software komputasi yang lain, diantaranya adalah :

1. R memiliki tampilan grafik yang terbatas sedangkan software lain seperti S-Plus lebih bagus

2. Tidak ada dana pendukung (meskipun seseorang dapat mengatakan mailinglist internasional bahkan lebih baik)

3. Bahasa interuksinya adalah sebuah bahasa pemrograman sehingga mahasiswa harus mempelajari masalah apresiasi Syntax.

3.3Memulai R

R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Pertanyaan diajukan dan dijawab dalam lembar kerja R (yaitu pada bagian perintah). Untuk memulai baris perintah R maka dapat dilakukan hal sebagai berikut :

1. Klik menu Start, pilih Program R(tergantung dimana R diletakkan)

Gambar 3.1 Tampilan awal membuka Software R 2.12.2

Tampilan Jendela Windows

2. Pilih items R , maka akan muncul tampilan sebagai berikut :

Pada tampilan R Console diatas ditampilkan keterangan tentang tahun pembuatan, Versi R yang sedang digunakan dan sekilas penjelasan dengan keberadaan software R. Pada akhir keterangan muncul tanda > dan tanda ini disebut dengan prompt. Tanda ini muncul dengan sendirinya dan berguna sebagai petunjuk dimana perintah R sudah dapat di tuliskan.

3.4Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Distribusi Binomial dan Normal Tabel 3.4 Data Peubah Acak Distribusi Binomial Dan Normal

Untuk memperlihatkan secara visual perubahan grafik pada distribusi binomial yang mempunyai parameter n dan p sedangkan distribusi normal mempunyai parameter dan maka metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut :

Probabilitas

sukses (p) 0.1 0.4 0.5 0.6 0.9

Probabilitas

gagal (q) 0.9 0.6 0.5 0.4 0.1

Sampel (n) Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3 Kelompok 4 Kelompok 5

µ Σ µ Σ µ σ µ Σ µ σ

10 1 0.95 4 1.55 5 1.58 6 1.55 9 1.90

20 2 1.34 8 2.19 10 2.24 12 2.19 18 2.68

30 3 1.64 12 2.68 15 2.74 18 2.68 27 3.29

40 4 1.90 16 3.10 20 3.16 24 3.10 36 3.79

50 5 2.12 20 3.46 25 3.54 30 3.46 45 4.24

60 6 2.32 24 3.79 30 3.87 36 3.79 54 4.65

70 7 2.51 28 4.10 35 4.18 42 4.10 63 5.02

80 8 2.68 32 4.38 40 4.47 48 4.38 72 5.37

1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi binomial dengan n = 10, p = 0.1 dan dimisalkan data yang dibangkitkan itu sebanyak 100 data

Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan = 10; p = 0,1

2. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi normal dengan = 1, = 0,95 dan

dimisalkan data yang dibangkitkan itu sebanyak 100 data

3. Standarisasi data yang dibangkitkan

4. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 10 sampai 90 dan p = 0,1

Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai dan berdasarkan kelompok 1 pada tabel

Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan

5. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 10 sampai 90 dan p = 0,4

Gambar 3.8 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai dan berdasarkan kelompok 2 pada tabel

Gambar 3.10 Perintah data normal yang dibangkitkan

6. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 10 sampai 90 dan p = 0,5

Gambar 3.12 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai dan berdasarkan kelompok 3 pada tabel

Gambar 3.14 Perintah data normal yang dibangkitkan

7. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 10 sampai 90 dan p = 0,6

Gambar 3.16 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai dan berdasarkan kelompok 4 pada tabel

Gambar 3.18 Perintah data normal yang dibangkitkan

8. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 10 sampai 90 dan p = 0,9

Gambar 3.20 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai dan berdasarkan kelompok 5 pada tabel

Gambar 3.22 Perintah data normal yang dibangkitkan

3.5Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Hipergeometrik

Dalam memperlihatkan secara visualisasi perubahan grafik fungsi hipergeometrik yang mempunyai parameter-parameter n, N dan k dimana probabilitas (p) pada binomial sama untuk pada hipergeometrik dan berubah-ubah sesuai dengan

parameter yang digunakan pada fungsi binomial diatas. Sehingga kita dapat membandingkan perubahan grafik binomial dengan hipergeometrik maka metode simulasi yang digunakan sebagi berikut :

1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi hipergeometrik dengan nilai p =

yaitu 0,1 dan distribusi hipergeometrik dengan N =1000, n = 10, k = 100

Gambar 3.24 Pembangkitan Data hipergeometrik n = 10, k = 100

3. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N =1000, k= 100

Gambar 3.25 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

4. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N =1000, k= 400

Gambar 3.27 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

5. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N= 1000, k =500

Gambar 3.29 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

6. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N= 1000, k =600

Gambar 3.31 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

7. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 10 sampai 90, N= 1000, k = 900

Gambar 3.33 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dalam visualisasi ini penulis dapat menarik kesimpulan sebagai berikut :

1. Dalam grafik data membangkitkan percobaan binomial dapat dilihat bahwa apabila nilai n diperbesar maka grafik akan semakin melenceng kekanan dengan mengarah ke bentuk kurva yang terlihat cukup normal.

2. Dalam pendekatan distribusi binomial dengan distribusi normal, percobaan binomial akan mendekati normal yaitu pada rbinom(100,90,0.1) dan rnorm(100,9,2.85)

3. Dalam grafik data membangkitkan percobaan hipergeometrik dapat dilihat bahwa apabila n dan k diperbesar maka grafiknya akan bergerak ke arah kanan dan membentuk grafik yang cukup normal yaitu pada saat rhyper (100,20,1000,600)

4. Dalam pendekatan percobaan hipergeometrik dengan binomial, percobaan hipergeometrik dapat didekati dan memiliki bentuk grafik yang hampir identik sama, yang terlihat pada saat n < 0,05N yaitu pada hyper(100,30,1000,400) dan rbinom (100,30,0.4)

4.2 Saran

Adapun saran yang dapat diberikan penulis adalah bahwa dalam mensimulasikan suatu data dengan software R tidak hanya terbatas pada distribusi Binomial dan Hipergeometrik saja, tetapi distribusi diskret lainnya seperti halya distribusi Geometrik, distibusi Binomial dan distribusi Poison, serta distribusi peluang yang sifatnya Kontinu.

DAFTAR PUSTAKA

Darnius, Open, 2006, Diktat Kuliah Pengantar Komputasi Statistika dengan R, USU, Medan.

Boediono, dan Wayan Koster, 2001, Statistika dan Probabilitas, PT Remaja Rosdakarya, Bandung.

Ginting, Masten, 2006, Pengantar Metode Dasar Menghitung Peluang, USU, Medan.

Hakim, Abdul, 2002, Statistika Induktif untuk Ekonomi & Bisnis, Ekonisia, Yogyakarta.

Purwanto, Suharyadi, 2003, Statistika untuk Ekonomi & Keuangan Modern, Salemba Empat, Jakarta.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU, Telp. (061) 8211050, Fax (061) 8214290 Medan 20155

KARTU BIMBINGAN TUGAS AKHIR MAHASISWA

Nama Mahasiswa : Sadrakh Nomor Induk Mahasiswa : 082407111

Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi Dosen Pembimbing : Drs. Open Darnius, M.Sc

Tanggal Mulai Bimbingan : Tanggal Selesai Bimbingan :

No. Tanggal Asistensi Bimbingan

Pembahasan Asistensi Pada Bab

Paraf Dosen

Pembimbing Keterangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

*Kartu ini harap dikembalikan ke Jurusan Matematika bila bimbingan mahasiswa telah selesai Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua, Disetujui Dosen Pembimbing

Prof. Dr. Tulus, M.Si Drs.Open Darnius, M.Sc NIP. 19620901 198803 1 002 NIP : 19641014199103 1 004

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU, Telp. (061) 8211050, Fax (061) 8214290 Medan 20155

SURAT KETERANGAN Hasil Uji Program Tugas Akhir

Yang bertanda tangan dibawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas Akhir Program Diploma III Statistika :

Nama Mahasiswa : Sadrakh Nomor Induk Mahasiswa : 082407111

Judul Tugas Akhir :Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi

Telah melaksanakan test program Tugas Akhir Mahasiswa tersebut di atas pada tanggal

Dengan Hasil : Sukses / Gagal

Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Departemen Matematika FMIPA USU Medan.

Medan,

Dosen Pembimbing,

Drs. Open Darnius, M.Sc NIP. 19641014199103 1 004

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU, Telp. (061) 8211050, Fax (061) 8214290 Medan 20155

KARTU BIMBINGAN TUGAS AKHIR MAHASISWA

Nama Mahasiswa : Sadrakh Nomor Induk Mahasiswa : 082407111

Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi Dosen Pembimbing : Drs. Open Darnius, M.Sc

Tanggal Mulai Bimbingan : Tanggal Selesai Bimbingan :

No. Tanggal Asistensi Bimbingan

Pembahasan Asistensi Pada Bab

Paraf Dosen

Pembimbing Keterangan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

*Kartu ini harap dikembalikan ke Jurusan Matematika bila bimbingan mahasiswa telah selesai Diketahui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua, Disetujui Dosen Pembimbing

Prof. Dr. Tulus, M.Si Drs.Open Darnius, M.Sc NIP. 19620901 198803 1 002 NIP : 19641014199103 1 004

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU, Telp. (061) 8211050, Fax (061) 8214290 Medan 20155

SURAT KETERANGAN

Hasil Uji Program Tugas Akhir

Yang bertanda tangan dibawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas Akhir Program Diploma III Statistika :

Nama Mahasiswa : Sadrakh Nomor Induk Mahasiswa : 082407111

Judul Tugas Akhir :Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dengan Normal Dan Fungsi Binomial Dengan Hipergeometrik; Menggunakan Suatu Simulasi

Telah melaksanakan test program Tugas Akhir Mahasiswa tersebut di atas pada tanggal

Dengan Hasil : Sukses / Gagal

Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Departemen Matematika FMIPA USU Medan.

Medan,

Dosen Pembimbing,

Drs. Open Darnius, M.Sc NIP. 19641014199103 1 004