Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dan Normal; Fungsi Binomial Dan Hipergeometrik Dengan Menggunakan Suatu Simulasi

HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN

SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

M. NANDA SADZALI

092407054

PROGRAM STUDI D-III STATISTIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI

BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI BINOMIAL DAN

HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN

SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai

gelar Ahli Madya

M. NANDA SADZALI

092407054

PROGRAM STUDI D-III STATISTIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

PERSETUJUAN

Judul : VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

Kategori : TUGAS AKHIR Nama : M. NANDA SADZALI NIM : 092407054

Program Studi : D3 STATISTIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2012

Diketahui

Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing

Prof. Dr. Tulus, M. Si Drs. Open Darnius S, M.Sc NIP. 19620901 198803 1 002 NIP. 19641014 199103 1 1004

PERNYATAAN

VISUALISASI PERBANDINGAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI BINOMIAL DAN

HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI

TUGAS AKHIR

Saya mengakui bahwa tugas akhir ini adalah kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dari beberapa ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2012

M. NANDA SADZALI 092407054

PENGHARGAAN

Bismillahirrahmanirrahim,

Puji dan syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya kepada seluruh alam beserta seluruh isinya dan berkat kekuatan iman dari-Nya, maka Tugas Akhir dengan judul “VISUALISASI PERBANDINGAAN PERUBAHAN GRAFIK FUNGSI BINOMIAL DAN NORMAL; FUNGSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN SUATU SIMULASI” dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Kemudian seiring shalawat dan salam penulis ucapkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad SAW yang membawa umatnya ke jalan yang benar dan kesejahteraan hidup.

Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih banyak kekurangan dan kelemahan dengan demikian penulis harapkan saran dan kritik yang sifatnya membangun demi peningkatan mutu penulisan Tugas Akhir di masa yang akan datang.

Pada kesempatan ini penulis menghaturkan terima kasih atas petunjuk dan bimbingan yang telah diberikan kepada penulis sehingga akhirnya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini. Maka dengan ini penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada :

1. Ayahanda Herman dan Ibunda tersayang Aten , yang membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang dan cinta dari kecil hinggga saat ini telah memberikan motivasi dan restu serta materi yang tak ternilai dengan apapun.

2. Bapak DR. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Sc selaku Ketua Pelaksana Program Studi Ilmu Komputer dan Statistika FMIPA USU.

4. Bapak Drs.Open Darnius S, M.Sc selaku Pembimbing yang memberikan bimbingan, arahan dan pengalaman kepada penulis.

5. Bapak Drs. Faigiziduhu Buulolo selaku Koordinator Program Studi DIII Satistika FMIPA USU.

6. Untuk saudara-saudari kandung penulis Hedwin Syuhada yang telah memberikan semangat dan do’a kepada penulis.

7. Untuk kak Mimmy dan kak Puspa yang special yang telah memberikan semangat, dan juga buat teman stat-b 09 (adit, nanda, bobby, meutia dan Sandra ) dan buat (ridho,Ellen, anes ,wita,thyek,anes dan meirina terima kasih member motivasi dan do’a yang tulus kepada penulis.

8. Untuk sahabat-sahabatku dari kelas Statistika B 2009 dan semua rekan-rekan dari DIII Statistika FMIPA USU yang telah membantu, memberi semangat, arahan dan motivasi selama perkuliahan.

Atas segala bantuan dan budi baik semua pihak penulis ucapkan terima kasih, semoga Allah SWT memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada kita semua. Amin ya rabbal’alamin.

Akhirnya penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang memerlukan.

Medan, Juni 2012 Penulis

M. Nanda Sadzali

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ii

PERNYATAAN iii

PENGHARGAAN iv

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL vii

DAFTAR GAMBAR viii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Maksud dan Tujuan 3

1.5 Metodologi Penelitian 4 1.6 Keuntungan Simulasi 4 1.6 Sistematika Penulisan 7 BAB II TINJAUAN TEORITIS

2.1 Pendahuluan 8

2.2 Distribusi Binomial 9 2.2.1 Defenisi Distribusi Binomial 9

2.3 Disrtibusi Normal 11

2.3.1 Defenisi Distribusi Normal 11 2.3.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Normal 13 2.4 Disrtibusi Hipergeometrik 14 2.4.1 Defenisi Distribusi Hipergeometrik 14 2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik 15 BAB III IMPLEMENTASI SISTEM

3.1 Pengertian Implementasi Sistem 17 3.2 Pengenalan Software R 18

3.3 Memulai R 20

3.4 Membangkitkan Data Acak Percobaan Binomial dan Normal 21 3.5 Membangkitkan Data Acak pada Percobaan Hipergeometrik 29 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan 33

4.2 Saran 34

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.1 Data Peubah Acak Distribusi Binomial dan Normal 21

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Tampilan Jendela Windows 20

Gambar 3.1 Tampilan Jendela Pembuka R 20 Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan n = 5; p = 0.2 22 Gambar 3.3 Pembangkitan Data Distribusi Normal Dengan �= 1, �= 0.8 22 Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan 23 Gambar 3.5 Histogram data binomial yang dibangkitkan 23 Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan 24 Gambar 3.7 Histogram data normal yang dibangkitkan 24 Gambar 3.8 Perintah data binomial yang dibangkitkan 25 Gambar 3.9 Histogram data binomial yang dibangkitkan 25 Gambar 3.10 Perintah data normal yang dibangkitkan 26 Gambar 3.11 Histogram data normal yang dibangkitkan 26 Gambar 3.12 Perintah data binomial yang dibangkitkan 27 Gambar 3.13 Histogram data binomial yang dibangkitkan 27 Gambar 3.14 Perintah data normal yang dibangkitkan 28 Gambar 3.15 Histogram data normal yang dibangkitkan 28 Gambar 3.16 Pembangkitan data hipergeometrik n = 5, k = 100 29 Gambar 3.17 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 30 Gambar 3.18 Histogram data hipergeometrik yang dibangkitkan 30 Gambar 3.19 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 31 Gambar 3.20 Histogram data hipergeometrik yang dibangkitkan 31 Gambar 3.21 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan 32 Gambar 3.22 Histogram data hipergeometrik yang dibangkitkan 32

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar belakang

Secara langsung atau tidaklangsung kata statitik sering kita dengar dan kita rasakan dalam kehidupan sehari-hari, sebagai contoh pada saat kita menonton pertandingan sepakbola hampir selalu kita mendengar komentator menyebutkan kata statistik juga saat kita membeli suatu barang atau jasa di awal dan di pertengahan bulan kemudian pada akhir bulan kita menghitung pemasukan dan pengeluaran dalam satu bulan ini juga salah satu dari realisasi statistik , statistika juga dapat bermakna suatu yang penting bagi Negara, antara lain untuk perpajakan, mobilitas pemuda untuk menjadi tentara dan lain-lain.

Statistika dapat diartikan sebagai suatu pengetahuan yang berhubungan dengan data, dan data adalah merupakan keterangan dari suatu objek penelitian yang diamati atau diukur dengan menggunakan alat tertentu. Setelah data dikumpulkan dan disajikan kemudian diinterpretasikan untuk menguji teori dan membuat kesimpulan

tentang seluruh keterangan yang mana kesimpulan tersebut dapat berguna bagi diri sendiri maupun bagi orang lain nantinya.

Salah satu bentuk data yang sering digunakan adalah data acak. Data acak merupakan suatu fenomena yang diambil dengan proses sedemikian rupa sehingga hasilnya tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelumya. Sebagai contoh misalnya, bila sebuah dadu digulirkan, maka mata dadu yang muncul sebagai data hasil dalam proses pengguliran tersebut tidak dapat ditentukan sebelum dadu tersebut berhenti bergulir. Proses membangkitkan data acak seperti ini dan data acak yang mengikuti distribusi tertentu dimana proses tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan salah satu software untuk statistika yaitu R. Software R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika setelah S dan S-Plus. Software R dapat menghasilkan banyak bilangan acak dengan jenis yang berbeda dari distribusi tertentu (khusus). Salah satu cara untuk membangkitkan data acak tersebut adalah dengan cara mensimulasi data acak tersebut dengan jenis yang berbeda. Simulasi dapat diaratikan juga sebagai “Rekayasa”. R juga memiliki kemampuan dalam membuat grafik. Dalam hal ini penulis mencoba mensimulasikan data acak dari fungsi binomial dan normal juga fungsi binomial dan hipergeometrik .

Oleh karena itu dalam penelitian ini penulis mencoba untuk memperlihatkan secara visual perbandingan perubahan grafik dari fungsi Binomial dan fungsi hipergeometrik dengan menggunakan suatu simulasi. Kajian dalam penelitian ini didasarkan atas suatu simulasi komputer dengan menggunakan bahasa R, sehingga penelitian ini diberi judul “Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial Dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik Dengan Menggunakan Suatu Simulasi“.

1.2Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah bagaimana memvisualisasi dan membandingkan grafik fungsi binomial dan normal juga fungsi binomial dan hipergeometrik dengan menggunakan suatu simulasi.

1.3Batasan Masalah

Untuk mengarahkan pembahasan dalam tugas akhir ini agar tidak menyimpang dari sasaran yang dituju, maka perlu membuat batasan ruang lingkup permasalahan. Sebagai pembatasan masalah ini adalah hanya terbatas pada visualisasi perbandingan perubahan grafik fungsi binomial dan normal juga fungsi binomial dan hipergeometrik dengan menggunakan suatu simulasi.

1.4Maksud dan Tujuan

Adapun maksud dan tujuan dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan secara visual perbandingan perubahan grafik fungsi binomial dan hipergeometrik juga fungsi binomial dan normal dengan menggunakan suatu simulasi dan dapat dikaji pada suatu simulasi komputer dengan menggunakan software R.

1.5Metodologi Penelitian

Dalam penelitian ini metode yang dipakai adalah metode simulasi komputer, dan berikut adalah tahapan atau langkah-langkah yang dilakukan :

1. Merancang program simulasi.

2. Membangkitkan data peubah acak binomial, secara bervariasi terhadap parameter � (lamda) dengan membuat suatu fungsi pada R.

3. Membangkitkan data peubah acak normal, secara bervariasi terhadap parameter � (lamda) dengan membuat suatu fungsi pada R.

4. Menunjukkan secara visual perubahan grafik fungsi binomial dan normal dengan parameter yang berbeda.

5. Membangkitkan data peubah acak hipergeometrik, dengan membuat suatu fungsi pada R.

6. Menunjukkan secara visual perubahan grafik fungsi binomial dan normal dengan parameter yang berbeda.

7. Menyimpulkan hasil simulasi.

1.6Keuntungan Simulasi

Menurut Thomas J. Kakiay (2004, hal: 3) ada beberapa keuntungan yang bisa diperoleh dengan memanfaatkan simulasi, yaitu sebagai berikut :

Kemampuan dalam menghemat waktu ini dapat dilihat dari pekerjaan yang bila dikerjakan akan memakan waktu tahunan tetapi kemudian dapat disimulasi hanya dalam beberapa menit, bahkan dalam beberapa kasus hanya dalam hitungan detik.

1.6.2 Expand Time (Dapat Melebar-luaskan Waktu)

Hal ini telihat terutama dalam dunia statistik dimana hasilnya diinginkan dapat tersaji dengan cepat. Simulasi dapat digunakan untuk menunjukkan perubahan struktur dari suatu Sistem Nyata (Real System) yang sebenarnya tidak dapat diteliti pada waktu yang seharusnya (Real Time). Dengan demikian simulasi dapat membantu mengubah Real System hanya dengan memasukkan sedikit data.

1.6.3 Control Sources of Variation (Dapat Mengawasi Sumber yang Bevariasi)

Kemampuan pengawasan dalam simulasi ini tampak terutama apabila analisis statistik dapat digunakan untuk meninjau hubungan antara variabel bebas (independent) dengan variable terikat (dependent) yang merupakan faktor-faktor yang akan dibentuk dalam percobaan. Hal ini dalam kehidupan sehari-hari merupakan suatu kegiatan yang harus dipelajari dan ditangani dan tidak dapat diperoleh dengan cepat.

1.6.4 Error in Meansurment Correction (Mengkoreksi Kesalahan-kesalahan Perhitungan)

Dalam prakteknya, pada suatu kegiatan ataupun percobaan dapat saja muncul ketidak-benaran dalam mencatat hasil-hasilnya. Sebaliknya, dalam simulasi komputer jarang ditemukan kesalahan perhitungan terutama bila angka-angka diambil dari komputer secara teratur dan bebas.

1.6.5 Stop Simulation and Restart (Dapat Dihentikan dan Dijalankan Kembali)

Simulasi komputer dapat dihentikan untuk kepentingan peninjauan ataupun pencatatan semua keadaan yang relevan tanpa berakibat buruk terhadap program simulasi tersebut. Dalam dunia nyata, percobaan tidak dapat dihentikan begitu saja. Dalam simulasi komputer, setelah dilakukan penghentian maka kemudian dapat dengan cepat dijalankan kembali (restart).

1.6.5 Easy to Replicate (Mudah Diperbanyak)

Dengan simulasi komputer percobaan dapat dilakukan setiap saat dan dapat diulang-ulang. Dengan demikian simulasi komputer tidak memakan banyak biaya dalam suatu penelitian.

1.7Sistematika Penulisan

Adapun sistematika dalam penulisan adalah sebagai berikut :

BAB 1 : PENDAHULUAN

Bab ini menjelaskan latar belakang pengambilan judul, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan, metodologi penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB 2 : LANDASAN TEORI

Bab ini menjelaskan tentang segala sesuatu yang menyangkut pada penyelesaian masalah yang dihadapi, sesuai dengan judul yang diuraikan.

BAB 3 : IMPLEMENTASI SISTEM

Bab ini menjelaskan tentang program ataupun software yang dipakai sebagai analisa tehadap data yang diperoleh.

BAB 4 : KESIMPULAN DAN SARAN

Bab ini memberikan beberapa kesimpulan dan saran sesuai dengan apa yang telah disajikan dalam pembahasan sebelumnya.

BAB II

TINJAUAN TEORITIS

2.1 Pendahuluan

Menurut Darnius, O (2006, Hal:53) simulasi berarti rekayasa suatu model ilmiah untuk melihat kebenaran atau kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk mensimulasikan data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan peniliti untuk membuat pertanyaan dan menjawab pertanyaan-pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu yang sangat perlu dimiliki.

Menurut Nailor (1966) dalam rubinstein dan Melamed (1998). Simulasi merupakan teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, melibatkan ilmu matematik dan model tertentu yang mnenjelaskan prilaku bisnis atau ekonomi pada suatu periode waktu tertentu.

Menurut Borowski dan Borwein (1989) simulasi diartikan sebagai teknik untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, untuk

menduga seca karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengan menggunakan model yang diajukan.

Menurut Banks (1998). Simulasi merupakan tiruan dari proses dunia nyata atau system. Simulasi menyangkut pembakitan proses serta pengamatan dari proses untuk menarik kesimpulan dari system yang diwakili.

Sebagaimana yang telah diketahui, bahwa R merupakan bahasa pemrograman komputer yang dapat membangkitkan bilangan acak dengan banyak fungsi dan memiliki kemampuan dalam membuat grafik. Untuk setiap bilangan acak tersebut kita dapat melihat distribusinya dengan adanya histogram dan grafik yang dapat dibuat melalui program ini. Dalam hal ini akan dibahas mengenai peubah acak yang akan kita distribusikan dan kita teliti.

2.2 Distibusi Binomial

2.2.1 Defenisi Distribusi Binomial

Dalam teori probabilitas dan probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebutn = 1, distribusi binomial adalah Distribusi binomial merupakan dasar dari

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

Adapun percobaan Bernoulli adalah suatu percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut :

1. Eksperimen berlangsung sebanyak n kali. Tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama(dengan pengembalian)

2. Untuk setiap eksperimen hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Dua kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian SUKSES dan GAGAL. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q, dimana p+q=1.

3. Probabilitas sukses dari satu eksperimen yang lain adalah konstan.

Dari proses tersebut, yang merupakan variable adalah munculnya kejadian sukses yang biasa dilambangkan dengan x. Jadi, bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1- p, maka distribusi peluang peubah acak binomial x, yaitu banyaknya sukses dalam n percobaan bebas adalah :

�(�;�,�) =��

Dimana :

x = Munculnya sukses yang ingin dihitung n = Jumlah eksperimen

p = Probabilitas sukses dalam setiap eksperimen q = Probabilitas gagal dalam setiap eksperimen = 1- p n-x = Jumlah gagal dalam n eksperimen

2.3Distribusi Normal

2.3.1 Pengertian Distribusi Normal

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah paling banyak digunakan dalam berbagai analisis baku adalah distribusi normal yang memiliki Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada jumlah Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidan misalnya populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak

digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan

Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak X dengan rata-rata (µ) dan standar deviasi (�). Distribusi normal dapat ditulis dengan distribusi normal dapat ditulis dengan rumus :

�(�;�;�) = 1

√2��2�−12

[(�−�)/�]2

Dimana :

x = Nilai dari distribusi variable

� = Mean dari nilai-nilai distribusi variable

� = Standard deviasi dari nilai-nilai distribusi variable

� = 3,14159 e = 2,71828

Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah : 1. Kurva berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak ditengah.

2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya �. Apabila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah rata-rata sebagai pusat lipatan , maka kurva akan menjadi dua bagian yang sama.

3. Distribusi probabilitas dan kurva normal akan bersifat asimptotis. Kurva yang menurun di kedua arah yaitu ke kanan untuk nilai positif tak terhingga (∞) dan kekiri untik negatik tak hingga (∞). Dengan demikian ekor kedua kurva tidak pernah menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol.

4. Modusnya (Md) pada sumbu mendatar fungsi mencapai puncaknya atau maksimum pada X =�

5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1.

2.3.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Normal

Bila n percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independent dari suatu percobaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi normal-binomial dapat pula kita gunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap berbagai macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi.

Dengan demikian besarnya jumlah percobaan pada distribusi binomial maka perhitungan peluang dengan menggunakan distribusi binomial semakin kurang efektif, karena jumlah kombinasi peristiwa yang diharapkan sangatlah kurang banyak. Untuk menghindari kekurang efektifan dari distribusi binomial ini, maka distribusi tersebut dapat di dekati dengan distribusi normal. Secara umum dapat disimpulkan bahwa pendekatan distribusi binomial dapat dilakukan dengan distribusinormal karena secara teoritis bahwa distribusi binomial akan mendekati normal untuk n besar p moderate (tidak besar dan tidak kecil).

2.4 Distribusi Hipergeometrik

2.4.1 Defenisi Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Hipergeometrik adalah merupakan distribusi dimana pengembalian atau penarikan sampelnya tanpa adanya pengembalian. Penggunaan distribusi hipergeometrik ini terdapat pada berbagai bidang dan paling banyak pada penerimaan sampel atau suatu hasil produksi, pengujian barang-barang elektronik dan pengendalian mutu.

Bila pengujian dilakukan terhadap barang, maka secara umum barang cacat atau rusak. Oleh karena itu, barang tidak dapat dikembalikan pada populasinya. Inilah alasaan mengapa pengambilan sampelnya dilakukakan tanpa pengembalian. Kegiatan-kegiatan seperti ini disebut percobaan hipergeometrik. Agar lebih mudah lagi dapat dijelaskan sebagai berikut: Misalnya ada N benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dari N-k yang akan diberi nama gagal. Ingin diketahui probabilitas memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N-K yang tersedia, bila variable acak ukuran n diambil dari N benda. Dari uraian ini dapat kita ketahui bahwa percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat yaitu :

1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya n-k diberi nama gagal.

Jumlah sukses x dalam percobaan hipergeometrik disebut variable acak hipergeometrik x ialah jumlah sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda yang memuat k bernama sukses dan N-k bernama gagal. Maka distribusi hipergeometrik tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut:

ℎ(�;�,�) =� �

����−��−��

��_�� ������ = 0,1,2, … ,�

dimana x ≤k dan n – x≤ N - k

Keterangan :

N = Ukuran Populasi

k = Sifat tertentu dari populasi n = Ukuran sampel

x = Jumlah sifat k dalam n

2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik

Dalam kasus distribusi hipergeometrik kita dapa menggunakan pendekatan binomial pada permasalahannya apabila keadaan tersebut adalah sebagai berikut :

1. Bila besar sampelnya (n) ≥ 1

2. Sampelnya (n) relative kecil bila dibandingkan dengan jumlah populasinya (N), yaitu n < 0,05N. Bila n lebih kecil disbandingkan dengan N maka peluang tiap penarikan hanya berubah sedikit. Jadi distribusi hipergeometrik dapat di dekati

dengan distribusi binomial dengan p = �

� sehingga rata-rata dan varian dapat di

dekati seperti pada penjelasan berikut : a. Binomial

• Rata-rata (�) = np

• Varian (�2) = npq

• Simpangan baku (�) b. Hipergeometrik

• Rata-rata (�) = ��_�

• Varian (�2) =�� �(1−

� �)

• Simpangan baku (�) = ���

��1− � ��

Bila kedua ruas dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama antara binomial dan hipergeometrik sedangkan variannya berbeda sebesar factor koreksi �−�

�−1

Dalam kenyataannya, konsep pendekatan ini sangat berguna karena tiga hal. Pertama, kasus yang sering terjadi dalam dunia nyata adalah kasus Hipergeometrik, yaitu sampel tidak lagi dikembalikan. Kedua, Distribusi Hipergeometrik tidak mempunyai table, sehingga kita akan mengalami kesulitan karena terpaksa harus selalu menghitung dengan rumus hipergeometrik. Ketiga, kebanyakan sampel tidak terbatas sehingga kriteria n<0,05 N terpenuhi.

BAB III

IMPLEMENTASI SISTEM

3.1 Pengertian Implementasi Sistem

Implementasi system adalah tahapan penerapan hasil desain tertulis ke dalam “programming” dengan menggunakan perangkat lunak “software” sebagai implementasi ataupun prosedur untuk menyelesaikan desain system.

Adapun implementasi system yang digunakan untuk pemyelesaian permasalahan pada distribusi Binomial, Hipergeometrik dan Normal adalah dengan menggunakan “software” R. Diharapkan dengan menggunakan software ini kita dapat meningkatkan pengtahuan dan kemampuan kita dalam hal :

a. Pemahaman bentuk elemen dan lembar kerja software R. b. Mnganalisis data dengan menggunakan R.

c. Pembentukan grafik dengan menggunakan R. d. Pendayagunaan fasilitas software R.

3.2 Pengenalan Software R

R adalah suatu sumber informasi terbuka dalam lingkup pengembangan model komputasi statistika. Projek R sudah mulai dikembangkan oleh Robert Gentlemen dan Ross Ihaka dari Departemen Statistika di Universitas Aukland pada tahun 1995. Saat ini R ditangani oleh tim inti pengembanga R, yaitu suatu tim internasional yang bekerja keras dengan sukarela untuk mengembangkan “software” ini. Projek R memiliki web dengan alamasitus ini berisikan software yang menyertakan halaman-halaman dan sumber lainnya yang terdapat pada dokumen.

R merupakan suatu “software” yang terintegrasi yang memiliki fasilitas untuk manipulasi data, perhitungan dan penampilan grafik. Bahasa R kini menjadi standard

de facto diantara statistikawan untuk pengembangan perangkat lunak statistika dan analisis data.

Tulisan ini menjelaskan bagaimana menggunakan R ketika mempelajari statistika dasar. Tujuannya adalah menjadikan “software” ini berguna dalam mempelajari statistika dasar, sebagai alternatif alat bantu komputasi yang sering digunakan sebelumnya seperti Microsoft Excel, MINITAB, SPSS dan lain sebagainya, beberapa kelebihan dari R :

1. Sebagai “software” yang open source, R dapat di download secara gratis dan dapat dijalankan pada UNIX, Windows dan Macintosh

3. R memiliki kemampuan yang baik dalam membuat grafik yang menghasilkan grafik dengan kualitas publikasi yang dapat memuat symbol matematika

4. Bahasa R memiliki ketegasan. Syntaxnya mudah dipelajari dan banyak mengandung fungsi statistic yang built in (fungsi jadi)

5. R memiliki kemampuan yang baik untuk membangun system help

Selain memiliki kelebihan, R juga mempunya beberapa kekurangan dibanding software komputasi yang lain, diantaranya adalah :

1. Bahasa interuksinya adalah sebuah bahasa pemrograman sehingga pengguna harus mempelajari masalah apresiasi Syntax

2. R mmiliki tampilan grafik yang terbatas

3. Tidak ada dana pendukung (walaupun seseorang dapat mengatakan mailinglist internasional bahkan lebih baik daripada itu).

3.3 Memulai R

R paling mudah digunakan dengan cara interaktif. Untuk memulai baris perintah R maka dapat dilakukan hal sebagai berikut :

1. Klik menu Start, pilih Program R

Tampilan Jendela Windows

2. Klik item R, maka akan muncul tampilan seperti berikut :

Pada tampilan R console diatas ditampilkan keterangan tentang tahun pembuatan, versi R yang digunakan dan sekilas penjelasan dengan keberadaan software R. Pada akhir keterangan akan muncul tanda > dan tanda ini disebut dengan prompt. Tanda ini muncul dengan sendirinya dan berguna sebagai petunjuk dimana perintah R sudah dapat dituliskan.

3.4 Membangkitkan Data Acak Pada Percobaan Binomial dan Normal Tabel 3.4 Data Peubah Acak Distribusi Binomial dan Normal

Probabilitas

Sukses (p) 0,2 0,4 0,5 Probabilitas

Gagal (q) 0,8 0,6 0,5

Sampel (n) Kelompok 1 Kelompok 2 Kelompok 3

� � � � � �

5 1 0.89 2 1.10 2.5 1.12 10 2 1.26 4 1.55 5 1.58 15 3 1.55 6 1.90 7.5 1.94 20 4 1.79 8 2.19 10 2.24 25 5 2.00 10 2.44 12.5 2.50 30 6 2.19 12 2.68 15 2.74 35 7 2.37 14 2.90 17.5 2.96 40 8 2.53 16 3.10 20 3.16 45 9 2.68 18 3.29 22.5 3.35

Untuk memperlihatkan secara visual perubahan grafik pada distribusi binomial yang mempunyai parameter n dan p sedangkan distribusi normal mempunyai parameter ����� maka metode simulasi yang digunakan adalah sebagai berikut :

1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi binomial dengan n = 5, p = 0.2 dan misalkan data yang dibangkitkan adalah 100 data

Gambar 3.2 Pembangkitan Data Distribusi Binomial Dengan n = 5; p = 0.2

2. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi normal dengan � = 1, � = 0.89 dan misalkan data yang dibangkitkan adalah 100 data

Gambar 3.3 Pembangkitan Data Distribusi Normal Dengan � =�, �=�.��

4. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 5 sampai 45 dengan p = 0.2

Gambar 3.4 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai � berdasarkan kelompok 1 pada tabel

Gambar 3.6 Perintah data normal yang dibangkitkan

5. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 5 sampai 45 dengan p = 0.4

Gambar 3.8 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai ����� berdasarkan kelompok 2 pada tabel

Gambar 3.10 Perintah data normal yang dibangkitkan

6. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

a. Distribusi binomial dengan n = 5 sampai 45 dengan p = 0.5

Gambar 3.12 Perintah data binomial yang dibangkitkan

b. Distribusi normal dengan nilai � berdasarkan kelompok 3 pada tabel

Gambar 3.14 Perintah data normal yang dibangkitkan

3.5 Membangkitkan Data acak Pada Percobaan Hipergeometrik

Dalam memperlihatkan secara visualisasi perubahan grafik fungsi hipergeometrik yang mempunyai parameter-parameter n, N dan k dimana probabilitas (p) pada binomial sama untuk �

� pada hipergeometrik dan berubah-ubah sesuai dengan

parameter yang digunakan pada fungsi binomial diatas. Sehingga kita dapat membandingkan perubahan grafik binomial dengan hipergeometrik maka metode simulasi yang digunakan sebagai berikut :

1. Bangkitkan X yang mempunyai distribusi hipergeometrik dengan nilai p = 100

500 yaitu

0.2 dan distribusi hipergeometrik dengan N = 500, n = 5, k=100

2. Standarisasi data yang dibangkitakan

3. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 5 sampai 45, N = 500, k=100

Gambar 3.17 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

4. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 5 sampai 45, N = 500, k=200

Gambar 3.19 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

5. Gambar histogram dari data yang dibangkitkan

Distribusi hipergeometrik dengan n = 5 sampai 45, N = 500, k=250

Gambar 3.21 Perintah data hipergeometrik yang dibangkitkan

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Dalam grafik fungsi Geometri dengan n tetap dan p diperbesar juga menunjukkan perubahan grafik yang mengecil menuju kekanan.

2. Dalam grafik fungsi Geometri dengan n tetap dan p diperkecil menunjukkan perubahan grafik menuju kekanan dan membentuk grafik eksponensial.

3. Dalam grafik fungsi Geometri dengan p tetap dan n diperbesar , menunjukan perubahan grafik semakin kekanan dan membentuk grafik eksponensial.

4.2 Saran

Saran yang dapat diberikan penulis dengan menggunakan software R tidak hanya dapat mensimulasikan data acak dengan menggunakan suatu distribusi fungsi geometri saja namun dapat dilakukan dengan menggunakan distibusi-distribusi fungsi lainnya. Dan penggunaan software R dapat kita lihat visualisasi yang jelas dan terperinci.

DAFTAR PUSTAKA

Darnius, Open, 2009, Diktat Kuliah Pengantar Komputasi Statistika dengan R, USU, Medan.

Ginting, Masten, 2006, Pengantar Metose Dasar Menghitung Peluang, USU, Medan.

Kakiay, Thomas J, 2004, Pengantar Sistem Simulasi, Andi, Yogyakarta. Sudjana. 2002. Metoda Statistika, Bandung : PT. Tarsito Bandung.

Saleh, Samsubar, 1996, Statistik Induktif, UPP-AMP YKPN, Yogyakarta. Spiegel, Murray R, 1996, Statistika. Edisi ke-2 Penerbit Erlangga, Jakarta.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILM PENGETAHUA ALAM PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155 Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290

SURAT KETERANGAN

Hasil Uji Program Tugas Akhir

Yang bertanda tangan di bawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas Akhir Program Diploma III Statistka :

Nama : M NANDA SADZALI NIM : 092407054

Program Studi : Statistika

Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik dengan

Menggunakan Suatu Simulasi

Telah melaksanakan test program tugas akhir mahasiswa tersebut di atas pada tanggal ...

Dengan Hasil : Sukses / Gagal

Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Jurusan Matematika FMIPA USU Medan.

Medan, Juni 2012 Dosen Pembimbing

Drs.Open Darnius S, M.Sc NIP. 19641014 199103 1 004

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA

Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155 Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290

KARTU BIMBINGAN TUGAS AKHIR MAHASISWA

Nama : Harry Pratama

NIM : 092407053

Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik dengan Menggunakan Suatu Simulasi

Dosen Pembimbing : Drs. Open Darnius S, M.Sc Tanggal Mulai Bimbingan : ……….. Tanggal Selesai Bimbingan : ………..

No. Tanggal Asistensi Bimbingan Pembahasan Asistensi Mengenai, Pada BAB Paraf Dosen Pembimbing Keterangan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Kartu ini harap dikembalikan ke Departemen Matematika bila bimbingan mahasiswa telah selesai

Diketahui Disetujui

Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing Utama

Prof. Dr. Tulus, M. Si Drs. Open Darnius S, M.Sc NIP. 19620901 198803 1 002 NIP. 19641014 199103 1 004

55

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILM PENGETAHUA ALAM PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155

Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290

SURAT KETERANGAN Hasil Uji Program Tugas Akhir

Yang bertanda tangan di bawah ini menerangkan bahwa Mahasiswa Tugas Akhir Program Diploma III Statistka :

Nama : M NANDA SADZALI

NIM : 092407054

Program Studi : Statistika

Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik dengan

Menggunakan Suatu Simulasi

Telah melaksanakan test program tugas akhir mahasiswa tersebut di atas pada tanggal ...

Dengan Hasil : Sukses / Gagal

Demikian diterangkan untuk digunakan melengkapi syarat pendaftaran Ujian Meja Hijau Tugas Akhir Mahasiswa bersangkutan di Jurusan Matematika FMIPA USU Medan.

Medan, Juni 2012

Dosen Pembimbing

Drs.Open Darnius S, M.Sc

PROGRAM DIPLOMA 3 KOMPUTER DAN STATISTIKA Jl. Bioteknologi No.1 Kampus USU Padang Bulan Medan 20155

Telp. (061) 8211050 - 8214290, Fax. ( 061 ) 8214290

KARTU BIMBINGAN TUGAS AKHIR MAHASISWA

Nama : Harry Pratama

NIM : 092407053

Judul Tugas Akhir : Visualisasi Perbandingan Perubahan Grafik Fungsi Binomial dan Normal; Fungsi Binomial dan Hipergeometrik dengan Menggunakan Suatu Simulasi

Dosen Pembimbing : Drs. Open Darnius S, M.Sc Tanggal Mulai Bimbingan : ……….. Tanggal Selesai Bimbingan : ………..

No. Tanggal

Asistensi Bimbingan Pembahasan Asistensi Mengenai, Pada BAB Paraf Dosen Pembimbing Keterangan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Kartu ini harap dikembalikan ke Departemen Matematika bila bimbingan mahasiswa telah selesai

Diketahui Disetujui

Departemen Matematika FMIPA USU Pembimbing Utama

Prof. Dr. Tulus, M. Si Drs. Open Darnius S, M.Sc