dimana n = jumlah siklus x
= amplitudo awal x
n
= amplitudo setelah n siklus
Tabel 2.1. Macam-macam harga , ref 3, hal 10
Material
Peredam kejut pada automobil 0,1 - 1,5
Karet 0,04
Beton 0,02
Paku keling pada struktur baja 0,03
Kayu 0,003
Aluminium canai dingin 0,0002
Baja canai dingin 0,0006
Phosphor bronze 0,00007
2.5. GETARAN PAKSA TANPA REDAMAN YANG DIAKIBATKAN OLEH MASA TAK SEIMBANG
Walaupun banyak penerapan-penerapan yang berguna dari getaran bebas, namun ada lagi kelompok yang tidak kalah pentingnya dengan
masalah dari getaran bebas, yaitu kelompok getaran paksa yang ditimbulkan oleh gaya-gaya gangguan. Gaya dapat diterapkan dari luar atau ditimbulkan
dari sistem itu sendiri. Gaya gangguan yang timbul dari sistem itu sendiri dapat berupa massa tak seimbang yang berputar. Getaran paksa dapat juga
ditimbulkan oleh gerak dari sistem landasan pondasi. Sebenarnya kasus getaran paksa masih dibagi lagi menjadi dua, yaitu
getaran paksa dan getaran paksa mandiri. Pada getaran paksa dicirikan adanya gaya bolak-balik yang tidak bergantung dengan gerak getaran dan
masih tetap ada walaupun gerak vibrasinya dihentikan. Sedangkan pada getaran paksa mandiri gaya bolak-balik yang menahan gerak ditimbulkan
atau diatur oleh geraknya sendiri; jadi bila geraknya berhenti maka gaya bolak-balik akan hilang.
Pada bab ini hanya akan dibahas getaran paksa saja. Berbagai bentuk dari fungsi gaya F = F t dan perpindahan landasan xb = xb t dapat dilihat
pada gambar 2.6. Gaya harmonik seperti pada bagian a seringkali ditemui dalam praktek rekayasa, dan pemahaman dari analisis gaya harmonik ini
merupakan langkah awal dalam kaji getaran paksa dari bentuk-bentuk yang lebih rumit. Oleh sebab itu, perhatian hanya dipusatkan pada eksitasi
paksaan yang selaras harmonik.
Gambar 2.6, Bentuk gaya-gaya pengeksitasi.
Dalam sistem pada gambar 2.7a , dimana benda dibebam gaya luar yang harmonik F = F
Sin t, dimana F
merupakan aplitudo gaya dan
adalah frekuensi paksa dalam radiandetik. Sebaiknya dibedakan antara
n
, yang merupakan properti dari sistem, dan
, yang merupakan properti dari gaya yang diterapkan ke sistem. Harus diperhatikan juga bahwa gaya F =
F Cos
t, hal ini juga mirip dengan memasukkan Cos cot untuk Sin cot pada hasil yang hendak kita jabarkan ini. Dari diagram benda bebas pada gambar
2.7a, diterapkan hukum II Newton guna memperoleh persamaan gerak - kx - c
´ x
+ F Sin
t = m
´ x
2.8
Dalam bentuk baku, dengan mensubstitusikan variabel yang sama dari
sub bab 2.3, didapatkan bentuk persamaan gerak menjadi - ´x+2ξω
n
´ x +ω
n 2
x= F
o
m sin ωt
2.8
Gambar 2.7, Sistem massa pegas terkena gaya paksa
Kebanyakan kasus getaran seksitasi pada massa m bukan disebabkan oleh gaya pemaksa yang diterapkan secara langsung ke sistem melainkan
berupa gerakan dari landasan terhadap yang dihubungkan oleh pegas atau tumpuan elastis. Contoh dari penerapan tersebut adalah seismograph,
suspensi pada kendaraan, dan struktur-struktur yang digoncang oleh bumi. Gerakan harmonik dari landasan adalah ekivalen terhadap penerapan
langsung dari gaya harmomk. Hal im dapat dilihat pada gambar 2.7b dimana pegas dipasangkan pada landasan yang dapat bergerak. Dari diagram benda
bebas menunjukkan bahwa massa yang dipindahkan sejauh x dari posisi netral atau posisi keseimbangannya yang terjadi saat landasan dalam posisi
netralnya. Berikutnya, landasan dianggap mengalami gerak harmonik xb = b Sin rat. Mesti diperhatikan bahwa detleksi pegas merupakanm perbedaan
antara perpindahan inersial massa landasan. Dari diagram benda bebas hukum II Newton diperoleh
- k x-x
B
- c ´x = m ´x atau -
´ x+ξω
n
´ x+ω
n 2
x= k . b
m sin ωt
2.10 Secara langsung terlihat bahwa persamaan 2.10 adalah tepat sama
seperti pada persamaan 2.9, yang mana F
digantikan oleh kb. Konsekuensinya, semua hasil penjabaran dapat diterapkan terhadap persamaan 2.9 atau 2.10.
Pada kasus getaran paksa tanpa peredaman, maka konstanta peredaman c=0. persamaan gerak dasar dari persamaan 2.9 menjadi
- ´
x+ω
n 2
x= F
o
m sin ωt
2.11 Solusi lengkap dari persamaan 2.11 merupakan jumlah dari solusi
komplementer x
c:
yang merupakan solusi umum pada persamaan 2.11 dengan suku sebelah kanan sama dengan nol, dan solusi khusus x
p
, yang melengkapi persamaan yang ada.
Jadi x = x
o
+ x
p
. Solusi khusus dicari dengan menganggap bahwa tanggapan terhadap gaya sesuai bentuknya terhadap suku gaya. Sehingga, diasumsikan
bentuk solusi khusus adalah x
p
= X sin
t 2.12
dimana X merupakan besaran dalam satuan panjang dari solusi khusus. Substitusi pernyataan ini ke persamaan 2.11 dan pemecahan untuk X
menghasilkan
X = F
o
k 1−
ω ω
n 2
2.13
Solusi khusus menjadi
X
p
= F
o
k 1−
ω ω
n 2
Sin t
2.14
Solusi komplementer disebut solusi transien, dengan waktu solusi ini tidak menarik, karena hanya akan lenyap, dengan redaman yang kecil
tenggapannya akan meluruh, tetapi tidak pernah tereliminir secara sempuma. Solusi khusus x
p
menggambarkan gerak ajeg dan disebut solusi keadaan tunak. Periodenya adalah
= 2, sama seperti fungsi gaya. Hal utama yang menarik adalah amplitudo X dari gerak. Kalau kita misalkan
st
mewakili besarnya defleksi statis pada massa m akibat beban statik F
, maka
st
= F
o
k, dan dapat pula dituliskan bentuk perbandingan magnifikasinya;
M= X
δ
st
= 1
1− ω
2
ω
n 2
2.15 Pembanding M chsebut sebagai perbandingan amplitudo atau faktor
pembesaran magnifikasi dan merupakan sebuah ukuran dari kedahsyatan vibrasi. Perhatikan bahwa M mendekati tak berhingga saat
mendekati
n
. hal ini terjadi kalau sistem tidak memiliki redaman dan dieksitasi oleh gaya
harmonik yang frekuensi angularnya sebesar dan mendekati frekuensi
alamiah
n
dari sistem, maka M, dan tentunya X akan bertambah besar tanpa batas. Secara phisik, hal ini berarti bahwa amplitudo gerak akan mencapai
batas pengikat pegas dan merupakan keadaan yang harus dihindari. Harga
n
dikenal sebagai frekuensi resonansi atau frekuensi kritis sistem, dan keadaan dari
yang mendekati harga
n
dengan menghasilkan amplitudo perpindahan X yang besar disebut resonansi. Untuk
n
faktor magnifikasi M adalah positif, dan untuk
n
, faktor magnifikasi adalah negatif Pada gambar 2.8 menunjukkan kurva dari perbandingan magnifikasi
M tersebut.
Gambar2.8, perbandingan magnifikasi.
Dari gambar dapat kita lihat bahwa posisi X dari sistem getaran bernilai negatif pada saat sistem bergetar pada
u
1, dan terjadi perubahan posisi yang yang besar dari tak terhingga menjadi negatif tak terhingga, dalam hal
ini berarti terjadi perubahan beda fasa dan sebuah harga yang mendekati 0° menuju mendekati 180° dan pada saat frekuensi pribadi beda fasanya sebesar
90 . Rumus beda fasa cp ditunjukkan oleh
φ= 2ξ
ω ω
1− ω
2
ω
n 2
2.16
2.6. GETARAN BEBAS PADA BEAM
