Kajian metode pendugaan pada model regresi dengan peubah penjelas bersifat acak
KAJIAN METODE PENDUGAAN PADA MODEL REGRESI
DENGAN PEUBAH PENJELAS BERSIFAT ACAK
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Metode
Pendugaan pada Model Regresi dengan Peubah Penjelas Bersifat Acak adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari skripsi saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Mochammad Fachrouzi Iskandar
NIM G14090089
ABSTRAK
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR. Kajian Metode Pendugaan pada
Model Regresi dengan Peubah Penjelas Bersifat Acak. Dibimbing oleh ITASIA
DINA SULVIANTI dan INDAHWATI.
Analisis regresi merupakan metode statistika yang mengevaluasi hubungan
antara satu peubah dengan peubah lainnya. Analisis regresi model I
menggambarkan hubungan antara peubah X dan peubah Y hanya bersifat satu
arah dengan nilai X sebagai peubah penjelas bernilai tetap atau diukur tanpa galat.
Analisis regresi model I menggunakan metode pendugaan Metode Kuadrat
Terkecil (MKT) sebagai metode pendugaan parameternya. Analisis regresi model
II merupakan analisis model regresi dengan peubah penjelasnya peubah acak.
Terdapat dua metode pendugaan pada analisis regresi model II yaitu metode
ordinary least product regression (Model IIA) dan metode major axis regression
(Model IIB). Kemudahan dalam menggunakan analisis regresi model I dengan
metode pendugaan MKT menyebabkan banyak peneliti menggunakan model ini
sebagai model untuk analisis regresi dengan peubah penjelas yang acak. Tujuan
penelitian ini adalah untuk membandingkan analisis regresi model I (MKT)
dengan analisis regresi model II (metode ordinary least product dan metode
major axis regression). Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data
simulasi dengan peubah respon (Y) dan peubah penjelas (X) bersifat acak. Hasil
dari penelitian ini menunjukkan bahwa untuk peubah penjelas yang bersifat acak,
metode ordinary least product regression merupakan metode pendugaan yang
terbaik di antara kedua metode pendugaan lainnya karena menghasilkan nilai bias
dan nilai mean square error yang terkecil. Dalam kondisi ini, MKT masih baik
digunakan untuk menduga parameter model regresi linier sederhana jika nilai
korelasi antara peubah acak X dan Y tinggi (r ≥ 0.9).
Kata kunci: bias, korelasi, mean square error, Model I, Model IIA, Model IIB
ABSTRACT
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR. The Study on Estimation Method
of Regression Models with Predictors Variable is Random. Supervised by
ITASIA DINA SULVIANTI and INDAHWATI.
Regression analysis is a statistical method to evaluate the relationship
between a variable with other variables. Model I regression analysis describes the
one-way relationship between variable X and variable Y with the value of X as
fixed variable or measured without error. Model I regression analysis uses
Ordinary Least Square (OLS) as an estimation method. Model II regression
analysis is a regression model with predictors variable that becomes a random
variable. There are two estimation methods of model II regression analysis,
ordinary least product regression (Model IIA) and major axis regression (Model
IIB). The convenience of using model I regression analysis with OLS estimation
method causes many researchers to use this model as a model regression analysis
with random predictor variables. The purpose of this study is to compare model I
regression analysis (OLS estimation method) and model II regression analysis
(ordinary least product estimation method and major axis regression estimation
method). The data used in this research are simulation data where response
variable (Y) and predictor variable (X) are random. The result of this study
showed for predictor variable is random, ordinary least product regression is the
best estimation method compared to the other methods because it produces the
smallest value of bias and the smallest value of mean square error. In this
condition, OLS can be used for the estimate parameter of simple linier regression
model if the correlation value between predictor variable (X) and response
variable (Y) is high (r ≥ 0.9).
Keywords: bias, correlation, mean square error, Model I, Model IIA, Model IIB
KAJIAN METODE PENDUGAAN PADA MODEL REGRESI
DENGAN PEUBAH PENJELAS BERSIFAT ACAK
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi: Kajian Metode Pendugaan pada Model Regresi dengan Peubah
Penjelas Bersifat Acak
Nama
: Mochmma d Fachrouzi Iskandar
NM
: 014090089
Disetujui oleh
�
Dra ltasia Dina Sulvianti. MSi
Dr lr
Pembimbing I
hwati, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
{"
/
1/
I.
fia. MSi
tKetua Departemen
Dr AnangKu
Tanggal Lulus:
\;
J:
.2 2 OCT 2014
PRAKATA
Alhamdulillah, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah
SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini berhasil
diselesaikan. Skripsi ini berjudul Kajian Metode Pendugaan pada Model Regresi
dengan Peubah Penjelas Bersifat Acak. Skripsi ini merupakan salah satu syarat
mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam menyelesaikan skripsi ini, antara lain:
1. Ibu Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi dan Ibu Dr Ir Indahwati, MSi atas
bimbingan, arahan, dan kesabarannya selama penulis menyelesaikan skripsi
ini.
2. Bapak Dr Ir M Nur Aidi, MSi selaku penguji atas saran dan kritikannya
yang membangun.
3. Dosen pengajar Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor atas ilmu yang diberikan.
4. Ibu Markonah dan Tata Usaha Departemen Statistika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor atas bantuannya
dalam kelancaran administrasi.
5. Bapak, ibu, kakak, dan adik di rumah yang senantiasa memberikan
semangat.
6. Wenny Permata Sari dan teman-teman Departemen Statistika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor angkatan
46 yang telah membantu dan menyemangati penulis dalam pembuatan
skripsi ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini.
Oleh karena itu, penulis menerima saran dan kritikan yang membangun dari
berbagai pihak agar dapat meningkatkan pengetahuan penulis di masa yang akan
datang. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi penulis dan pembaca
pada umumnya.
Bogor, Oktober 2014
Mochammad Fachrouzi Iskandar
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
Ruang Lingkup Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Hubungan Linier Fungsional
2
Model Hubungan Linier Struktural
2
Metode Kuadrat Terkecil
3
Metode Ordinary Least Product Regression
4
Metode Major Axis Regression
5
Penduga Tak Bias
6
Mean Square Error
7
METODE
7
Data
7
Metode
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
8
Pembangkitan Data
8
Nilai Dugaan Parameter
9
Bias Penduga Parameter
11
Mean Square Error
12
SIMPULAN DAN SARAN
13
Simpulan
13
Saran
14
DAFTAR PUSTAKA
14
DAFTAR TABEL
1. Kombinasi pembangkitan data
2. Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂
sebanyak 10 kali
3. Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂
sebanyak 10 kali
4. Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
5. Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
7
10
11
11
12
DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.
5.
Pendugaan dengan metode Ordinary Least Product
Nilai ̂ 0 dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
Nilai ̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
MSE ̂ 0 dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
MSE ̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
4
9
10
12
13
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan metode statistika yang mengevaluasi hubungan
antara satu peubah dengan peubah lainnya. Analisis regresi merupakan teknik
statistika yang sangat berguna dibeberapa permasalahan. Analisis ini bertujuan
untuk melihat hubungan antara peubah penjelas (X) dengan peubah respon (Y).
Peubah penjelas merupakan peubah yang menentukan hasil pada peubah respon.
Quinn dan Keough (2002) menyatakan bahwa tujuan analisis regresi ada tiga,
yaitu mendeskripsikan hubungan linier antara peubah Y dan X, menjelaskan
seberapa besar peubah Y dapat dijelaskan oleh peubah X, dan memprediksi nilai
baru peubah Y dengan nilai baru peubah X.
Analisis regresi yang umum digunakan adalah analisis regresi model I
dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (MKT) sebagai metode penduga
parameternya. Pendugaan parameter menggunakan MKT mengasumsikan peubah
penjelas (X) bernilai tetap. Nilai peubah penjelas yang tetap mudah didapatkan
jika penelitian dilakukan di laboratorium namun sulit didapatkan jika penelitian
berada di lapangan. Penelitian di lapangan menghasilkan peubah penjelas yang
bernilai acak sehingga metode pendugaan MKT kurang tepat digunakan. Asumsi
yang terlanggar akan menyebabkan bias pada penduga sehingga akan terjadi
kesalahan pada prediksi nilai baru. Penyebab terjadinya sifat acak pada peubah
penjelas tidak hanya karena acaknya data pada lapangan, namun kesalahan pada
pengukuran juga mengakibatkan peubah penjelas menjadi peubah acak.
Permasalahan tersebut dapat diatasi dengan menggunakan analisis regresi model
II.
Ludbrook (1997) menyatakan analisis regresi model II dirancang untuk
kasus data peubah respon Y dan peubah penjelas X yang keduanya merupakan
peubah acak. Analisis ini meminimumkan penyimpangan nilai X dan nilai Y dari
garis regresinya. Terdapat dua macam metode pendugaan parameter dalam
analisis regresi model II yaitu metode ordinary least product regression (Model
IIA) dan metode major axis regression (Model IIB) (Ludbrook 2012). Minat para
peneliti untuk mendapatkan penduga parameter yang mendekati parameter
menjadi hal yang perlu dipertimbangkan dalam menggunakan analisis regresi
model II. Masih banyaknya para peneliti yang mengetahui bahwa data yang
dimiliki peubah penjelasnya (X) bersifat acak namun masih tetap menggunakan
analisis regresi model I disebabkan para peneliti tidak mengetahui dan kesulitan
dalam melakukan analisis regresi model II.
Dilain pihak, analisis regresi linier sederhana yang hubungannya linier,
keeratan hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas dapat dijelaskan
dengan koefisien korelasi Pearson. Nilai korelasi Pearson yang mendekati 1 akan
mengakibatkan model regresi mendekati model deterministik walaupun peubah
penjelas dan peubah responnya bersifat acak. Berdasarkan hal tersebut perlu dikaji
keakuratan MKT dalam menduga parameter regresi yang peubah penjelasnya acak.
Penelitian ini dilakukan melalui kajian simulasi dengan cara membangkitkan data
yang peubah respon dan peubah penjelasnya bersifat acak dengan nilai korelasi
dari 0.100 hingga 0.901.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini ialah membandingkan analisis regresi model I
yang metode pendugaannya menggunakan MKT dengan analisis regresi model II
yang metode pendugaannya menggunakan metode ordinary least product
regression dan metode major axis regression.
Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini dibatasi untuk koefisien korelasi antara peubah respon
dengan peubah penjelas yang bernilai positif dan hanya dibatasi untuk model
regresi linier sederhana, sehingga kesimpulan yang ada hanya mewakili data
dengan korelasi bernilai positif dan hanya memiliki satu peubah penjelas (X) dan
satu peubah respon (Y).
TINJAUAN PUSTAKA
Model Hubungan Linier Fungsional
Model hubungan linier fungsional menganggap bahwa peubah X dan Y
merupakan peubah acak dengan E[X] = , E[Y] = , dan mengasumsikan
hubungan fungsionalnya
Model untuk setiap (xi,yi), i = 1,...,n, yaitu
β
dengan nilai
tetap, serta
i
merupakan peubah yang tidak diketahui besarannya dan bernilai
saling bebas.
Model Hubungan Linier Struktural
Model hubungan linier struktural merupakan model yang menganggap
bahwa i merupakan contoh acak dari suatu populasi tertentu yang mempunyai
nilai harapan sama dengan dan ragam sama dengan , sehingga model yang
memenuhi model hubungan linier struktural dapat dituliskan sebagai berikut:
0
0
3
dengan
n
n
saling bebas dan
bebas terhadap .
Metode Kuadrat Terkecil
Metode Kuadrat Terkecil (MKT) dirancang untuk menghasilkan penduga
n 1 dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Persamaan
0
regresi linier sederhana dengan n pengamatan sebagai berikut:
β̂0 β̂
,
i = 1,2,3, ... , n
dengan β̂0 dan β̂ merupakan dugaan parameter regresi, yi merupakan nilai peubah
respon ketika peubah penjelas sama dengan xi, dan xi merupakan nilai peubah
penjelas. Persamaan tersebut digunakan untuk meminimumkan jumlah kuadrat
sisaannya dengan melakukan penurunan parsial seperti berikut:
n
∑n
β̂0 β̂
∑
∑
n
̂
∑
0
n
∑n
̂
∑
̂
0
̂
0
0
0
Setelah dilakukan penurunan pada persamaan tersebut, didapatkan persamaan
berikut:
n
n
n̂
0
n
̂ ∑
∑
n
̂ ∑
̂ ∑
0
n
∑
Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
̂
∑n
̂
0
∑n
̅ ̂ ̅
∑n
n
∑n
∑n
n
dengan nilai ̅ merupakan rata-rata dari yi dan ̅ merupakan rata-rata dari xi.
4
Metode Ordinary Least Product Regression
Prinsip dalam pendugaan parameter menggunakan metode ordinary least
product regression (OLP) ialah meminimumkan jumlah hasil kali simpangan x
dan simpangan y terhadap garis regresinya (minimize ∑
) (Ludbrook 2010).
Asumsi dalam pendugaan OLP hampir sama dengan pendugaan MKT, yang
berbeda hanya pada peubah penjelasnya bersifat acak. Selain itu, sebaran normal
ganda antara peubah respon dengan peubah penjelas juga harus terpenuhi
(Ludbrook 1997).
Gambar 1 Pendugaan dengan metode Ordinary Least Product
Metode ordinary least product regression menganggap bahwa X sebagai
peubah penjelas dan Y sebagai peubah respon dengan persamaan regresi
β̂ β̂ , dan dapat juga Y sebagai peubah penjelas serta X sebagai peubah
respon dengan persamaan regresi
β̂ β̂ . Dari kedua persamaan tersebut
didapatkan ̂ sebagai berikut :
[̂
̂
̂
]
̂
merupakan ̂ dari pendugaan MKT dengan Y sebagai peubah respon dan X
merupakan ̂ dari pendugaan MKT dengan X
sebagai peubah penjelas. ̂
sebagai peubah respon dan Y sebagai peubah penjelas.
̂
̂
̂
[̂
̂
̂
[
∑
∑
̂
∑
∑
̂ ∑
̂ ∑
̂
̂
̂
̂
̂
]
̂
]
5
∑
̂
̂
∑
∑(
̂
̂
dengan menggunakan rumus korelasi Pearson:
r=∑
̂)
̂
- ̂ ⁄ ∑( - ̂) ∑( - ̂)
-̂
maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
Selain dengan menggunakan
disederhanakan sebagai berikut:
β̂
∑
∑
β̂
∑
̂
β̂
̂
β̂
β̂
persamaan
̂
∑
̂⁄ ∑
̂
∑
∑
n
∑
∑
∑
korelasi
̂ ⁄∑
∑(
̂
̂
∑
∑
Pearson,
dapat
juga
̂
∑(
̂)
̂)
(∑ )
n
n
∑
∑
β̂
dengan Sy merupakan simpangan baku peubah respon Y dan Sx merupakan
simpangan baku peubah penjelas X.
Metode Major Axis Regression
Prinsip dari metode major axis regression yaitu meminimumkan jumlah
kuadrat pada jarak yang tegak lurus terhadap garis regresinya (Ludbrook 2010).
Syarat untuk menggunakan metode ini ialah garis kemiringan sama dengan 1,
ragam dari nilai peubah penjelas X dan ragam nilai peubah respon Y bernilai sama,
6
dan skala pengukuran nilai peubah penjelas X dan nilai peubah respon Y harus
sama.
Metode pendugaan major axis regression mengasumsikan nilai
,
tetap dan diketahui. Pendekatan melalui data merupakan cara lain untuk
mendapatkan nilai
t u m ng ngg p n l
. Pendugaan parameter
menggunakan metode major axis regression menggunakan metode kemungkinan
maksimum. Metode major axis regression mengasumsikan sebaran normal dari
model hubungan fungsional yaitu:
(
n
)
(
n
)
dengan peubah acak X dan peubah acak Y saling bebas. Fungsi kemungkinannya
adalah
.
n
n
(
p[ ∑
n
|
n
)
]
n
p[ ∑
(
)
]
Persamaan kemungkinan tersebut dihitung nilai maksimumnya sehingga
didapatkan ̂ dan ̂ 0 seperti berikut:
̂
dengan nilai adalah
(
.
) √(
̂
0
)
̅ ̂ ̅
Penduga Tak Bias
Salah satu ukuran untuk menentukan penduga yang terbaik ialah dengan
melihat nilai bias. Umumnya ̂ merupakan penduga tak bias jika nilai harapan ̂
sama dengan . Pernyataan tersebut sama dengan rata-rata sebaran peluang ̂ atau
rata-rata sebaran contoh ̂ sama dengan (Montgomery dan Runger 2003). ̂
merupakan penduga tak bias dari parameter jika:
(̂)
dengan demikian besarnya nilai bias dari penduga dapat dituliskan sebagai
berikut:
| (̂) |
7
Mean Square Error
Selain melihat penduga tak bias, Mean Square Error (MSE) merupakan
pertimbangan dalam mendapatkan penduga terbaik. Definisi MSE adalah sebagai
berikut:
(̂)
(̂)
(̂ )
[ ̂ ( ̂ )] [
(̂)
(̂)
( ̂ )]
Ini menunjukkan bahwa MSE pada ̂ merupakan ragam ̂ yang ditambah bias
kuadrat. Penduga yang baik memiliki nilai MSE yang minimum.
METODE
Data
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan hasil bangkitan
melalui simulasi menggunakan perangkat lunak Rstudio versi 0.98.507 dengan
menggunakan paket MASS, MethComp, dan mvnormtest. Pembangkitan data
dilakukan dengan menggunakan model hubungan linier struktural. Spesifikasi
data yang dibangkitkan dapat dilihat pada Tabel 1. Sebaran yang digunakan dalam
membangkitkan data adalah sebaran normal ganda. Pengulangan dilakukan
sebanyak 10000 kali pada setiap rentang korelasi.
Tabel 1 Kombinasi pembangkitan data
n
0
100
0.8
1
1.0
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
8
Metode
Penelitian ini melalui beberapa tahapan, yaitu simulasi, pemodelan, dan
pembandingan metode.
1. Simulasi pembangkitan data
1) M n ntuk n n l p r m t r 0 yaitu 0.8 n 1 yaitu 1.
2) Menentukan nilai ragam respon Y ( ) dan nilai ragam penjelas X ( ).
3) Menentukan nilai ragam Phsi ( ) dan nilai tengah Phsi ( ).
4) Membangkitkan contoh acak berukuran 100 untuk peubah X dan Y
dengan menggunakan sebaran normal ganda seperti berikut (Casella dan
Berger 2002).
[
5)
6)
7)
8)
]
Mengulangi langkah 1 hingga 4 sebanyak 10000 kali.
Memilih data yang memenuhi:
a) Rentang korelasi tertentu.
b) Sebaran normal ganda dengan menggunakan Shapiro Wilk
multivariate normality test.
Mengambil secara acak pasangan data yang terpilih sebanyak seperempat
dari data terpilih.
Mengulangi langkah 7 sebanyak sepuluh kali.
2. Pemodelan dan pembandingan metode
1) Menghitung nilai korelasi pada data yang terpilih di tiap rentang korelasi.
2)
l kuk n p n ug n p r m t r 0 n 1 pada tiap rentang korelasi
dengan menggunakan metode MKT, metode ordinary least product, dan
metode major axis regression.
3) Melakukan pengulangan pada langkah 1 hingga 2 sebanyak sepuluh kali.
4) Menghitung nilai bias β̂ dan β̂ untuk setiap metode pendugaan di setiap
rentang korelasi.
5) Menghitung nilai MSE β̂ dan β̂ untuk setiap metode pendugaan di
setiap rentang korelasi.
6) Melakukan pengulangan langkah 2 hingga 5 sebanyak sepuluh kali.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pembangkitan Data
Model hubungan linier struktural digunakan sebagai model awal dalam
membangkitkan data. Pemilihan model linier struktural disebabkan kemudahan
untuk mengubah nilai korelasi antara peubah penjelas (X) dan peubah respon (Y).
Kemudahan tersebut disebabkan oleh model linier struktural yang berupa sebaran
normal ganda (Casella dan Berger 2002).
9
Tujuan dilakukannya simulasi karena kemudahan untuk membandingkan
ketiga metode tersebut. Simulasi juga memudahkan data yang didapatkan sudah
menyebar normal ganda serta mendapatkan data yang sesuai dengan korelasi yang
diinginkan. Korelasi yang berbeda-beda digunakan untuk melihat kebaikan
metode pendugaan pada rentang korelasi tertentu.
Awal pembangkitan yakni m n ntuk n n l
n 1 yang akan
0
̂
̂
dibandingkan dengan dengan nilai β dan nilai β dari masing-masing metode
pendugaan. l
r 0.8 n 1 sebesar 1. Kemudian membangkitkan nilai
0
ragam respon Y ( ) dan ragam penjelas X ( ) serta nilai ragam Phsi ( ) dan
nilai tengah Phsi ( ). Penentuan nilai ragam respon Y, ragam penjelas X, nilai
ragam Phsi, dan nilai tengah Phsi tidak dapat sembarang nilai karena ada kriteria
korelasi pada masing-masing bangkitan. Pembangkitan nilai n sebanyak 100 yang
diulang sebanyak 10000 kali untuk masing-masing peubah penjelas (X) dan
peubah respon (Y) yang menyebar normal ganda. Banyaknya 10000 pasangan
peubah penjelas (X) dan peubah respon (Y) dilanjutkan dengan pengujian korelasi
dan pengujian sebaran normal ganda. Pengujian korelasi menggunakan korelasi
Pearson dan pengujian sebaran normal ganda menggunakan uji Shapiro Wilk
multivariate normality test dengan taraf nyata sebesar 5%.
Nilai Dugaan Parameter
Setelah memperoleh data simulasi yang telah memenuhi syarat korelasi dan
uji normalitas ganda maka dilanjutkan dengan melakukan pendugaan dengan
ketiga metode pendugaan yaitu Model I dengan menggunakan metode pendugaan
MKT, Model IIA dengan menggunakan metode pendugaan ordinary least product
regression, dan Model IIB dengan metode pendugaan major axis regression.
Pendugaan yang hanya dilakukan sekali tidak cukup memberikan informasi
bahwa hasil dugaan mendekati parameter, maka dilakukan pengulangan. Hasil
dari pengulangan tersebut dicari nilai rataan dan simpangan bakunya. Gambar 2
menunjukkan contoh nilai β̂ dari setiap metode pendugaan. Hasil menunjukkan
4.000
3.500
Nilai Dugaan
3.000
2.500
2.000
Model I
1.500
Model IIA
1.000
Model IIB
0.500
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 2 Nilai β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
10
dengan menggunakan Model I, nilai β̂ mendekati parameter 0 seiring dengan
korelasi yang semakin mendekati 1. Nilai β̂ dari Model IIA dan Model IIB
menunjukkan hasil yang mendekati parameter 0 di setiap rentang korelasi.
Pengulangan nilai β̂ dilakukan untuk melihat keberagaman nilai dugaan
yang disajikan pada Tabel 2. Model I dan Model IIA menunjukkan nilai β̂ yang
tidak beragam di setiap rentang korelasi. Model IIB merupakan metode
pendugaan yang menghasilkan dugaan yang keberagamannya tinggi pada rentang
korelasi 0.100 – 0.101 dan 0.200 – 0.201 karena simpangan bakunya yang besar.
Ini menunjukkan bahwa metode pendugaan dengan menggunakan Model IIB
tidak baik pada rentang korelasi tersebut.
Tabel 2 Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂ sebanyak
10 kali
Rentang Korelasi
Model I
Model IIA
Model IIB
0.100 - 0.101
3.494±0.037
0.885±0.102
0.889±1.016
0.200 - 0.201
3.204±0.028
0.527±0.118
0.220±0.687
0.300 - 0.301
2.879±0.048
0.721±0.075
0.586±0.304
0.400 - 0.401
2.568±0.034
1.019±0.089
0.551±0.224
0.500 - 0.501
2.307±0.048
0.767±0.079
0.696±0.161
0.600 - 0.601
2.027±0.042
0.838±0.062
0.832±0.093
0.700 - 0.701
1.706±0.071
0.808±0.080
0.825±0.124
0.800 - 0.801
1.380±0.051
0.950±0.025
0.775±0.059
0.900 - 0.901
1.081±0.029
0.629±0.018
0.783±0.032
Proses simulasi juga digunakan untuk pendugaan nilai β̂ . Proses simulasi
yang dilakukan tidak jauh berbeda dengan proses pendugaan paramater 0.
Gambar 3 menunjukkan contoh nilai β̂ dari setiap metode pendugaan. Model I
menunjukkan bahwa nilai β̂ semakin mendekati parameternya dengan semakin
tingginya rentang korelasinya. Hasil dari Model IIA dan Model IIB tidak saling
1.200
Nilai Dugaan
1.000
0.800
0.600
Model I
Model IIA
0.400
Model IIB
0.200
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 3 Nilai β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
11
berbeda, kedua metode pendugaan mampu mendekati parameter pada setiap
rentang korelasi. Tabel 3 menyajikan keberagaman nilai β̂ melalui rata-rata dan
simpangan baku. Ketiga metode pendugaan menunjukkan hasil yang tidak
beragam pada setiap rentang korelasi karena simpangan baku yang kecil.
Tabel 3 Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂ sebanyak
10 kali
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
Model I
0.097±0.003
0.204±0.008
0.303±0.008
0.411±0.012
0.507±0.014
0.599±0.011
0.697±0.019
0.808±0.008
0.903±0.006
Model IIA
0.961±0.034
1.019±0.041
1.009±0.026
1.026±0.031
1.013±0.029
0.998±0.019
0.995±0.028
1.009±0.009
1.002±0.007
Model IIB
0.953±0.325
1.206±0.237
1.069±0.093
1.083±0.080
1.033±0.056
1.001±0.031
0.995±0.039
1.012±0.012
1.003±0.007
Bias Penduga Parameter
Tanda negatif pada nilai bias mengindikasikan bahwa nilai dugaan berbias
ke bawah, sedangkan nilai positif pada nilai bias mengindikasikan nilai dugaan
berbias ke atas. Nilai bias yang dihasilkan dari masing-masing metode pendugaan
disajikan pada Tabel 4. Model I menghasilkan nilai β̂ cenderung berbias ke atas
di setiap rentang korelasi. Model I menghasilkan nilai bias mutlak yang paling
tinggi dibandingkan Model IIA dan Model IIB di setiap rentang korelasi. Nilai
bias mutlak pada Model I semakin mendekati 0 dengan rentang korelasi
mendekati 1. Model IIA dan Model IIB menghasilkan nilai bias mutlak yang kecil
di setiap rentang korelasi.
Tabel 4 Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
Model I
2.704
2.415
2.064
1.741
1.472
1.193
0.944
0.690
0.295
Model IIA
0.196
-0.184
-0.135
0.237
-0.025
-0.028
-0.011
0.209
-0.170
Model IIB
0.546
-0.108
-0.327
-0.239
-0.098
-0.053
0.065
0.101
0.002
12
Tabel 5 menyajikan nilai bias dari β̂ dengan menggunakan masing-masing
metode pendugaan. Model I menghasilkan nilai β̂ yang cenderung berbias ke
bawah di setiap rentang korelasi. Nilai bias mutlak pada Model I merupakan nilai
bias mutlak yang paling tinggi dibandingkan Model IIA dan Model IIB di setiap
rentang korelasi. Nilai bias mutlak pada Model I semakin mendekati 0 dengan
rentang korelasi mendekati 1. Model I mengalami penurunan nilai bias mutlak
yang paling tinggi terjadi pada rentang korelasi 0.900 – 0.901. Model IIA dan
Model IIB menghasilkan nilai bias mutlak yang kecil di setiap rentang korelasi.
Tabel 5 Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
Model I
-0.907
-0.802
-0.691
-0.592
-0.494
-0.389
-0.298
-0.210
-0.097
Model IIA
-0.076
-0.012
0.028
0.020
0.010
0.018
0.002
-0.014
0.002
Model IIB
-0.202
0.030
0.121
0.066
0.027
0.033
0.004
-0.017
0.003
Mean Square Error
Mean Square Error (MSE) mempertimbangkan keragaman nilai dugaan
dari beberapa metode pendugaan. Metode pendugaan yang mendapatkan nilai
MSE terkecil atau mendekati 0 maka metode pendugaan tersebut dapat dikatakan
baik. Gambar 4 menunjukkan nilai MSE dari nilai β̂ dengan menggunakan
metode pendugaan Model I, Model IIA, dan Model IIB. Model I mengalami
penurunan nilai MSE dengan rentang korelasi yang mendekati 1 dan nilai MSE
yang paling kecil dengan rentang korelasi 0.900 – 0.901. Model IIA dapat
14.000
12.000
MSE
10.000
8.000
6.000
Model I
4.000
Model IIA
Model IIB
2.000
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 4 MSE β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
13
dikatakan metode pendugaan yang paling baik karena di setiap rentang korelasi,
nilai MSE nya sangat rendah. MSE yang dihasilkan dari Model IIB menunjukkan
yang paling besar di rentang korelasi 0.100 – 0.101 dan mengalami penurunan
nilai MSE dengan rentang korelasi yang mendekati 1.
Gambar 5 menunjukkan nilai MSE untuk β̂ dari ketiga metode pendugaan.
Hal yang sama terlihat dengan Gambar 4. Model I menunjukkan nilai MSE yang
semakin kecil dengan rentang korelasi yang mendekati 1 dan nilai MSE yang
paling terkecil pada rentang korelasi 0.900 – 0.901. Model IIA menunjukkan nilai
MSE yang kecil di setiap rentang korelasinya. Model IIB mengalami penurunan
nilai MSE seiring dengan bertambahnya rentang korelasi dan nilai MSE paling
tinggi pada rentang korelasi 0.100 – 0.101.
1.400
1.200
MSE
1.000
0.800
Model I
0.600
Model IIA
0.400
Model IIB
0.200
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 5 MSE β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Analisis regresi model II dengan menggunakan metode pendugaan ordinary
least product merupakan metode pendugaan yang terbaik dibandingkan dengan
kedua metode pendugaan lainnya yaitu MKT dan major axis regression dengan
peubah penjelas yang bersifat acak. Analisis regresi model I dengan metode
pendugaan MKT masih baik digunakan untuk menduga model regresi linier
sederhana yang peubah penjelasnya acak jika antara peubah penjelas dan peubah
respon memiliki hubungan yang linier dengan nilai korelasi tinggi (r ≥ 0.9).
14
Saran
Kondisi simulasi yang dicobakan dalam penelitian ini hanya
mempertimbangkan besaran nilai korelasi yang positif antara peubah respon dan
peubah penjelas. Agar mendapatkan kesimpulan yang lebih luas, pada penelitian
selanjutnya dapat dipertimbangkan beberapa kondisi simulasi, misalnya
perbedaan ukuran contoh n l p r m t r ≠ 1, atau besaran nilai korelasi yang
negatif.
DAFTAR PUSTAKA
Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. 2nd Ed. New York(US):
Duxbury.
Ludbrook J. 1997. Comparing Methods of Measurement. Clinic Experiment
Pharmacol Physiol [Internet]. [diunduh pada 2013 mei 22]; 24:193-203.
Tersedia pada: http://www.molecularlab.it/.
Ludbrook J. 2010. Linear Regression Analysis for Comparing Two Measurers or
Methods of Measurement: But Which Regression?. Clinic Experiment
Pharmacol Physiol [Internet]. [diunduh pada 2013 mei 22]; 37:692-699.
doi:10.1111/j.1440-1681.2010.05376.x.
Tersedia
pada:
http://content.ebscohost.com/.
Ludbrook J. 2012. A Primer for Biomedical Scientist on How to Execute Model II
Linear Regression Analysis. Clinic Experimen Pharmacol Physiol [Internet].
[diunduh pada 2013 mei 20]; 39:329-335. doi:10.1111/j.14401681.2011.05643.x. Tersedia pada: http://content.ebscohost.com/.
Montgomery DC, Runger GC. 2003. Applied Statistics and Probability for
Engineers. 3rd ed. New York (US): John Wiley & Sons.
Quinn GP, Keough MJ. 2002. Experimental Design and Data Analysis for
Biologists. New York (US): Cambridge University Pr.
15
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Mei 1991 sebagai anak kedua
dari empat bersaudara dari pasangan Bapak Sofyan dan Ibu Barkah. Tahun 2006
penulis lulus dari Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Pamulang. Tahun 2009
penulis lulus dari Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Ciputat dan pada tahun yang
sama penulis diterima di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Talenta Masuk
(UTM) IPB.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai pengurus pada
beberapa organisasi yaitu himpunan mahasiswa pertanian satu ciputat IPB
(HISPAN1C), anggota Departemen Human and Resource 2011, dan Statistics
Center. Penulis juga aktif dalam kepanitiaan seperti Statistika Ria 2011, Pesta
Sains 2012, dan Welcome Ceremony of Statistics (WCS) 2011. Penulis
melaksanakan praktik lapang di Balai Penelitian Tanaman Rempah dan Obat
bagian Hama dan Proteksi Tanaman pada bulan Februari – April 2013.
DENGAN PEUBAH PENJELAS BERSIFAT ACAK
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Kajian Metode
Pendugaan pada Model Regresi dengan Peubah Penjelas Bersifat Acak adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari skripsi saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Mochammad Fachrouzi Iskandar
NIM G14090089
ABSTRAK
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR. Kajian Metode Pendugaan pada
Model Regresi dengan Peubah Penjelas Bersifat Acak. Dibimbing oleh ITASIA
DINA SULVIANTI dan INDAHWATI.
Analisis regresi merupakan metode statistika yang mengevaluasi hubungan
antara satu peubah dengan peubah lainnya. Analisis regresi model I
menggambarkan hubungan antara peubah X dan peubah Y hanya bersifat satu
arah dengan nilai X sebagai peubah penjelas bernilai tetap atau diukur tanpa galat.
Analisis regresi model I menggunakan metode pendugaan Metode Kuadrat
Terkecil (MKT) sebagai metode pendugaan parameternya. Analisis regresi model
II merupakan analisis model regresi dengan peubah penjelasnya peubah acak.
Terdapat dua metode pendugaan pada analisis regresi model II yaitu metode
ordinary least product regression (Model IIA) dan metode major axis regression
(Model IIB). Kemudahan dalam menggunakan analisis regresi model I dengan
metode pendugaan MKT menyebabkan banyak peneliti menggunakan model ini
sebagai model untuk analisis regresi dengan peubah penjelas yang acak. Tujuan
penelitian ini adalah untuk membandingkan analisis regresi model I (MKT)
dengan analisis regresi model II (metode ordinary least product dan metode
major axis regression). Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data
simulasi dengan peubah respon (Y) dan peubah penjelas (X) bersifat acak. Hasil
dari penelitian ini menunjukkan bahwa untuk peubah penjelas yang bersifat acak,
metode ordinary least product regression merupakan metode pendugaan yang
terbaik di antara kedua metode pendugaan lainnya karena menghasilkan nilai bias
dan nilai mean square error yang terkecil. Dalam kondisi ini, MKT masih baik
digunakan untuk menduga parameter model regresi linier sederhana jika nilai
korelasi antara peubah acak X dan Y tinggi (r ≥ 0.9).
Kata kunci: bias, korelasi, mean square error, Model I, Model IIA, Model IIB
ABSTRACT
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR. The Study on Estimation Method
of Regression Models with Predictors Variable is Random. Supervised by
ITASIA DINA SULVIANTI and INDAHWATI.
Regression analysis is a statistical method to evaluate the relationship
between a variable with other variables. Model I regression analysis describes the
one-way relationship between variable X and variable Y with the value of X as
fixed variable or measured without error. Model I regression analysis uses
Ordinary Least Square (OLS) as an estimation method. Model II regression
analysis is a regression model with predictors variable that becomes a random
variable. There are two estimation methods of model II regression analysis,
ordinary least product regression (Model IIA) and major axis regression (Model
IIB). The convenience of using model I regression analysis with OLS estimation
method causes many researchers to use this model as a model regression analysis
with random predictor variables. The purpose of this study is to compare model I
regression analysis (OLS estimation method) and model II regression analysis
(ordinary least product estimation method and major axis regression estimation
method). The data used in this research are simulation data where response
variable (Y) and predictor variable (X) are random. The result of this study
showed for predictor variable is random, ordinary least product regression is the
best estimation method compared to the other methods because it produces the
smallest value of bias and the smallest value of mean square error. In this
condition, OLS can be used for the estimate parameter of simple linier regression
model if the correlation value between predictor variable (X) and response
variable (Y) is high (r ≥ 0.9).
Keywords: bias, correlation, mean square error, Model I, Model IIA, Model IIB
KAJIAN METODE PENDUGAAN PADA MODEL REGRESI
DENGAN PEUBAH PENJELAS BERSIFAT ACAK
MOCHAMMAD FACHROUZI ISKANDAR
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi: Kajian Metode Pendugaan pada Model Regresi dengan Peubah
Penjelas Bersifat Acak
Nama
: Mochmma d Fachrouzi Iskandar
NM
: 014090089
Disetujui oleh
�
Dra ltasia Dina Sulvianti. MSi
Dr lr
Pembimbing I
hwati, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
{"
/
1/
I.
fia. MSi
tKetua Departemen
Dr AnangKu
Tanggal Lulus:
\;
J:
.2 2 OCT 2014
PRAKATA
Alhamdulillah, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah
SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini berhasil
diselesaikan. Skripsi ini berjudul Kajian Metode Pendugaan pada Model Regresi
dengan Peubah Penjelas Bersifat Acak. Skripsi ini merupakan salah satu syarat
mendapatkan gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah
membantu dalam menyelesaikan skripsi ini, antara lain:
1. Ibu Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi dan Ibu Dr Ir Indahwati, MSi atas
bimbingan, arahan, dan kesabarannya selama penulis menyelesaikan skripsi
ini.
2. Bapak Dr Ir M Nur Aidi, MSi selaku penguji atas saran dan kritikannya
yang membangun.
3. Dosen pengajar Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor atas ilmu yang diberikan.
4. Ibu Markonah dan Tata Usaha Departemen Statistika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor atas bantuannya
dalam kelancaran administrasi.
5. Bapak, ibu, kakak, dan adik di rumah yang senantiasa memberikan
semangat.
6. Wenny Permata Sari dan teman-teman Departemen Statistika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor angkatan
46 yang telah membantu dan menyemangati penulis dalam pembuatan
skripsi ini.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini.
Oleh karena itu, penulis menerima saran dan kritikan yang membangun dari
berbagai pihak agar dapat meningkatkan pengetahuan penulis di masa yang akan
datang. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi penulis dan pembaca
pada umumnya.
Bogor, Oktober 2014
Mochammad Fachrouzi Iskandar
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
Ruang Lingkup Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Hubungan Linier Fungsional
2
Model Hubungan Linier Struktural
2
Metode Kuadrat Terkecil
3
Metode Ordinary Least Product Regression
4
Metode Major Axis Regression
5
Penduga Tak Bias
6
Mean Square Error
7
METODE
7
Data
7
Metode
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
8
Pembangkitan Data
8
Nilai Dugaan Parameter
9
Bias Penduga Parameter
11
Mean Square Error
12
SIMPULAN DAN SARAN
13
Simpulan
13
Saran
14
DAFTAR PUSTAKA
14
DAFTAR TABEL
1. Kombinasi pembangkitan data
2. Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂
sebanyak 10 kali
3. Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂
sebanyak 10 kali
4. Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
5. Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
7
10
11
11
12
DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.
5.
Pendugaan dengan metode Ordinary Least Product
Nilai ̂ 0 dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
Nilai ̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
MSE ̂ 0 dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
MSE ̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
4
9
10
12
13
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Analisis regresi merupakan metode statistika yang mengevaluasi hubungan
antara satu peubah dengan peubah lainnya. Analisis regresi merupakan teknik
statistika yang sangat berguna dibeberapa permasalahan. Analisis ini bertujuan
untuk melihat hubungan antara peubah penjelas (X) dengan peubah respon (Y).
Peubah penjelas merupakan peubah yang menentukan hasil pada peubah respon.
Quinn dan Keough (2002) menyatakan bahwa tujuan analisis regresi ada tiga,
yaitu mendeskripsikan hubungan linier antara peubah Y dan X, menjelaskan
seberapa besar peubah Y dapat dijelaskan oleh peubah X, dan memprediksi nilai
baru peubah Y dengan nilai baru peubah X.
Analisis regresi yang umum digunakan adalah analisis regresi model I
dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (MKT) sebagai metode penduga
parameternya. Pendugaan parameter menggunakan MKT mengasumsikan peubah
penjelas (X) bernilai tetap. Nilai peubah penjelas yang tetap mudah didapatkan
jika penelitian dilakukan di laboratorium namun sulit didapatkan jika penelitian
berada di lapangan. Penelitian di lapangan menghasilkan peubah penjelas yang
bernilai acak sehingga metode pendugaan MKT kurang tepat digunakan. Asumsi
yang terlanggar akan menyebabkan bias pada penduga sehingga akan terjadi
kesalahan pada prediksi nilai baru. Penyebab terjadinya sifat acak pada peubah
penjelas tidak hanya karena acaknya data pada lapangan, namun kesalahan pada
pengukuran juga mengakibatkan peubah penjelas menjadi peubah acak.
Permasalahan tersebut dapat diatasi dengan menggunakan analisis regresi model
II.
Ludbrook (1997) menyatakan analisis regresi model II dirancang untuk
kasus data peubah respon Y dan peubah penjelas X yang keduanya merupakan
peubah acak. Analisis ini meminimumkan penyimpangan nilai X dan nilai Y dari
garis regresinya. Terdapat dua macam metode pendugaan parameter dalam
analisis regresi model II yaitu metode ordinary least product regression (Model
IIA) dan metode major axis regression (Model IIB) (Ludbrook 2012). Minat para
peneliti untuk mendapatkan penduga parameter yang mendekati parameter
menjadi hal yang perlu dipertimbangkan dalam menggunakan analisis regresi
model II. Masih banyaknya para peneliti yang mengetahui bahwa data yang
dimiliki peubah penjelasnya (X) bersifat acak namun masih tetap menggunakan
analisis regresi model I disebabkan para peneliti tidak mengetahui dan kesulitan
dalam melakukan analisis regresi model II.
Dilain pihak, analisis regresi linier sederhana yang hubungannya linier,
keeratan hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas dapat dijelaskan
dengan koefisien korelasi Pearson. Nilai korelasi Pearson yang mendekati 1 akan
mengakibatkan model regresi mendekati model deterministik walaupun peubah
penjelas dan peubah responnya bersifat acak. Berdasarkan hal tersebut perlu dikaji
keakuratan MKT dalam menduga parameter regresi yang peubah penjelasnya acak.
Penelitian ini dilakukan melalui kajian simulasi dengan cara membangkitkan data
yang peubah respon dan peubah penjelasnya bersifat acak dengan nilai korelasi
dari 0.100 hingga 0.901.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini ialah membandingkan analisis regresi model I
yang metode pendugaannya menggunakan MKT dengan analisis regresi model II
yang metode pendugaannya menggunakan metode ordinary least product
regression dan metode major axis regression.
Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini dibatasi untuk koefisien korelasi antara peubah respon
dengan peubah penjelas yang bernilai positif dan hanya dibatasi untuk model
regresi linier sederhana, sehingga kesimpulan yang ada hanya mewakili data
dengan korelasi bernilai positif dan hanya memiliki satu peubah penjelas (X) dan
satu peubah respon (Y).
TINJAUAN PUSTAKA
Model Hubungan Linier Fungsional
Model hubungan linier fungsional menganggap bahwa peubah X dan Y
merupakan peubah acak dengan E[X] = , E[Y] = , dan mengasumsikan
hubungan fungsionalnya
Model untuk setiap (xi,yi), i = 1,...,n, yaitu
β
dengan nilai
tetap, serta
i
merupakan peubah yang tidak diketahui besarannya dan bernilai
saling bebas.
Model Hubungan Linier Struktural
Model hubungan linier struktural merupakan model yang menganggap
bahwa i merupakan contoh acak dari suatu populasi tertentu yang mempunyai
nilai harapan sama dengan dan ragam sama dengan , sehingga model yang
memenuhi model hubungan linier struktural dapat dituliskan sebagai berikut:
0
0
3
dengan
n
n
saling bebas dan
bebas terhadap .
Metode Kuadrat Terkecil
Metode Kuadrat Terkecil (MKT) dirancang untuk menghasilkan penduga
n 1 dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galatnya. Persamaan
0
regresi linier sederhana dengan n pengamatan sebagai berikut:
β̂0 β̂
,
i = 1,2,3, ... , n
dengan β̂0 dan β̂ merupakan dugaan parameter regresi, yi merupakan nilai peubah
respon ketika peubah penjelas sama dengan xi, dan xi merupakan nilai peubah
penjelas. Persamaan tersebut digunakan untuk meminimumkan jumlah kuadrat
sisaannya dengan melakukan penurunan parsial seperti berikut:
n
∑n
β̂0 β̂
∑
∑
n
̂
∑
0
n
∑n
̂
∑
̂
0
̂
0
0
0
Setelah dilakukan penurunan pada persamaan tersebut, didapatkan persamaan
berikut:
n
n
n̂
0
n
̂ ∑
∑
n
̂ ∑
̂ ∑
0
n
∑
Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
̂
∑n
̂
0
∑n
̅ ̂ ̅
∑n
n
∑n
∑n
n
dengan nilai ̅ merupakan rata-rata dari yi dan ̅ merupakan rata-rata dari xi.
4
Metode Ordinary Least Product Regression
Prinsip dalam pendugaan parameter menggunakan metode ordinary least
product regression (OLP) ialah meminimumkan jumlah hasil kali simpangan x
dan simpangan y terhadap garis regresinya (minimize ∑
) (Ludbrook 2010).
Asumsi dalam pendugaan OLP hampir sama dengan pendugaan MKT, yang
berbeda hanya pada peubah penjelasnya bersifat acak. Selain itu, sebaran normal
ganda antara peubah respon dengan peubah penjelas juga harus terpenuhi
(Ludbrook 1997).
Gambar 1 Pendugaan dengan metode Ordinary Least Product
Metode ordinary least product regression menganggap bahwa X sebagai
peubah penjelas dan Y sebagai peubah respon dengan persamaan regresi
β̂ β̂ , dan dapat juga Y sebagai peubah penjelas serta X sebagai peubah
respon dengan persamaan regresi
β̂ β̂ . Dari kedua persamaan tersebut
didapatkan ̂ sebagai berikut :
[̂
̂
̂
]
̂
merupakan ̂ dari pendugaan MKT dengan Y sebagai peubah respon dan X
merupakan ̂ dari pendugaan MKT dengan X
sebagai peubah penjelas. ̂
sebagai peubah respon dan Y sebagai peubah penjelas.
̂
̂
̂
[̂
̂
̂
[
∑
∑
̂
∑
∑
̂ ∑
̂ ∑
̂
̂
̂
̂
̂
]
̂
]
5
∑
̂
̂
∑
∑(
̂
̂
dengan menggunakan rumus korelasi Pearson:
r=∑
̂)
̂
- ̂ ⁄ ∑( - ̂) ∑( - ̂)
-̂
maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
Selain dengan menggunakan
disederhanakan sebagai berikut:
β̂
∑
∑
β̂
∑
̂
β̂
̂
β̂
β̂
persamaan
̂
∑
̂⁄ ∑
̂
∑
∑
n
∑
∑
∑
korelasi
̂ ⁄∑
∑(
̂
̂
∑
∑
Pearson,
dapat
juga
̂
∑(
̂)
̂)
(∑ )
n
n
∑
∑
β̂
dengan Sy merupakan simpangan baku peubah respon Y dan Sx merupakan
simpangan baku peubah penjelas X.
Metode Major Axis Regression
Prinsip dari metode major axis regression yaitu meminimumkan jumlah
kuadrat pada jarak yang tegak lurus terhadap garis regresinya (Ludbrook 2010).
Syarat untuk menggunakan metode ini ialah garis kemiringan sama dengan 1,
ragam dari nilai peubah penjelas X dan ragam nilai peubah respon Y bernilai sama,
6
dan skala pengukuran nilai peubah penjelas X dan nilai peubah respon Y harus
sama.
Metode pendugaan major axis regression mengasumsikan nilai
,
tetap dan diketahui. Pendekatan melalui data merupakan cara lain untuk
mendapatkan nilai
t u m ng ngg p n l
. Pendugaan parameter
menggunakan metode major axis regression menggunakan metode kemungkinan
maksimum. Metode major axis regression mengasumsikan sebaran normal dari
model hubungan fungsional yaitu:
(
n
)
(
n
)
dengan peubah acak X dan peubah acak Y saling bebas. Fungsi kemungkinannya
adalah
.
n
n
(
p[ ∑
n
|
n
)
]
n
p[ ∑
(
)
]
Persamaan kemungkinan tersebut dihitung nilai maksimumnya sehingga
didapatkan ̂ dan ̂ 0 seperti berikut:
̂
dengan nilai adalah
(
.
) √(
̂
0
)
̅ ̂ ̅
Penduga Tak Bias
Salah satu ukuran untuk menentukan penduga yang terbaik ialah dengan
melihat nilai bias. Umumnya ̂ merupakan penduga tak bias jika nilai harapan ̂
sama dengan . Pernyataan tersebut sama dengan rata-rata sebaran peluang ̂ atau
rata-rata sebaran contoh ̂ sama dengan (Montgomery dan Runger 2003). ̂
merupakan penduga tak bias dari parameter jika:
(̂)
dengan demikian besarnya nilai bias dari penduga dapat dituliskan sebagai
berikut:
| (̂) |
7
Mean Square Error
Selain melihat penduga tak bias, Mean Square Error (MSE) merupakan
pertimbangan dalam mendapatkan penduga terbaik. Definisi MSE adalah sebagai
berikut:
(̂)
(̂)
(̂ )
[ ̂ ( ̂ )] [
(̂)
(̂)
( ̂ )]
Ini menunjukkan bahwa MSE pada ̂ merupakan ragam ̂ yang ditambah bias
kuadrat. Penduga yang baik memiliki nilai MSE yang minimum.
METODE
Data
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan hasil bangkitan
melalui simulasi menggunakan perangkat lunak Rstudio versi 0.98.507 dengan
menggunakan paket MASS, MethComp, dan mvnormtest. Pembangkitan data
dilakukan dengan menggunakan model hubungan linier struktural. Spesifikasi
data yang dibangkitkan dapat dilihat pada Tabel 1. Sebaran yang digunakan dalam
membangkitkan data adalah sebaran normal ganda. Pengulangan dilakukan
sebanyak 10000 kali pada setiap rentang korelasi.
Tabel 1 Kombinasi pembangkitan data
n
0
100
0.8
1
1.0
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
8
Metode
Penelitian ini melalui beberapa tahapan, yaitu simulasi, pemodelan, dan
pembandingan metode.
1. Simulasi pembangkitan data
1) M n ntuk n n l p r m t r 0 yaitu 0.8 n 1 yaitu 1.
2) Menentukan nilai ragam respon Y ( ) dan nilai ragam penjelas X ( ).
3) Menentukan nilai ragam Phsi ( ) dan nilai tengah Phsi ( ).
4) Membangkitkan contoh acak berukuran 100 untuk peubah X dan Y
dengan menggunakan sebaran normal ganda seperti berikut (Casella dan
Berger 2002).
[
5)
6)
7)
8)
]
Mengulangi langkah 1 hingga 4 sebanyak 10000 kali.
Memilih data yang memenuhi:
a) Rentang korelasi tertentu.
b) Sebaran normal ganda dengan menggunakan Shapiro Wilk
multivariate normality test.
Mengambil secara acak pasangan data yang terpilih sebanyak seperempat
dari data terpilih.
Mengulangi langkah 7 sebanyak sepuluh kali.
2. Pemodelan dan pembandingan metode
1) Menghitung nilai korelasi pada data yang terpilih di tiap rentang korelasi.
2)
l kuk n p n ug n p r m t r 0 n 1 pada tiap rentang korelasi
dengan menggunakan metode MKT, metode ordinary least product, dan
metode major axis regression.
3) Melakukan pengulangan pada langkah 1 hingga 2 sebanyak sepuluh kali.
4) Menghitung nilai bias β̂ dan β̂ untuk setiap metode pendugaan di setiap
rentang korelasi.
5) Menghitung nilai MSE β̂ dan β̂ untuk setiap metode pendugaan di
setiap rentang korelasi.
6) Melakukan pengulangan langkah 2 hingga 5 sebanyak sepuluh kali.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pembangkitan Data
Model hubungan linier struktural digunakan sebagai model awal dalam
membangkitkan data. Pemilihan model linier struktural disebabkan kemudahan
untuk mengubah nilai korelasi antara peubah penjelas (X) dan peubah respon (Y).
Kemudahan tersebut disebabkan oleh model linier struktural yang berupa sebaran
normal ganda (Casella dan Berger 2002).
9
Tujuan dilakukannya simulasi karena kemudahan untuk membandingkan
ketiga metode tersebut. Simulasi juga memudahkan data yang didapatkan sudah
menyebar normal ganda serta mendapatkan data yang sesuai dengan korelasi yang
diinginkan. Korelasi yang berbeda-beda digunakan untuk melihat kebaikan
metode pendugaan pada rentang korelasi tertentu.
Awal pembangkitan yakni m n ntuk n n l
n 1 yang akan
0
̂
̂
dibandingkan dengan dengan nilai β dan nilai β dari masing-masing metode
pendugaan. l
r 0.8 n 1 sebesar 1. Kemudian membangkitkan nilai
0
ragam respon Y ( ) dan ragam penjelas X ( ) serta nilai ragam Phsi ( ) dan
nilai tengah Phsi ( ). Penentuan nilai ragam respon Y, ragam penjelas X, nilai
ragam Phsi, dan nilai tengah Phsi tidak dapat sembarang nilai karena ada kriteria
korelasi pada masing-masing bangkitan. Pembangkitan nilai n sebanyak 100 yang
diulang sebanyak 10000 kali untuk masing-masing peubah penjelas (X) dan
peubah respon (Y) yang menyebar normal ganda. Banyaknya 10000 pasangan
peubah penjelas (X) dan peubah respon (Y) dilanjutkan dengan pengujian korelasi
dan pengujian sebaran normal ganda. Pengujian korelasi menggunakan korelasi
Pearson dan pengujian sebaran normal ganda menggunakan uji Shapiro Wilk
multivariate normality test dengan taraf nyata sebesar 5%.
Nilai Dugaan Parameter
Setelah memperoleh data simulasi yang telah memenuhi syarat korelasi dan
uji normalitas ganda maka dilanjutkan dengan melakukan pendugaan dengan
ketiga metode pendugaan yaitu Model I dengan menggunakan metode pendugaan
MKT, Model IIA dengan menggunakan metode pendugaan ordinary least product
regression, dan Model IIB dengan metode pendugaan major axis regression.
Pendugaan yang hanya dilakukan sekali tidak cukup memberikan informasi
bahwa hasil dugaan mendekati parameter, maka dilakukan pengulangan. Hasil
dari pengulangan tersebut dicari nilai rataan dan simpangan bakunya. Gambar 2
menunjukkan contoh nilai β̂ dari setiap metode pendugaan. Hasil menunjukkan
4.000
3.500
Nilai Dugaan
3.000
2.500
2.000
Model I
1.500
Model IIA
1.000
Model IIB
0.500
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 2 Nilai β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
10
dengan menggunakan Model I, nilai β̂ mendekati parameter 0 seiring dengan
korelasi yang semakin mendekati 1. Nilai β̂ dari Model IIA dan Model IIB
menunjukkan hasil yang mendekati parameter 0 di setiap rentang korelasi.
Pengulangan nilai β̂ dilakukan untuk melihat keberagaman nilai dugaan
yang disajikan pada Tabel 2. Model I dan Model IIA menunjukkan nilai β̂ yang
tidak beragam di setiap rentang korelasi. Model IIB merupakan metode
pendugaan yang menghasilkan dugaan yang keberagamannya tinggi pada rentang
korelasi 0.100 – 0.101 dan 0.200 – 0.201 karena simpangan bakunya yang besar.
Ini menunjukkan bahwa metode pendugaan dengan menggunakan Model IIB
tidak baik pada rentang korelasi tersebut.
Tabel 2 Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂ sebanyak
10 kali
Rentang Korelasi
Model I
Model IIA
Model IIB
0.100 - 0.101
3.494±0.037
0.885±0.102
0.889±1.016
0.200 - 0.201
3.204±0.028
0.527±0.118
0.220±0.687
0.300 - 0.301
2.879±0.048
0.721±0.075
0.586±0.304
0.400 - 0.401
2.568±0.034
1.019±0.089
0.551±0.224
0.500 - 0.501
2.307±0.048
0.767±0.079
0.696±0.161
0.600 - 0.601
2.027±0.042
0.838±0.062
0.832±0.093
0.700 - 0.701
1.706±0.071
0.808±0.080
0.825±0.124
0.800 - 0.801
1.380±0.051
0.950±0.025
0.775±0.059
0.900 - 0.901
1.081±0.029
0.629±0.018
0.783±0.032
Proses simulasi juga digunakan untuk pendugaan nilai β̂ . Proses simulasi
yang dilakukan tidak jauh berbeda dengan proses pendugaan paramater 0.
Gambar 3 menunjukkan contoh nilai β̂ dari setiap metode pendugaan. Model I
menunjukkan bahwa nilai β̂ semakin mendekati parameternya dengan semakin
tingginya rentang korelasinya. Hasil dari Model IIA dan Model IIB tidak saling
1.200
Nilai Dugaan
1.000
0.800
0.600
Model I
Model IIA
0.400
Model IIB
0.200
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 3 Nilai β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
11
berbeda, kedua metode pendugaan mampu mendekati parameter pada setiap
rentang korelasi. Tabel 3 menyajikan keberagaman nilai β̂ melalui rata-rata dan
simpangan baku. Ketiga metode pendugaan menunjukkan hasil yang tidak
beragam pada setiap rentang korelasi karena simpangan baku yang kecil.
Tabel 3 Hasil rata-rata dan simpangan baku dari pengulangan nilai β̂ sebanyak
10 kali
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
Model I
0.097±0.003
0.204±0.008
0.303±0.008
0.411±0.012
0.507±0.014
0.599±0.011
0.697±0.019
0.808±0.008
0.903±0.006
Model IIA
0.961±0.034
1.019±0.041
1.009±0.026
1.026±0.031
1.013±0.029
0.998±0.019
0.995±0.028
1.009±0.009
1.002±0.007
Model IIB
0.953±0.325
1.206±0.237
1.069±0.093
1.083±0.080
1.033±0.056
1.001±0.031
0.995±0.039
1.012±0.012
1.003±0.007
Bias Penduga Parameter
Tanda negatif pada nilai bias mengindikasikan bahwa nilai dugaan berbias
ke bawah, sedangkan nilai positif pada nilai bias mengindikasikan nilai dugaan
berbias ke atas. Nilai bias yang dihasilkan dari masing-masing metode pendugaan
disajikan pada Tabel 4. Model I menghasilkan nilai β̂ cenderung berbias ke atas
di setiap rentang korelasi. Model I menghasilkan nilai bias mutlak yang paling
tinggi dibandingkan Model IIA dan Model IIB di setiap rentang korelasi. Nilai
bias mutlak pada Model I semakin mendekati 0 dengan rentang korelasi
mendekati 1. Model IIA dan Model IIB menghasilkan nilai bias mutlak yang kecil
di setiap rentang korelasi.
Tabel 4 Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
Model I
2.704
2.415
2.064
1.741
1.472
1.193
0.944
0.690
0.295
Model IIA
0.196
-0.184
-0.135
0.237
-0.025
-0.028
-0.011
0.209
-0.170
Model IIB
0.546
-0.108
-0.327
-0.239
-0.098
-0.053
0.065
0.101
0.002
12
Tabel 5 menyajikan nilai bias dari β̂ dengan menggunakan masing-masing
metode pendugaan. Model I menghasilkan nilai β̂ yang cenderung berbias ke
bawah di setiap rentang korelasi. Nilai bias mutlak pada Model I merupakan nilai
bias mutlak yang paling tinggi dibandingkan Model IIA dan Model IIB di setiap
rentang korelasi. Nilai bias mutlak pada Model I semakin mendekati 0 dengan
rentang korelasi mendekati 1. Model I mengalami penurunan nilai bias mutlak
yang paling tinggi terjadi pada rentang korelasi 0.900 – 0.901. Model IIA dan
Model IIB menghasilkan nilai bias mutlak yang kecil di setiap rentang korelasi.
Tabel 5 Rataan bias β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
Rentang Korelasi
0.100 - 0.101
0.200 - 0.201
0.300 - 0.301
0.400 - 0.401
0.500 - 0.501
0.600 - 0.601
0.700 - 0.701
0.800 - 0.801
0.900 - 0.901
Model I
-0.907
-0.802
-0.691
-0.592
-0.494
-0.389
-0.298
-0.210
-0.097
Model IIA
-0.076
-0.012
0.028
0.020
0.010
0.018
0.002
-0.014
0.002
Model IIB
-0.202
0.030
0.121
0.066
0.027
0.033
0.004
-0.017
0.003
Mean Square Error
Mean Square Error (MSE) mempertimbangkan keragaman nilai dugaan
dari beberapa metode pendugaan. Metode pendugaan yang mendapatkan nilai
MSE terkecil atau mendekati 0 maka metode pendugaan tersebut dapat dikatakan
baik. Gambar 4 menunjukkan nilai MSE dari nilai β̂ dengan menggunakan
metode pendugaan Model I, Model IIA, dan Model IIB. Model I mengalami
penurunan nilai MSE dengan rentang korelasi yang mendekati 1 dan nilai MSE
yang paling kecil dengan rentang korelasi 0.900 – 0.901. Model IIA dapat
14.000
12.000
MSE
10.000
8.000
6.000
Model I
4.000
Model IIA
Model IIB
2.000
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 4 MSE β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
13
dikatakan metode pendugaan yang paling baik karena di setiap rentang korelasi,
nilai MSE nya sangat rendah. MSE yang dihasilkan dari Model IIB menunjukkan
yang paling besar di rentang korelasi 0.100 – 0.101 dan mengalami penurunan
nilai MSE dengan rentang korelasi yang mendekati 1.
Gambar 5 menunjukkan nilai MSE untuk β̂ dari ketiga metode pendugaan.
Hal yang sama terlihat dengan Gambar 4. Model I menunjukkan nilai MSE yang
semakin kecil dengan rentang korelasi yang mendekati 1 dan nilai MSE yang
paling terkecil pada rentang korelasi 0.900 – 0.901. Model IIA menunjukkan nilai
MSE yang kecil di setiap rentang korelasinya. Model IIB mengalami penurunan
nilai MSE seiring dengan bertambahnya rentang korelasi dan nilai MSE paling
tinggi pada rentang korelasi 0.100 – 0.101.
1.400
1.200
MSE
1.000
0.800
Model I
0.600
Model IIA
0.400
Model IIB
0.200
0.000
0.100 - 0.200 - 0.300 - 0.400 - 0.500 - 0.600 - 0.700 - 0.800 - 0.900 0.101 0.201 0.301 0.401 0.501 0.601 0.701 0.801 0.901
Rentang Korelasi
Gambar 5 MSE β̂ dari Model I, Model IIA, dan Model IIB
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Analisis regresi model II dengan menggunakan metode pendugaan ordinary
least product merupakan metode pendugaan yang terbaik dibandingkan dengan
kedua metode pendugaan lainnya yaitu MKT dan major axis regression dengan
peubah penjelas yang bersifat acak. Analisis regresi model I dengan metode
pendugaan MKT masih baik digunakan untuk menduga model regresi linier
sederhana yang peubah penjelasnya acak jika antara peubah penjelas dan peubah
respon memiliki hubungan yang linier dengan nilai korelasi tinggi (r ≥ 0.9).
14
Saran
Kondisi simulasi yang dicobakan dalam penelitian ini hanya
mempertimbangkan besaran nilai korelasi yang positif antara peubah respon dan
peubah penjelas. Agar mendapatkan kesimpulan yang lebih luas, pada penelitian
selanjutnya dapat dipertimbangkan beberapa kondisi simulasi, misalnya
perbedaan ukuran contoh n l p r m t r ≠ 1, atau besaran nilai korelasi yang
negatif.
DAFTAR PUSTAKA
Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. 2nd Ed. New York(US):
Duxbury.
Ludbrook J. 1997. Comparing Methods of Measurement. Clinic Experiment
Pharmacol Physiol [Internet]. [diunduh pada 2013 mei 22]; 24:193-203.
Tersedia pada: http://www.molecularlab.it/.
Ludbrook J. 2010. Linear Regression Analysis for Comparing Two Measurers or
Methods of Measurement: But Which Regression?. Clinic Experiment
Pharmacol Physiol [Internet]. [diunduh pada 2013 mei 22]; 37:692-699.
doi:10.1111/j.1440-1681.2010.05376.x.
Tersedia
pada:
http://content.ebscohost.com/.
Ludbrook J. 2012. A Primer for Biomedical Scientist on How to Execute Model II
Linear Regression Analysis. Clinic Experimen Pharmacol Physiol [Internet].
[diunduh pada 2013 mei 20]; 39:329-335. doi:10.1111/j.14401681.2011.05643.x. Tersedia pada: http://content.ebscohost.com/.
Montgomery DC, Runger GC. 2003. Applied Statistics and Probability for
Engineers. 3rd ed. New York (US): John Wiley & Sons.
Quinn GP, Keough MJ. 2002. Experimental Design and Data Analysis for
Biologists. New York (US): Cambridge University Pr.
15
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Mei 1991 sebagai anak kedua
dari empat bersaudara dari pasangan Bapak Sofyan dan Ibu Barkah. Tahun 2006
penulis lulus dari Sekolah Menengah Pertama Negeri 2 Pamulang. Tahun 2009
penulis lulus dari Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Ciputat dan pada tahun yang
sama penulis diterima di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Talenta Masuk
(UTM) IPB.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai pengurus pada
beberapa organisasi yaitu himpunan mahasiswa pertanian satu ciputat IPB
(HISPAN1C), anggota Departemen Human and Resource 2011, dan Statistics
Center. Penulis juga aktif dalam kepanitiaan seperti Statistika Ria 2011, Pesta
Sains 2012, dan Welcome Ceremony of Statistics (WCS) 2011. Penulis
melaksanakan praktik lapang di Balai Penelitian Tanaman Rempah dan Obat
bagian Hama dan Proteksi Tanaman pada bulan Februari – April 2013.