Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
101
Matematika
y – y
1
= mx – x
1
⇔ y – y
1
= mx – mx
1
⇔ y = mx – mx
1
+ y
1
2. Dari langkah 1 substitusikan nilai y = mx – mx
1
+ y
1
ke dalam persamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x, kemudian tentukan nilai
diskriminannya, dari persamaan kuadrat tersebut. 3. Karena garis singgung itu merupakan garis lurus dan menyinggung lingkaran
akibatnya nilai diskriminan nol, Setelah itu carilah nilai m. Selanjutnya nilai m tersebut substitusikan ke persamaan y = mx – mx
1
+ y
1
sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung tersebut.
Contoh 9.13
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari- jari 5 yang melalui titik 7, 1.
Alternatif Penyelesaian:
Titik 7, 1 berada di luar lingkaran x
2
+ y
2
= 25 sebab jika titik 7, 1 disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh 72 + 12 = 50 25
Persamaan lingkaran dengan pusat P0, 0 dan berjari-jari 5 adalah x
2
+ y
2
= 25 Garis yang melalui titik 7, 1 dengan gradient m, memiliki persamaan
y = mx – mx
1
+ y
1
⇒ y = mx –7m + 1 Substitusikan nilai y = mx –7m + 1 ke persamaan lingkaran x
2
+ y
2
= 25 diperoleh x
2
+ mx – 7m + 1
2
= 25 ⇔ x
2
+ m
2
x
2
– 49m
2
+ 1 – 14m
2
x + 2m – 14m = 25 ⇔ 1 + m
2
x
2
+ 2m – 14m
2
x + –49m
2
– 14m – 24 = 0
102
Kelas XI SMAMASMKMAK
Selanjutnya ditentukan nilai diskriminan D = b
2
– 4ac D = 2m – 14 m
2 2
– 41 + m
2
49m
2
– 14m – 24 = 4m
2
– 56m
3
+ 196m
4
– 449m
2
– 14m – 24 + 49m
4
– 14m
3
– 24m
2
= 4m
2
– 56mm
3
+ 1196m
4
– 196m
2
+ 56m + 96 – 196m
4
+ 56m
3
+ 96m
2
= 4m
2
+ 96m
2
– 196m
2
+ 56m + 96 = –96m
2
+ 56m + 96 Syarat D = 0
–96m
2
+ 56m + 96 = 0 ⇔ 96m
2
– 56m – 96 = 0 ⇔ 12m
2
– 7m – 12 = 0 ⇔ 4m + 33m – 4 = 0
⇔ m = − 3
4 atau m
= 4
3 Sehingga diperoleh persamaan garis singgung
3x – 4y – 25 = 0 atau 4x – 3y – 25 = 0
Latihan 9.8
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 yang melalui titik 0, 2.
Uji Kompetensi 9.2
1. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= 25. 2. Berapakah nilai r jika r positif dan x + y = r menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= r? 3. Tentukanlah gradien garis singgung jika kedua garis lurus yang ditarik dari titik
0, 0 dan menyinggung sebuah lingkaran dengan persamaan x
2
+ y
2
– 6x + 2y + 5 = 0
4. Tentukanlah persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 0 dan membagi lingkaran x
2
+ y
2
+ 4x + 3 = 0 menjadi dua bagian yang sama 5. Tentukanlah persamaan garis singgung pada lingkaran x
2
+ y
2
– 4x + 6y – 12 = 0 melalui titik 6, –6
103
Matematika
6. Jika lingkaran x
2
+ y
2
– 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu x, tentukanlah nilai a
7. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di 3, 4 dan menyinggung sumbu x kemudian tentukan persamaan lingkaran hasil pencerminan lingkaran
terhadap gaaris y = – x 8. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= 4 bergradien 1 9. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 yang melalui titik –3, –4
10. Tentukanlah nilai q jika diberikan garis x + y = q, menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= 8 di titik A pada kuadran pertama 11. Tentukanlah nilai k, jika titik –5, k terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
+ 2x – 5y – 12 = 0 12. Tentukanlah nilai C agar garis y = x + C menyinggung lingkaran x
2
+ y
2
= 25 13. Tentukanlah persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x
2
+ y
2
– 2x – 4y + 2 = 0 tegak lurus garis 2x – y + 3 = 0
104
Kelas XI SMAMASMKMAK