Untuk x= 0,1,2,…M-1 dan y=0,1,2,…N-1. Jadi dengan Fu,v bisa mendapatkan fx,y kembali dengan merata-rata invers DFT. Nilai Fu,v dalam formula ini kadang
disebut sebagai Fourier Koefficients dari ekspansi[3]. Pada gambar 2.9a diperlihatkan citra grayscale kemudian pada gambar 2.9b diperlihatkan spektrum
transformasi fouriernya yang dipusatkan di tengah.
Gambar 2.9 a Citra Grayscale bHasil Transformasi Fourier
Sumber : Nilai transformasi pada origin domain frekuensi [F0,0] disebut dengan
komponen dc transformasi Fourier. Jika fx,y adalah real, transformasinya secara umum kompleks. Metode prinsip analisis secara visual sebuah transformasi adalah
menghitung spektrum dan menampilkannya sebagai citra. Jika Ru,v dan Iu,v merepresentasikan real dan komponen imaginary Fu,v, spektrum Fourier
didefinisikan sebagai: commons.wikimedia.org
��, � = ��
2
�, � + �
2
�, � ..................................................... 2.3
2.3.2 DFT Terpusat
Perhitungan DFT 2-D sekarang mentransformasikan titik-titik ke dalam interval persegi panjang seperti ditunjukkan pada gambar 2.10. Persegi panjang dengan garis
putus-putus adalah pengulangan periodik. Daerah dengan garis utuh menunjukkan nilai Fu,v yang sekarang meliputi empat back-to-back perempatan periode yang
bertemu pada titik yang ditunjukkan pada gambar 2.10a. Analisis visual spektrum hanya dengan memindahkan nilai origin transformasi ke pusat dari persegi panjang
frekuensi.
Universitas Sumatera Utara
Nilai spektrum di M2, N2 dalam gambar 2.10b adalah sama dengan nilai di 0, 0 dalam gambar 2.10a dan nilai di 0, 0 dalam gambar 2.10b sama dengan
nilai di -M2, -N2 dalam gambar 2.10a. Dengan cara yang sama, nilai di M-1, N- 1 dalam gambar 2.10b adalah sama dengan nilai di M2-1, N2-1 dalam gambar
2.10a. Proses ini dinamakan dengan proses shifting[8].
Gambar 2.10 Spektrum Fourier 2D, a kiri, b kanan
Sumber : Prasetyo, Eko. 2011 Berdasarkan penjelasan di atas dapat diambil kesimpulan untuk mendapatkan DFT
terpusat dapat dihitung dengan menggunakan formula 2.4: ��
′
, �
′
≡ � �� −
� 2
, � −
� 2
�.................................................... 2.4 cara lain untuk menghitung DFT terpusat adalah dengan mengasumsikan bahwa DFT
Fu,v dari fx,y telah diperoleh dengan menggunakan formula DFT, kemudian menukarkan kuadran pertama dari Fu,v dengan kuadran ketiga dan menukarkan
kuadran kedua dengan kuadran keempat seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.11. Cara ini lebih efektif dari pada menggunakan formula sebelumnya karena menghemat
proses komputasi yang dilakukan.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.11 Proses pemusatan DFT dapat dilakukan dengan menukarkan kuadran 1 dengan 3, dan 2 dengan 4
Sumber: Solomon,Chris. 2011
2.3.3 Konsep Filter dalam Domain Frekuensi
Penapisan filtering pada sebuah citra digital dapat dilakukan baik dalam kawasan domainspasial ruang dan frekuensi. Mirip dengan isyarat 1 dimensi 1-D,
penapisan dilakukan baikdalam kawasan waktu maupun frekuensi dengan operasi konvolusi merupakanlandasandasarnya. Hal tersebut dimungkinkan karena adanya
hubungan dua arah padatransformasi Fourier, yakni: ��, � ∗ ℎℎ, � ⟺ ��, ���, � ........................................................... 2.5
dan sebaliknya :
��, �ℎℎ, � ⟺ ��, � ∗ ��, � ............................................................ 2.6 yang artinya, konvolusi dalam kawasan waktu menjadi perkalian biasa dalam kawasan
frekuensi dan sebaliknya perkalian biasa dalam kawasan waktu menjadi konvolusi dalam kawasan frekuensi.
Sebuah citra digital bisa mengandung frekuensisehingga kita bisa mengoperasikan penapisan dalam kawasan frekuensi. Singkatnya frekuensi dalam citra mengandung
arti: 1. Frekuensi tinggi menjelaskan tentang nilai intensitas piksel bertetangga yang
berubahdengan cepat di dalam citra contohnya OCR yang isinya teks, teksture dan lainnya.
Universitas Sumatera Utara
2. Frekuensi rendah terkait dengan perubahan yang rendah pada nilai intensitas pikselyang bertetangga, juga terkait dengan skala objek yang besar di dalam
citra tersebut.
Pemfilteran dalam domain spasial berisi konvolusi citra fx,y mask filter hx,y. seperti halnya teori konvolusi, juga bisa mendapatkan hasil yang sama dalam domain
frekuensi dengan perkalian antara Fu,v dengan Hu,v, transformasi fourier filter. Biasanya Hu,v disebut sebagai filter transfer function. Fungsi berkebalikan antara
pemfilteran dalam domain spasial dan pemfilteran dalam doman frekuensi diperlihatkan pada gambar 2.12.
Gambar 2.12 Filter Transfer Function
Sumber: Prasetyo, Eko .2011
Berdasarkan uraian konsep filtering domain frekusni maka untuk melakukan pemfilteran dalam domain frekuensi harus mengikuti diagram seperti pada gambar
2.13.
Pre-Processing Transformasi
Fourier Fungsi Filter
Hu,v Invers
Transformasi Fourier
Pre-Processing
Fu,v Hu,vFu,v
fx,y Citra Input
gx,y Citra ter-enhance
Gambar 2.13 Langkah Dasar Pemfilteran dalam Domain Frekuensi
Sumber: Prasetyo, Eko. 2011
Universitas Sumatera Utara
Fungsi filter Hu,v dalam gambar 2.13 mengalikan bagian real dan citra dari Fu,v. jika Hu,v real maka fase hasil tidak berubah. Dapat dilihat dalam persamaan fase
dengan catatan bahwa jika pengali bagian real dan citra sama, maka dapat dibatalkan dan membiarkan fase sudut tidak berubah [8].
Adapun prosedur untuk menapis citra dalam kawasan frekuensi adalah sebagai berikut:
1. Input citra digital berupa citra .jpg dengan ukuran lebar = ukuran tinggi. 2. Lakukan proses transformasi fourier dari citra input dengan menggunakan
FFT 2D untuk mendapatkan Fu,v yang merupakan nilai kompleks dari transformasi fourier.
3. Hitung filter mask Hu,v dengan ukuran lebar dan tinggi sama dengan ukuran citra input. Filter mask yang dibahas di dalam skripsi ini adalah
Low Pass Filtering dan High Pass Filtering. 4. Kalikan Fu,v dengan Hu,v untuk mendapatkan Gu,v yang merupakan
hasil perkalian antara transformasi dengan filter mask. 5. Lakukan proses invers transformasi fourier dari Gu,v menggunakan
invers FFT2D sehingga diperolehlah citra hasil gx,y.
2.4 Peningkatan Kualitas Citra Domain Frekuensi
