Dalam perkalian ini, BA tidak dapat dilakukan tidak terdefenisi .akan tetapi bila A dan B setangkup dan perkalian AB terdefenisi maka AB=BA.
Perkalian suatu matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu sendiri.
4. Invers Suatu Matriks
Misalkan A merupakan suatu matrix dengan n baris dan n kolom dan I
n
suatu identity matrix. Apabila ada square matrix
�
−1
sedemikian rupa sehungga berlaku hubungan sebagai berikut:
��
−1
= �
−1
� = �. Maka �
−1
disebut inverse matrix A Tidak mudah menghitung inversi suatu matriks kecuali bila ukurannya kecil
seperti 2×2, atau bila bentuknya amat sederhana. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dan bentuknya tidak sederhana biasanya perhitungan inversnya
dikerjakan dengan metode lain.
5. Determinan Matriks
Determinan adalah suatu skalar angka yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar selalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses
penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. perhitungan determinan, adalah dengan menggunakan metode Pivot.
Bila A= �
�
11
�
12
�
13
�
21
�
22
�
23
�
31
�
32
�
33
�
Maka | �| =
1 �
11 �−2
� �
11
�
22
− �
12
�
21
�
11
�
23
− �
13
�
21
�
11
�
32
− �
12
�
31
�
11
�
33
− �
13
�
31
�
6. Minor dan Kofaktor suatu Determinan
Diketahui suatu determinan dari suatu matriks A tingkat n. Jika elemen-elemen dari baris ke-
� dan kolom ke-� semuanya dikeluarkan akan terdapat suatu determinan dari matriks tingkat
� − 1, yang disebut minor pertama dari matriks
Universitas Sumatera Utara
A yang ditulis dengan ��
��
�. Harga dari minor ditulis dengan −1
�+�
, disingkat dengan
�
��
dari elemen �
��
, jadi : �
��
= −1
�+�
��
��
� Contoh.
Bila A= �
�
11
�
12
�
13
�
21
�
22
�
23
�
31
�
32
�
33
�
Minor dari A adalah
| �
11
| = �
�
22
�
23
�
32
�
33
� |
�
12
| = �
�
21
�
23
�
31
�
33
� |
�
13
| = �
�
21
�
22
�
31
�
32
�
dan seterusnya sampai
| �
33
|
Sehingga kofaktornya adalah �
11
= −1
1+1
| �
11
| = | �
11
| �
12
= −1
1+2
| �
12
| = −|�
12
| �
13
= −1
1+3
| �
13
| = | �
13
|dan seterusnya. �
33
7. Penaksiran Parameter dengan Metode Matriks
Untuk mendapatkan taksiran parameter dari sampel dapat dilakukan dengan taksiran OLS ordinary least square, yaitu dengan cara meminimumkan nilai
sisaan e. Persamaan 2.4 ditulis kembali yaitu Ŷ = �
+ �
1
�
1
+ �
2
�
2
+ … + �
�
�
�
…2.5 Jika
��
�
diubah menjadi vektor matriks Y maka �
��
juga harus diubah menjadi vektor matriks X, sedangkan
� ,
�
1
,........ �
�
diwakili oleh vektor matriks b sehingga persamaan 2.4 dapat ditulis menjadi :
� = �� + � …2.6
Dan dalam bentuk matriks adalah
Universitas Sumatera Utara
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎡ �
1
�
2
. ..
�
�
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎤ =
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎡ 1
�
11
�
12
1 �
21
�
22
. ..
1 .
.. �
�1
. ..
�
�2
. .
�
1 �
. .
�
2 �
. ..
. .
.. .
. ..
�
��
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎤
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎡ �
�
1
. .
. �
�
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎤ +
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎡ �
�
1
. .
. �
�
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎤ …2.7
Y = X
b + e Dimana b adalah suatu vektor kolom k-unsur dari penaksir OLS koefisien
regresi dan dimana e adalah suatu vektor kolom N x 1 dari N residual. Dengan k- variabel panaksir OLS diperoleh dengan meminimumkan
∑ �
� 2
= ∑�
�
− � − �
1
�
1 �
− �
2
�
2 �
− ⋯ − �
�
�
�� 2
…2.8 ∑ �
� 2
adalah jumlah kuadrat residual RSS. Dalam notasi matriks, ini sama dengan meminimumkan
�
′
� karena
�
′
� = [� �
1
. .
�
�
] ⎣
⎢ ⎢
⎢ ⎡
� �
1
. .
. �
�
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎤ =
�
2
+ �
1 2
+ ⋯ + �
� 2
…
Dari 2.8 diperoleh � = � − ��
2.9
Sehingga �
′
� = � − ��
′
� − �� �
′
� = �
′
� − 2�
′
�
′
� + �
′
�
′
�� Untuk mendapatkan b yang meminimumkan
�
′
� dilakukan dengan menurunkan �
′
�terhadap �
′
sehingga : ��
′
� ��
′
= −2�
′
� + 2�
′
�� = 0 Diperolseh persamaan normal :
�
′
�� = �
′
� Dengan menyelesaikan persamaan normal diperoleh :
� = �
′
�
−1
�
′
� Dalam bentuk matriks dapat dituliskan
Universitas Sumatera Utara
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎡
� �
1
�
2
. .
�
�
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
= ⎣
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎡ � ∑ �
1 �
∑ �
2 �
. .
∑ �
��
∑ �
1 �
∑ �
1 �
2
∑ �
1 �
�
2 �
. .
∑ �
1 �
�
��
∑ �
2 �
. .
∑ �
��
∑ �
2 �
�
1 �
. .
∑ �
��
�
1 �
∑ �
2 �
2
. .
∑ �
��
�
2 �
. .
∑ �
2 �
�
��
. .
∑ �
�� 2
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
−1
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎡
∑ �
�
∑ �
�
�
1 �
∑ �
�
�
2 �
. .
∑ �
��
�
��
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
2.2 Analisis Korelasi